«همانگونه که واژه های زبان، ما را از عقیده دیگران آگاه می کند: نمادهای ریاضی، یعنی نشانه های زبان ریاضی هم، وسیله ای است برای اینکه نظر خود را کامل تر، ساده تر و دقیق تر به دیگران بفهمانیم ومفهوم تازه خود را در برابر دیگران بگذاریم» لوباچفسکی مقدمه هندسه هم مانند حساب، یکی از کهن ترین بخش های دانش ریاضیات است.تاریخ پیدایش آن در ژرفای سده های گذشته است.هندسه در دنیای کهن،بیشتر جنبه کاربردی داشته است و این دوران خود را، که طولانی ترین دوران تکامل آن است، در ایلام، بابل،مصر،چین و در واقع در همه سرزمین های گذرانده است و همه ملت ها در ارتباط بااندازه گیری، به ویژه اندازه گیری زمین های کشاورزی، در ساختن مفهوم های هندسی دخالت داشته اند.
مفهوم اصل،قضیه ودیدگاه اقلیدس: «اصل» در هندسه، به حکمی گفته می شود که بدون اثبات پذیرفته شود؛ در واقع درستی آن با تجربه سده های متوالی تایید می شود.حکم هایی که به یاری اصل ها ثابت می شوند،« قضیه » نام گرفته اند.
اثبات،عبارت از استدلالی است که به یاری آن و به یاری اصل ها، می توان قضیه را ثابت کرد.قضیه،ترجمه ای از واژه یونانی «ته ئورم» که به معنای «اندیشیدن» است.
اصل ها و قضیه ها را برای نخستین بار،دانشمندان یونانی وارد دانش کردند.
ارشمیدس(سده سوم پیش از میلاد) در کتاب های خود،بارها از اصل وقضیه استفاده کرده است.
تاسرانجام اقلیدس(سده سوم پیش از میلاد) در«مقدمات» خود در سیزده کتاب اصل هاو قضیه های هندسی را منظم کرده است.
«مقدمات اقلیدس» تنها کتابی است که در طول نزدیک دو هزار سال پس از او، هندسه را به دیگران آموخته است.حتی امروز هم، هندسه دبیرستانی بر اساس مقدمات اقلیدس است.
برخی از اصل ها را ،اقلیدس «پوستولا» (خواست)نامیده است.
برای نمونه،نخستین پوسترلا در «مقدمات» اقلیدس، به این ترتیب تنظیم شده است: «دو نقطه را میتوان به وسیله خط راست به هم وصل کرد.» به ظاهر، پوستولاهای اقلیدس،ویژه هندسه است.
او اصل هایی را که عمومی ترند ودر دانش های دیگر هم به کار می روند «آکسیوم» می نامد.
امروز همه اصل ها(آکسیوم ها وپوستولاها) را «آکسیوم» می نامند که در زبان فارسی، به «اصل موضوع» معروف اند.
• معمای اصل پنجم اقلیدس در طول بیش از دو هزارسال، دانشمندان گمان می کردند که هندسه ای جز هندسه اقلیدسی وجود ندارد.
براساس این تصور، ریاضیدانان تلاش می کردند پوستولاهای اقلیدس را از دیگر اصل های موضوع نتیجه بگیرند.
تغییر یافته پوستولای پنجم اقلیدس به وسیله «پولی فر» چنین می گوید: از یک نقطه بیرون از یک خط راست، نمی توان دو خط راست موازی با خط راست مفروض رسم کرد.ولی همه تلاش ها برای اثبات این اصل موضوع ناکام ماند.
ریاضیدانان ایرانی از جمله فضل حاتم نیریزی وعمر خیام، در این راه کوشیدند؛ ولی نتیجه این شد که اصل موضوع دیگری را به جای اصل موضوع اقلیدس قرا دادند.
خیام در کتاب خود که به این موضوع اختصاص دارد، چهارضلعی های دو قائمه متساوی الساقین را مطرح می کند.
او از چهارضلعی هایی صحبت می کند که دو ضلع رو به رو با هم برابر وبر قاعده عمود باشند.بعد ابتدا ثابت می کند، دو زاویه دیگر این چهارضلعی باهم برابرند وبا جانشین کردن اصل دیگری به جای پوستولای پنجم اقلیدس،حاده یامنفرجه بدون دو زاویه دیگر را رد می کند.
طرح خیام به وسیله نصیرطوسی به کشورهای اروپایی می رود.
از جمله ساکری ریاضیدان ایتالیایی، با طرح همان چهارضلعی ها تلاش می کند اصل موضوع اقلیدس را ثابت کند؛ ولی به نتیجه ای نمی رسد.
