دانلود تحقیق معادلات فرد هولم

شباهت ها با جبر ماتریسی: سه معادله انتگرال زیر را در نظر بگیرید حدود تغییرات انتگرال گیری و تعریف توابع شامل است.

حدود انتگرال گیری را تا لازم نباشند ذکر نمی کنیم.

قبل از اینکه جواب، این معادلات را مطرح کنیم بهتر است که تقریب هایی ساده برای آنها بدست آوریم، سپس تقریب ها را مورد بحث قرار دهیم.

برای این کار می توانیم ایده ای از خواص معادلات انتگرال را بدست آوریم، هر چند عموماً این خواص را به جای اثبات فقط معین می کنیم.

در اینجا فرض می کنیم که معادلات ناتکین هستند.

فرض کنید یک عدد صحیح باشد و q,p اعداد صحیح مثبت کمتر از باشند.

قرار می دهیم: .

با میل به سمت بی نهایت و h به سمت صفر، به درستی انتظار داریم که تقریب بهتر و بهتر شود.

اکنون ، تقریبی برای است و در نتیجه مجموعه معادلات زیر (فرمول ها در فایل اصلی موجود است) ( (فرمول ها در فایل اصلی موجود است) به ترتیب تقریب هایی برای معادلات انتگرال (1-2)، (2-2)و(3-2) هستند.

معادلات (4-2)،(5-2)و(6-2) را می توان به ترتیب، به صورت ماتریسی بازنویسی کرد.

(فرمول ها در فایل اصلی موجود است) که در آن K ماتریس مربعی با درایه های به ترتیب ماتریس های ستونی با درایه , هستند.

اکنون رفتار این معادلات ماتریسی را در نظر بگیرید.

معادله (7-2) یک جواب یکتا دارد مشروط براینکه K یک ماتریس وارون پذیر باشد.

در هر حال اگر Kوارون پذیر باشد، رتبه K از مرتبه آن کوچکتر است و برخی سطرهای آن به طور خطی مستقل خطی از سطرهای دیگر هستند.

اگر همین رابطه بین درایه های متناظر در برقرار باشد، تعداد نامتناهی از جوابهای نایکتا موجود است.

اگر این چنین نباشد، معادلات ناسازگارندو جوابی وجود ندارد.

بنابراین امکان دارد معادله (1-2) یا جواب یکتا داشته باشد، یا بی نهایت جواب، یا بدون جواب.

اکنون معادله (8-2) را به صورت زیر بازنویسی می کنیم اگر K وارون پذیر باشد، این معادله بردار ویژه و مقدار ویژه غیر صفر وابسته به آن دارد.

ممکن است فرض شود که همه مقادیر ویژه با هم متفاوت باشند.

وقتی نباشند تعدیل مناسبی را می توان بر نظریه اعمال کرد.

اگر ماتریس وارون ناپذیر باشد و رتبه باشد و n-m بردار ویژه متناظر با یک مقدار ویژه صفر وجود دارد.

باید توجه شود که در حالت کلی بردارهای ویژه ، که با جوابهای بیان می شوند با یکی نیستند مگر اینکه ماتریس Kمتقارن باشد(در عبارت اخیر، اندیس T که در بالا قرار دارد ترانهاده را نشان می دهد).

در هر حال، مقادیر ویژه همیشه مشابه خواهند بود.

برخی روابط تعامد را می توان به صورت زیر اثبات کرد: فرض کنیم بردار های ویژه و متناظر با مقادیر ویژه غیرصفر، نابرابر و باشند، که فقط در صورتی ممکن است که اگر (فرمول ها در فایل اصلی موجود است) با انجام فرآیند متعامد سازی معمولی می توان این نتیجه را برای حالتی که مقادیر ویژه با هم برابر باشند بدست آورد.

علاوه بر این همیشه ممکن است با تغییر مقیاس، رابطه زیر ساخته شود با انجام فرآیند متعامد سازی معمولی می توان این نتیجه را برای حالتی که مقادیر ویژه با هم برابر باشند بدست آورد.

علاوه بر این همیشه ممکن است با تغییر مقیاس، رابطه زیر ساخته شود وقتی کار نرمال سازی انجام شد، واضح است که فرض کنیم یک ماتریس ستونی دلخواه با n درایه باشد.

فرض کنیم پس و همین طور به عبارت دیگر جواب مجموعه معادلات (9-2) را در نظر بگیرید اگر مقدار ویژه مجموعه معادلات نباشد یعنی (13-2) (I ماتریس یکه از مرتبه است) پس مجموعه معادلات (6-2) یک جواب یکتا دارد.

می توان دید که دترمینان از مرتبه n است و می توان آن را به صورت یک چند جمله ای درجه n ام بر حسب بسط داد که مقدار ثابت در آن یک است.

