مقدمه : پره های انتقال حرارت در طیف وسیعی در صنایع هوا- فضا، برق ، شیمی،نفت ، تهویه ، توربین ها و نیروگاههای اتمی و خورشیدی و ...
کاربرد دارد.
طبیعتاً بهینه سازی این پره ها، مسئله جالب و مورد علاقه مهندسین طراح می تواند باشد.لذا مسئله را می توان به این شکل طرح کرد که پره برای مقدار حرارت معینی جهت انتقال، دارای کمترین جرم باشد.
اولین بار Schmidt یک توزیع دمای خطی را در طول پره فرض کرد و به مینیمم سازی حجم یا جرم پرداخت.
سپس Duffin بحث وی را تأیید کرد و بعدها Razelos روی مقدار خطای آنها بحث کرده در بحث ها و مقالاتی که اخیراً منتشر گردیده ، بعضاً تشعشع و ضرایب هدایت حرارتی متغیر و ...
نیز در نظر گرفته شده ولی هر کدام اغماض هایی داشته و محدودیت هایی را برای ساده سازی مسأله فرض کرده اند.
در این بررسی حاضر همه آنها لحاظ گریده و به صورت تحلیلی – پارامتری به انتگرالهای حجم، طول و به معادله تعیین کننده ضخامت در پایه انجامیده و در ادامه دیاگرام هایی نیز به کمک روش های عددی جهت مینیمم سازی حجم پره ارائه شده است.
تئوری و آنالیز در حالت کلی : در پره های طولی و سوزنی، همه دارای محور تقارن و امتداد یافته در جهت مستقیم و عمود بر پایه با مقاطع مستطیلی و دایره فرض شده اند و حرارت نیز به صورت یک بعدی منتقل می شود فرض متغیر بودن ضریب هدایت حرارتی با دما فرضی معقول و معمول است ولی ضریب انتقال حرارت کنوکسیونی با دما یک ارتباط توانی دارد.
مثلا در انتقال حرارت در جوشش مایعات و یا کنوکسیون اجباری یا آزاد ، این پدیده بسیار قابل ملاحظه است.
اخیرا چنانکه Razelas & Imre نشان دادند ، ثابت گرفتن این ضرایب خطای زیادی را در حل مسئله ایجاد می کند.
Unal چنین رابطه ای را پیشنهاد می کند: که و ثوابتی هستند که می توانند اعداد مختلفی بسته به شرایط کنوکسیون به خود نسبت دهند.
بررسی هایی نیز در جهت تأثیر منبع حرارتی متناسب با دمای پره صورت گرفته است ولی ضرایب هدایت و کنوکسیون حرارتی ثابت فرض شده اند.
آنالیز و تئوری پره های طولی: معادله انرژی به صورت حالت یکنواخت در پره که توسط کنوکسیون و تشعشع انتقال حرارت صورت می گیرد به صورت زیر است : (I) البته مقدار را می توان دقیقتر بیان کرد ولی معمولاً فرض می شود.
حال شکل زیر را در نظر بگیرید: اگر حالات کلی ضرایب هدایت و کنوکسیون را به شرح زیر داشته باشیم: و برای کاهش ارتفاع پره چنین رابطه ای را با یک پارامتر آزاد با دما برقرار کرده باشیم : و نیز : و برای منبع حرارتی نیز می توان نوشت: اگر روابط و فرض های فوق را در معادله دیفرانسیل قرار دهیم و طرفین را در ضرب کنیم و از شرایط مرزی زیر استفاده کنیم .
خواهیم داشت خواهیم داشت : و برای حجم داریم: آنالیز و تئوری پره های سوزنی: مشابه حالت قبل یک پره سوزنی مطابق شکل در نظر می گیریم .
اگر دمای بی بعد را و را داشته و از شرایط مرزی و نیز کنوکسیون و تشعشع در انتهای پره بهره جسته و با همان فرضیات و روشها برای منبع حرارتی و ضرایب حرارتی پیش رویم : با عنایت به این مطالب که 1>> است و و برای حجم پره خواهیم داشت : تأثیر ضرایب انتقال حرارت متغیر : برای اطمینان ار فرض های مسئله، ابتدا مسئله را برای یا ضریب هدایت حرارتی ثابت حل کرده و با منبع A.Razani & S.Sohrabpur مقایسه کردیم که دقیقاً تنایح مشابه و مساوی بودند که حاکی از یک ارتباط خطی بین و در mهای متغیر یا شرایط کنوکسیونی مختلف بود.