• نیکلای ایوانوویچ لوباچفسکی (1792-1856) او را در روسیه متولد شد، پدرش کارمند دولت و مساح زمین بود، وی خیلی زود پدرش را از دست داد.
مادرش وی را ابتدا به دبیرستان قازان و وقتی دبیرستان را تمام کرد، به دانشگاه قازان فرستاد، موفقیت های درخشان او در ریاضیات، خیلی زود نظر استادان را به خود جلب کرد.
بازرسی دانشگاهی را لوباچفسکی دوست نداشت؛ زیرا با خصلت مستقل او نمی ساخت و در چارچوب اخلاق آن زمان جا نمی گرفت.
حتی مساله اخراج لوباچفسکی از دانشگاه مطرح شد و اگراستادش در این کار دخالت نمی کرد، او را از دانشگاه اخراج کرده بودند.
بجز این ، پافشاری استادان ریاضی درباره استعداد لوباچفسکی و پافشاریی که در دفاع از لوباچفسکی در برابر ریاست دانشگاه کردند،موجب شد او در دانشگاه برای فعالیت های علمی و تربیتی بماند.
لوباچفسکی مرحله های دانشگاهی را با موفقیت گذراند.
در هجده سالگی در رشته فیزیک –ریاضی لیسانس گرفت.
برای این که بتواند فوق لیسانس خود را بگذارند، لازم بود از ازمایشی سخت در زمینه ریاضیات بگذرد.
در 23 سالگی، لوباچفسکی به استادی دانشگاه انتخاب شد.
در سال 1827 به ریاست دانشگاه قازان برگزیده شد و در این سمت نوزده سال باقی ماند.
هندسه نااقلیدسی مهمترین کشف لوباچفسکی، هندسه او بود.برای نخستین بار در 23 فوریه سال 1826در نشست فیزیک- ریاضی، لوباچفسکی کشف خود را ارائه کرد.
این روز را باید تاریخ تولد هندسه لوباچفسکی دانست.
لوباچفسکی در سال 1826،غیرقابل اثبات بودن پوستولای پنجم اقلیدس را ثابت کرد و به جای آن این حکم را گذاشت:« از هر نقطه بیرون یک خط راست، دست کم می توان دو خط راست رسم کرد که خط راست مفروض را قطع نکند.» لوباچفسکی با این فرض و پیش بردن قضیه ها، امیدوار بود در جایی به تناقض برسد و در نتیجه اصل اقلیدس را با « روش برهان خلف» ثابت کند.
ولی با آن هندسه خود را که بر اصلی متضاد با اصل اقلیدس ساخته بود، بسیار پیش برد، در هیچ جا به تناقضی برخورد نکرد.
از این جا لوباچفسکی نتیجه گرفت که نمی توان پوستولای پنجم اقلیدس را به یاری اصل موضوع های دیگر ثابت کرد و با پذیرفتن همه اصل موضوع های اقلیدسی ونفی پوستولای پنجم آن، با جانشین کردن اصل موضوع دیگری به جای آن ها ،هندسه نااقلیدسی را بنیان گذاشت.
لوباچفسکی براین اساس چند نتیجه گرفت: عمود و مایلی که برخط راست در یک صفحه رسم شوند،ممکن است یکدیگر را قطع نکنند.
مجموع زاویه های درونی یک مثلث بستگی به طول ضلع های مثلث دارد و از یک مثلث به مثلث دیگر تفاوت می کند ؛ ولی همیشه ازدو قائمه کمتر است.
مجموع زاویه های درونی یک چهارضلعی کوژ(محدب)کمتر از 4d (چهارقائمه) است و از این جا نتیجه گرفت:مستطیل وجود ندارد.
شکل های متشابهی که ضریب تشابهی غیراز واحد داشته باشند وجود ندارد.
برای مثلث مفروض نمی توان مثلثی ساخت که با آن متشابه باشد؛ ولی برابر نباشند.
دایره ای که محیط بر مثلث باشد،برای هر مثلثی نمی توان رسم کرد.
مکان هندسی نقطه های هم فاصله نسبت به یک خط راست در صفحه ، خط راست نیست بلکه یک خط منحنی است.
لوباچوفسکی اندیشه های خود را در نشریه ای که خودش برپا کرده بود و در مقاله های «درباره مقدمات هندسه» (1829-1830) ،«هندسه تخیلی» (1835)،«برخی کاربردهای هندسه تخیلی»(1836)،«مقدمات تازه هندسه به یاری نظریه موازی ها» (1835-1838) ،«بررسی های هندسی درباره نظریه موازی ها» (1840 )و«هندسه»(1855) منتشر کرد.
