واریانس باقیمانده ها ثابت می باشد.
به علت پراکندگی تصادفی حول محور از سه نمودار I و II و III می توان به این نتیجه رسید که eij دارای توزیع نرمال با واریانس ثابت و مستقل از یکدیگر می باشند.
برآورد پارامترهای مدل: آزمایشهای دو عاملی: طرحهای آزمایشی با بیش از یک گروه: آزمایشهای فاکتوریل یا طرحهای فاکتوریل اگر محققی بخواهد همزمان تاثیر چند گروه تیمار را در میزان محصول آزمایش بررسی نماید بایستی از طرحهای که ترکیبی از تیمارها را در نظر می گیرند استفاده کنند این طرحها معمولاً آزمایش فاکتوریل نامیده می شود.
زیرا تکرار آنها می تواند در طرحهای استاندارد انجام شود.
اهمیت آزمایشهای فاکتوریل: 1- سنجش اثر گروههای مختلف تیمارها فقط با آزمایش فاکتوریل امکان پذیر است.
2- بین گروه تیمارها اثرات متقابل وجود دارد که سنجش این اثرات فقط با استفاده از آزمایش فاکتوریل امکان پذیر است.
3- در مقایسه با طرحهای استاندارد که برای هر گروه، تیمار جداگانه بکار گرفته شود آزمایش فاکتوریل از هزینه کمتری برخوردار است.
مفاهیم اثر اصلی و اثر متقابل در آزمایشهای فاکتوریل.
اثر اصلی Mian effect اثر متقابل Interaction effect تفاوتی که بین اثر تیمارها در هر گروه وجود دارد اثر اصلی تیمارهای آن گروه می‌نامیم و تفاوتی که بین عملکرد تیمارهای یک گروه در حضور تیمارهای گروه دیگر حاصل گردد اثر متقابل بین تیمارها می نامیم.
مثال: a3 a2 a1 گروه اول تیمار b3 b2 b1 گروه دوم تیمار در یک مرتبه آزمایش ترکیب تیمارها اطلاعات زیر بدست آمده است.
a3 a2 a1 16 13 10 b1 19 16 13 b2 22 19 16 b3 اگر اثر متقابل را عکس العمل متفاوت تیمارهای یک گروه در ترکیب با تیمارهای گروه دیگر وقتی که در گروه همزمان آزمایش می شوند در نظر بگیریم آنگاه چنانچه نتیجه عکس العمل ها یکسان باشد گوئیم اثر متقابل وجود ندارد.
و در غیر اینصورت اثر متقابل بین گروههای تیمار ها وجود دارد.
اگر خطوط موازی باشد اثر متقابل وجود ندارد اگر خطوط موازی باشد اثر متقابل وجود ندارد.
اگر خطوط موازی نباشد اثر متقابل وجود دارد.
اثر متقابل وجود دارد.
طرح آزمایش دو عاملی: مدل طرح اشتباه آزمایش در اثر تکرارو اثر متقابل بین A,B و اثر اصلی گروه B و اثر اصلی گروه A و میانگین کل انواع مدلهای آزمایش فاکتوریل: مدل با اثر ثابت: تیمارهای گروه B,A جامعه تیمارها می باشند.
مدل با اثر تصادفی: تیمارهای گروه B,A نمونه ای از جامعه تیمارها می باشند.
مدل با اثر مخلوط: یکی از تیمارهای گروه A یا B نمونه ای از جامعه و پارامتر اثر متقابل تصادفی به حساب می آید.
اطلاعات آزمایش: فرضیه های مورد آزمون در مدل با اثر ثابت: آزمون اثر اصلی گروه A آزمون اثر اصلی گروه B آزمون اثر اصلی AB در مدل آزمایش با اثر ثابت علاوه بر فرضیه نرمال بودن داریم: آنالیز آماری مدل با اثر ثابت: SST = SSA + SSB + SSAB + SSE درجات آزادی: : A a-1 : B b-1 : AB (a-1) (b-1) : Error ab(n-1) : Total abn-1 جدول آنالیز واریانس SS جدول – SST = SSB- SSA- SSAB- SST = SSE فرض رد می شود اگر بزرگتر از باشد.
فرض رد می شود اگر بزرگتر از باشد.
مثال: محققی علاقمند به بررسی تاثیر دو عامل درجه حرارت و نوع ماده بکار برده شده در طول عمر(برحسب ساعت) نوعی باطری که در یک دستگاه خاص بکار برده می‌شود می باشد.
ماده مورد استفاده سه نوع و درجه حرارت دارای سه سطح (برحسب فارنهایت) می باشد.
در این بررسی هر آزمایش چهار بار تکرار شده است.
