برد نمونه
ساده ترین روش اندازه گیری واریانس نمونه تفریق کوچکترین مقدار نمونه از بزرگترین مقدار آن نمونه می باشد. این مقدار که با حرفشان داده می شود، بود نمونه نامیده می شوند. R مورد استفاده در جدول 4-2 را برای کمک به تصریح پهنای رده احتمالی برای توزیع فراوانی به یاد آورید.
این برد در روند کنترل کیفی از جمله نمونه های کوچک بسیار مفید است، با اینحال از جائیکه تنها دو مشاهده برای تعیین مقدار آن مورد استفاده قرار گرفته است، این برد نسبت به موارد خارج از برد بسیار حساس می باشد.
به دو مجموعه داده ارائه شده در جدول 5-2 توجه کنید. بدیهی است که نمونه B نسبت به نمونه A دارای تغییر کمتر بوده است اگر چه هر دو مجموعه دارای میانگین 30، دامنه 40 بوده و هیچ کدام از مجموعه ها دارای مد نمی باشند. دلیل این امر یک بودن مقیاس های 29، 31 به 30 در نمونه B می باشد در حالیکه 20 و 40(در نمونه A) بسیار دورتر از میانگین قرار دارد. این مثال ساده ملزوم برخی از اندازه گیریها را مشخص می کند.
2-4-2- برد میان چارکی
برد چارک های اول و سوم امکان اندازه گیری تغییرات نزدیک مرکز توزیع را فراهم می کنند. این اندازه گیری با IQR نشان داده می شود. برد میان چارکی نامیده می شود. برخلاف برد نمونه برد میان چارکی تحت تاثیر مقادیر مقدم نمونه قرار نمی گیرد.
مثال 21-2
از جائیکه 5/1(6)(25/0) و 5/4=(6)(75/0) و پس((1)x(9)x)(5/0)+(1)x=1q و((4)x(5)x) (4)x=3 9
برای نمونه ای با اندازه 5=n می بایست با استفاده از نمونه های جدول 5-2، چارک اول و سوم برای نمونه به ترتیب برابر با 15 = (10)(5/0) + 10 و 45=(10)(5/0) + 40 می باشند در مورد نمونه B، چارک اول بود.
5/19 =(19)(5/0) +10 و چارک سوم برابر با 5/40=(19)(5/0)+31 می باشد. بنابراین، برد میان چارک برای A و B به ترتیب برابر با 30=15-45= IQRA و 21=5/19-5/40=IQRB می باشد. از جائیکه 0>IQRB و IQ می باشد پس نیمه میانی نمونه A بیشتر از نیمه میانی نمونه B دچار تغییر می شود.
3-4-2- انحراف معیار نمونه
روش طبیعی برای اندازه گیری تغییرات انتخاب یک مقدار مرجع و سپس محاسبه انحراف داده ها از این مقدار مرجع می باشد. مقدار مرجعی که در اغلب موارد مورد استفاده قرار می گیرد. میانگین نمونه می باشد. با این حال در صورتی که این نابراربی کلیه xiها در نمونه محاسبه کرده و نتایج را جمع کنیم؛ همواره مقدار صفر بدست می آید. بنابراین میانگین انحراف از این میانکین همواره برابر با صفر خواهد بود. در این حالت به چه کاری می توانیم انجام دهیم.
مجموع مربعات
یک روش برای اجتناب از این مساله، بدست آوردن مقادیر غیر منفی یا مجذور کردن هر کدام از انحرافات می باشد. مجموع این انحرافات مربع،«مجموع مربعات» نامیده شده و از رابطه زیر بدست می آید:
(5-2)
توجه داشته باشید که اگر تنها و تنها اگر مشاهدات n برابر باشند، SSX برابر با صفر خواهد بود، همچنین، چه تغییرات در یک نمونه بیشتر باشد، مجموع مربعات عدد بزرگتری خواهد بود.
مثال 22-2
به نمونه A در جدول 5-2 توجه کنید. میانگین این نمونه برابر با 30 می باشد، با استفاده از معادله(205) جمع مربعات این نمونه(که با SSA نشان داده می شود) برابر با
1000=2(30-50)+2(30-40)+2(30-30)+2(30-20)+2(30-10)=SSA خواهد بود.
در صورتیکه نمونه ای از k مقدار متفاوت xk و ... و x1 تشکیل شده باشد که به ترتیب با فراوانی f1 ,…,fk اتفاق می افتد جمع مربعات نمونه برابر با(6-2) خواهد بود.
زمانی که داده ها در رده های k گروه بندی شده و مقادیر نمی کنند در دسترس نمی باشند، برآوردی از مجموع ای نمونه را می توان با استفاده از این نتیجه با نقطع میانی فاصله فراهم که جایگزین xi شده و میانگین موزون نقاط که جایگزین تو شده اند، بدست آورد، برای نشان دادن این مورد که نقاط بر این نیز مورد استفاده قرار می گیرد، مجموع مربع حاصل به صورت SSM نشان داده خواهد شد.
مثال 23-2
بار دیگر تحقیق کروشه صفحه دارد را در نظر بگیرید. برای فراوانی توزیع که در جدول 3-2 نشان داده شده است میانی رده عبارتند از:
30/1=1m و 35/1=2m و 45/1=4m و 50/1=5m و 55/1= 4m و 60/1=7m و 65/1=8m و 70/1=9m و 75/1=10m، فراوانی های متناسب این رده عبارتند از 1 و 5 و 6 و 13 و 9 و 17 و 13 و 7 و 1 و 3 میانگین موزون این نقاط میانی، 526/1 می باشد(به مثال 12-2 مراجعه کنید). برآورد مجموع مربعات برای راههای گروه بندی نشده برابر با 7518/0=2(526/1-75/1)(3)...+2(526/1-35/1)(5)+2(526/1-30/1)SSMA می باشد.
فرمولی دیگر برای محاسبه مجموع مربعات: در اغلب موارد و برای محاسبه مجموع مربعات از کامپیوتر یا ماشین حساب استفاده می شود. با این حال، هنگام محاسبه دستی استفاده از فرمول زیر بهتر است، مشتق این نتیجه در مساله 1464 نشان داده شده است.
(7-2)
مثال 24-2
نمونه B={15,29,30,31,50} در جدول 5-2 را در نظر بگیرید. برای این داده ها 532=2 50+ 2 31+ 2 30 + 2 29 + 1 = و 150=50+31+30+29+10= می باشد. بنابراین، مجموع مربعات این نمونه(که با SSB نشان داده می شود برابر با
802=(5/2 150) = 5302= SSB می باشد.
واریانس و انحراف معیار نمونه
گام منطقی بعدی، تعیین انحراف مربع میانگین می باشد. برای انجام این کار متخصصین آمار معمولا مجموع مبات انحرافات یعنی SSX را بر n-1 تقسیم می کنند.