لوباچفسکی تلاش می کرد تا دانشمندان را با نظریه خود آشنا و آنها را قانع کند و برای این منظور، به دنبال کاربر هندسه خود بود.
از جمله، او به آزمایش دلیرانه ای اقدام کرد که هندسه خود را با مشاهده های اخترشناسی تحقیق کند او مثلثی را در نظر گرفت که راس های آن را سه ستاره ثابت تشکیل می داد.
به یاری اندازه گیری می خواست ثابت کند که برای چنین مثلثی، مجموع زاویه های درونی،کمتر از دو قائمه است.
لوباچفسکی حتی در سال های مصیبت و تیره روزی هم کار خود را ترک نکرد(از دست دادن کار دانشگاهی، مرگ پسربزرگش و وخیم شدن وضع مادی زندگی).او نیروی خود را به سرعت از دست داد و در ضمن نابینا شد.
در سال پیش از مرگ خود که نابینا بو،لوباچفسکی تالیف تازه خود را به شاگردانش دیکته میکرد.
این تالیف درباره هندسه عمومی بود که در آن گفته می شد هندسه معمولی (اقلیدسی) حالت خاصی از هندسه لوباچفسکی است.
این اثر وقتی که دیگر نویسنده آن از دنیا رفته بود، به وسیله دانشگاه قازان چاپ شد.
24 فوریه 1856 .نیکلای ایوانوویچ لوباچفسکی چشم از جهان بست.
او شاهد به رسمیت شناختن هندسه خود از طرف ریاضیدانان نبود.
نیکلای ایوانوویچ لوباچفسکی، مردی فعال و میهن دوستی به معنای واقعی بود.او یکی از روشنگران روسی بود.
بدون این که ازکارهای دانشگاهی طفره برود مدرسه ها را بازدید می کرد.
برای آنها کتاب درسی می نوشت و راه زندگی را به آنها نشان می داد.
از جوانان می خواست، شهروند خوبی برای مملکت باشند «ودر پی افتخار میهن خود باشند» لوباچفسکی کتاب های درسی را در زمینه جبر و هندسه نوشت.
«دوره هندسه» را در سال 1823 با شیوه خود و براساس تجربه سال ها واندیشه درباره هندسه نوشت.این کتاب به ظاهر برای کسانی نوشته شده است که به تازگی با ریاضیات آشنا شده اند و می خواهند آگاهی ودرک خود را از هندسه بالا ببرند.
به نظر لوباچفسکی، هندسه برای این نیست که از روی کتاب اقلیدس، همه چیز به طور انتزاعی فهمیده شود بلکه برای آن است که حقیقت دوروبر خودرا بهتر بشناسیم و آن را به کار ببریم.
لوباچفسکی در کتاب درسی خود، هندسه را به دو بخش روی صفحه و درون فضا تقسیم نمی کند و هر جا مطلبی از هندسه را روی صفحه مطرح می کند، به حالت فضایی آن هم می پردازد.
کتاب لوباچفسکی در زمان خودش چاپ نشد.
به این امر کهنه پرستی،جمود فکری و گذراندن مسیر اداری پیشگفتار هم کمک کرد تا چاپ این کتاب را تا سال 1909 به عقب بیندازد.
آیا هندسه لوباچوفسکی ،یک هندسه واقعی است؟
پیش از آن که به این پرسش پاسخ دهیم، باید ببینیم از مفهوم نقطه، خط راست وصفحه، چه باید فهمید.
نقطه،خط راست وصفحه، موضوع هایی از سه مقوله هستند که ویژگی های آنها در دستگاه اصل موضوع های هندسه، شرح داده شده است.
اصل موضوع چیست؟
آیا دستگاه اصل موضوعی درست است؟
اصل موضوع به چنان فرض های هندسی گفته می شود که بدون اثبات پذیرفته می شود و نقطه آغازی برای آشکارکردن مفهوم های نقطه خط راست وصفحه به شمار می روند.
برای نمونه می توان از یک هندسه با تعبیر «غیرعادی» نام برد که در آن «نقطه» کره ای به شعاعr ،«خط راست» استوانه بی آغاز و بی پایان به شعاع r «صفحه » به عنوان صفحه ای موازی با یک تیغه به ضخامت 2r معرفی می شود.
در مدرسه خط راست به عنوان «نخ کشیده» وصفحه به عنوان سطح صاف وصیقل خورده ای همچون سطح آیینه معرفی میشود.(وبه این ترتیب ساده ترین تعبیر از خط راست و صفحه به عمل می آید) ما روی صفحه کاغذ مثلثی رسم می کنیم.