(n=4) نتایج بدست آمده در جدول زیر نشان داده شده است.
Table.
Life (in hours) Data for the battery design example جدول آنالیز واریانس با توجه به نتایج بدست آمده از جدول Anova اثر (نوع ماده) Material Type و (درجه حرارت) Temperature و (اثر متقابل) Interaction معنی دار می باشد.
مقایسه میانگینها: وقتی که اثر متقابل معنی دار باشد.
مقایسه بین میانگینهای یک عامل با در نظر گرفتن اثر متقابل (AB) انجام می شود.
بطوری که یک عامل (مثل B) را ثابت نگه داشته و عامل A را در سطوح مختلف بررسی می کنیم.
برای مثال عمر باطری ما علاقمند به تعیین اختلاف بین سه نوع ماده بکار بر ده می باشیم.
از آنجائیکه اثر متقابل معنی دار می باشد ما مقایسه را فقط در یک سطح درجه حرارت (سطح 62 و درجه حرارت 70) انجام می دهیم.
در درجه حرارت در نمودار اختلافات بیشتر به چشم می خورد.
dfe=27 با در نظر گرفتن نتایج بدست آمده در درجه حرارت میانگین عمر باطری برای دو نوع 3,2 یکسان می باشد.
و میانگین عمر باطری برای (Material Type1) نوع 1 کمتر از دو نوع دیگر است.
مدل با اثر تصادفی: تیمارهای گروههای (1) و (2) نمونه ای از جامعه تیمارهای مربوطه می باشند.
فرضیه های مدل و و و مدل با اجزاء واریانس (مدل با اثر تصادفی) فرضهای مورد آزمون آنالیز واریانس: همانند مدل با اثر ثابت انجام گرفته و با توجه به فرضیه مدل بسادگی می توان دید که آنالیز واریانس همانند مدل با اثر ثابت توانایی آزمون فرضهای مربوطه را دارد.
اگر را بدین صورت بدست آوریم و معنی دار بودن را نشان دهد نمی‌توان گفت که این معنی دار بودن مربوط به است بنابراین باید به عبارت دیگر.
را با مقایسه شود.
برآورد پارامترهای مدل با اثر تصادفی (آزمایش فاکتوریل دو عاملی): اگر فرضهای H0 رد شوند بایستی برآورد پارامترهای مدل را براساس اطلاعات جدول آنالیز واریانس بدست آورد.
مدل با اثر مخلوط (آزمایش فاکتوریل دو عاملی) Mixed effect model در مدل با اثر مخلوط یکی از پارامترهای اثر اصلی تصادفی هستند.
فرض کنید ثابت، تصادفی هستند.
فرضیه های مدل عبارتند از: همچنین فرض می کنیم اثر متقابل برای اندیس پارامتر ثابت، ثابت بوده و برای اندیس پارامتر تصادفی، تصادفی باشند: بین دو سطوح تیمار: اگر اثر متقابل یکی زیاد شود اثر متقابل دیگری باید کم شود.
تذکر: اثرات متقابل در سطوح مختلف عامل با اثر ثابت مستقل نیستند.
اثرات متقابل در سطوح مختلف عامل با اثر تصادفی مستقل هستند.
a3a2a1گروه اول تیمارb3b2b1گروه دوم تیمار a3a2a1161310b1191613b2221916b3 a3a2a1111210b1211614b2352519b3 FACTOR BFACTOR BFACTOR BFACTOR BFACTOR BB…21…1…2FACTOR A...............…a منبع تغییراتمجموع مربعاتدرجات آزادیمیانگین مربعاتF0Total کلSSTabn-1--اثر تیمار گروه ASSAa-1اثر تیمار گروه BSSBb-1اثر تیمار ABSSAB(a-1)(b-1)باقیمانده ErrorSSEab(n-1)- TemperatureTemperatureTemperatureTemperatureTemperatureTemperatureTemperatureTemperatureTemperatureTemperatureTemperatureMaterial Type151515707070125125125yi001130155539344022920702309981741805398075229825823099821501886231261224792570198130021591266231061154795845198130031381105761741205839610434215013168160576150139583826034215011738173817381291129112917707707703799=y000 منبع تغییرات Source of Variationمجموع مربعات Sum of Squarsدرجه آزادی Degrees of Freedomمیانگین مربعات Mean SquareF0Total77646.9735--Material Types10683.7225341.867.91>3.35Temperature39118.72219558.3628.97>3.35Interaction9613.7842403.443.56>2.73Error18230.7527675.21- منبع تغییراتDfSSMSE(MS)FAa-1SSAMSABb-1SSBMSBAB(a-1)(b-1)SSABMSABError باقیماندهAb(n-1)SSEMSE-Total کلAbn-1SST---