به همین نوع بررسی ها برای n ها و m های متغیر برای دو ماده مختلف مثل برلیم و آلومینیوم که دقیقاً دو رفتار متفاوت در مقابل دما از نظر هدایت حرارتی دارند بررسی شدند و برای اطلاعات بیشتر به مرجع H.Helali & S.Sohrabpur مراجعه شود.
یک نکته جالب اینکه اگر k به صورت یک سهمی تعریف گردد، حجم بهینه تقریباً در مقایسه با k وقتی که ثابت فرض شود به مقدار 25% کاهش می یابد.
در حالی که در بهینه تغییری در حجم رخ نمی دهد و دیگر اینکه نوع رفتار صعودی و یا نزولی هدایت مواد در مقا بل دما در بهینه تأثیری نداشته ولی در V حجم بهینه تأثیر دارد.
منبع حرارتی در پره های طولی : ما نتایج حاصل از بررسی خود را با مرجع مربوط به Razelos که یک منبع حرارتی ثابتی را در پره فرض نموده مقایسه کردیم که مساوی بودند و مقدار اختلاف اندکی که مشاهده می شود در حل مسئله به روش های عددی قابل توجیه می باشد و روش حاضر نیز با روش مربوط Kraus & Kern مقایسه گردید، که نتایج عددی بهتری نسبت به آن را برای حجم و جرم مینیمم حاصل گردید.
در مبحث پره های طولی به این نکته کفایت می کرد که در نظر نگرفتن تشعشع پره های طولی باعث غیر واقع نمودن طول مورد نیاز پره، پروفیل دمایی و هندسی می گردد.
نتیجه گیری: در پره های طولی اگر kثابت فرض شود پارامتر آزاد شکل بهینه با حجم بهینه یک ارتباط خطی دارد و حتماً باید بررسی ها از تقریب مناسب ضریب انتقال حرارت در مقابل دما استفاده گردد که بعضاً باعث 25% کاهش در حجم بهینه می گردد.اگر با حالت ثابت هدایت حرارتی نوع رفتار هدایتی مواد در بهینه تأثیر ندارند ولی در جمع بهینه تأثیر دارند.
در ضمن تغییرات ضریب کنوکسیونی در بهینه وبهینه توأماً موثر اند .
در نظر گرفتن تشعشع در مسائل پره ها باعث اتلاف (over design) می گردد هر چند که در بهینه تأثیری ندارد ولی شدیداً در طول و ضخامت پایه پره موثر می باشد.
در پره های سوزنی ، تغییرات دمای نوک پره مشابه پره های طولی تأثیر چندانی روی ندارد، حجم بهینه و باز مشابه پره های طولی، تغییرات m یا تغییرات شرایط کنوکسیونی یک ارتباط خطی را بین حجم بی بعد و m ایجاد می کند.
ترجیحاً از تقریب و رفتار واقعی ضریب هدایت حرارتی در موارد استفاده گردد که در غیر این صورت باعث گمراهی و دور کردن از نتایج واقعی می گردد.
در ضمن رفتار هدایتی متضاد مواد، تأثیری در بهینه ندارد.
خلاصه در بررسی های انجام شده تابحال ، روی پره های طولی و سوزنی، حالت کلی معادلات با ضرایب حرارتی متغیر، منظور کردن تشعشع و منبع حرارتی با سطح متغیر ارائه شده است.
لذا ابتدا در این بررسی حل تحلیل معادله هدایت برای حالت کلی با کمک فرض های انجام شده برای حصول انتگرال حجم ، پروفیل هندسی و دمایی بوده، و سپس به بهینه سازی شکل پره در شرایط کنوکسیونی و هدایت حرارتی(ثابت – خطی – سهمی) مختلف پرداخته شده است تا حداقل حجم را به ازاء یک دفع حرارت معین به محیط داشته باشیم.
در نهایت هدف این مطالعه، ارائه یک دید کمی و کیفی برای طراحان روی پارامتر های حاکم بر مسئله یاد شده می باشد، تا بتوانند تصمیم صحیح برای مینیمم سازی حجم یک پره در شرایط مربوطه را داشته باشد.
نمادها A : مساحت سطح مقطع F : ضریب شکل در تشعشع k: ضریب هدایت h: ضریب همرفت L : طول m : پارامتر انتقال حرارت همرفتی n : پارامتر انتقال حرارت هدایتی q و Q کل : حرارت منتقله از پره T : درجه حرارت : ثابت استفان- بولتزمن :ضریب نشر : ضریب جذب : ضخامت در پایه پره : پارامتر آزاد شکل جهت بهینه سازی : درجه حرارت بی بُعد