ضلع های آن را در تفسیر عادی خط های راست به شمار می آوریم.
اگر کاغذ خود را به صورت یک استوانه درآوریم، آن وقت ضلع های مثلث روی سطح استوانه در حالت کلی به صورت خمیده در می آیند.
البته اگر استوانه را بگسترانیم این خط ها دوباره به صورت خط های راست در می آیند.
خط های روی سطح استوانه که پس از گسترش سطح استوانه ای روی صفحه ، به خط راست تبدیل می شوند،«خط های ژئودزیک استوانه» نامیده می شوند.
خط های ژئودزیک یک سطح، به کوتاه ترین خط هایی (از نظر طول) گفته می شود که دونقطه از آن سطح را به هم وصل می کند.
اگر «نقطه » را روی سطح استوانه ای و «خط راست» را خط های ژئودزیک استوانه بگیریم، آن وقت هندسه اقلیدسی درباره آنها صادق است.(درست به همان گونه صفحه معمولی )در واقع مجموعه زاویه های درونی مثلث ژئودزیک، برابر 2 قائمه است و این یکی از هم ارزهای پوستولای پنجم اقلیدس است.
ببینیم چه هندسه ای درباره کره صادق است ؛به شرطی که «نقطه» را نقطه های واقع بر سطح کره و «خط های راست» را خط های ژئودزیک کره در نظر بگیریم (باید توجه داشت که سطح کره را نمی توان روی صفحه گسترد و بنابراین خط های ژئودزیک آن را به خط های راست تبدیل کرد).
خط های ژئودزیک سطح کره، کمان هایی از دایره عظیمه هستند.
کمان های دایره های عظیمه، که مرکزشان در مرکز کره است دو به دو یکدیگر را قطع می کنند.
بنابراین روی سطح کره«خط های راست» موازی وجودندارند؛ یعنی روی سطح کره،نمی توان از نقطه ای در خارج یک «خط راست»،«خط راستی» موازی با آن رسم کرد.
از ویژگی های خط ژئودزیک کره، این که اگر مثلث کروی با آنها ساخته شود، در حالت کلی مجموع زاویه های درونی آن بیشتر از دو قائمه است.
هندسه لوباچفسکی در سطح های واقعی صدق می کند.معلوم شده است این هندسه در سطح شبه کره صدق می کند.
اگر روی این سطح یک مثلث ژئودزیک رسم کنیم، مجموع زاویه های درونی آن از دو قائمه کمتر است؛ یعنی همان که لوباچفسکی در هندسه خود ثابت کرد.
به این ترتیب، هندسه روی صفحه لوباچفسکی، تفسیر واقعی خود را روی سطح شبه کره پیدا می کند.
دیگران وفرضیه لوباچفسکی هندسه لوباچفسکی، انقلابی واقعی در ریاضیات بود.
برخی از دانشمندان ( از جمله کلیفورد ریاضیدان انگلیسی) او و کارش را همسان کپرنیک در اخترشناسی خواندند.
ولی پروفسور «و.ف.کاگان» دانشمند شوروی، این مقایسه را ناکافی می داند.
پروفسور کاگان می نویسد: «من خوشحالم اعلام کنم:حکم ساکن بودن خورشید و حکم چرخیدن زمین،ساده تر از آن است که حکم کنیم: مجموع زاویه های یک مثلث کمتر از آن است که فکر می کنیم» (در هندسه لوباچفسکی،مجموع زاویه های درونی یک مثلث،همیشه از دو قائمه کمتر است).
گوس،ریاضیدان برجسته، هم عصر با لوباچفسکی بود.
وقتی با نظریه لوباچفسکی آشنا شد در نامه هایی که به دوستانش نوشته بود،اعلام کرد که به لوباچفسکی به صورت یک مولف می نگرد که «درباره هندسه همچون یک خردمند بحث کرده است» ولی نظر خود را جایی چاپ نکرد یا به خود لوباچفسکی اطلاع نداد؛ در حالی که لوباچفسکی تاییدیه یک ریاضیدان بزرگ را نیاز داشت.
کاربرد کشف لوباچوفسکی در هندسه کشف هندسه لوباچفسکی ،یک دوره کامل را در دانش گذرانده است و در فیزیک امروزی، کاربرد خود را به دست آورده است.
از جمله،فضای نظریه مکانیک امروزی، براندیشه های لوباچفسکی استوار است.
منابع: 1-ریاضی دانان نامی –اریک تمپل بل 2-تاریخ ریاضیات جلد 2 هاوارد ایوز 3- تاریخ ریاضیات پرویز شهریاری