همچنین وقتی که یک مقدار ویژه دستگاهی باشد که با معادله (8-2) تعریف شده است صفر می شود.

بنابراین که در آن ها مقادیر ویژه دستگاه هستند.

مناسب‌تر است که فرض کنیم: متناظر با نامساوی های بالا داریم: از این به بعد، این قرارداد در متن پیش رو رعایت می شود.

جوابی به صورت را بیابید، که در آن ها بردارهای ویژه دستگاه همگن هستند.

اکنون که در آن است.

و همین طور که از آنجا و همین طور بنابراین (14-2) می بینیم که این رابطه را می توان به صورت زیر نوشت (15-2) که در آن چند جمله هایی از مرتبه بر حسب هستند.

اگر یک مقدار ویژه مثلاً باشد، آنگاه عبارت بی نهایت می شود مگر اینکه صفر شود، که در این صورت، رابطه قبل به صورت مبهم در می آید.

پس از رفع ابهام جواب آن برابر می شود با که در آن C یک اسکالر ثابت دلخواه است،و از اینرو نامعین است.

راه دیگری برای حل معادله وجود دارد دنباله بردارهایی تعریف شده با را در نظر بگیرید.

به سادگی می توان دید که اکنون و اگر این آخرین کمیت به صفر میل کند دنباله به سمت جواب معادله میل می کند و همچنین و همچنین و عبارت فوق به سمت صفر میل خواهد کرد، اگر بنابراین، اگر ، یک جواب به صورت زیر خواهد بود که رسماً با رابطه زیر هم ارز است یک بیان دیگر که در آن برای اینکه ببینیم چه رفتاری را از جوابهای معادلات انتگرال انتظار داشته باشیم تفسیر زیر را می توان مورد بهره برداری قرار داد.

درایه های ماتریس ستونی با hAB تعریف شده اند.

که Aیک ماتریس مربعی و B یک ماتریس ستونی است.

مقدار تابع A(x,y) در است و مقدار تابع B(y) در است، B(y),A(x,y) توابع مناسب هستند.بنابراین عبارت (19-2) یک تقریب برای است.

از این تفسیرها و آنچه قبلاً آمد خواص زیر برای جوابهای معادلات انتگرال پیشنهاد شده اند: (الف) معادله جواب یکتا دارد مشروط بر اینکه تابعی مانند وجود نداشته باشد به طوری که (20-2) (ب)تعداد نامتناهی از توابع ویژه و مقادیر ویژه وابسته با K وجود دارند به طوری که (22-2) اگر K در y,x متقارن باشد مشابه هستند،و را بتوان به گونه ای نرمال کرد که که در آن ممکن است تعدادی از ها صفر باشند.

معادلات (10-2)،(11-2)و(12-2) تقریب هایی از معادلات (23-2) و (24-2) هستند.

(پ) معادله انتگرال یک جواب یکتا به صورت (25-2) دارد.

مگر اینکه یک مقدار ویژه باشد.

به صورت است که در آن ‌ که در آن ها مقادیر ویژه هستند.

(.λ ; x,y)D را می توان به صورت یک سری توانی از بیان کرد.

معادله (15-2) یک تقریب به معادله (25-2) می باشد.

اگر یک مقدار ویژه باشد، آنگاه فقط یک جواب وجود دارد اگر و این حالت جواب با یک مقدار نامعین است که در آن Cیک ثابت دلخواه است.

یک بیان دیگر از جوابی که همگراست وقتی است که ، که در آن کوچکترین مقدار ویژه است ، عبارتست از که در آن با تعریف می شود.

معادله (16-2) تقریبی به معادله (27-2) است.

2-2 هسته های تباهیده هسته ای به صورت را در نظر بگیریدکه در آن متناهی است و توابع مستقل خطی را تشکیل می دهند.

(اگر این توابع مستقل خطی نباشند، اتفاقی رخ نمی دهد می توان تعداد جمله ها را کاهش داد.)هسته ای با این مشخصه، هسته تباهیده نامیده می شود.

اکنون معادله انتگرال نوع اوّل را در نظر بگیرید: بی درنگ ، میتوان دو گزاره ساخت: الف) جوابی وجود ندارد، بجز f (x) که می توان آن را به صورت زیر نوشت این موضوع برای خود - سازگار بودن معادله امری اساسی است.

(ب) جواب با هر تابع که بر تمام ها در محدوده انتگرال گیری عمود است، نامعین می باشد.

چنین تابعی را موقعی می توان ساخت که n متناهی باشد.

بنابراین لازم است نشان دهیم که معادله خود – سازگار است ، و وقتی که دنبال جواب هستیم بهتر است دنبال ساده ترین راه بگردیم.

مثال 1-2 معادله انتگرال خود- سازگار نیست و جوابی ندارد.

زیرا که به صورت: Asinx + BCosx است.