دانلود تحقیق مبحث تابع

تعریف زوج مرتب: هر دسته متشکل از دو عنصر با ترتیب معین را یک زوج مرتب گویند.

مانند زوچ مرتب (x,y) که x را مؤلفه اول مختص اول یا متغیر آزاد گویند و y را مؤلفه دوم مختص دوم متغیر وابسته( تابع) یا تصویر گویند و نمایش هندسی آن نقطه‌ای در صفحه مختصات قائم است که طول آن برابر x و عرض آن برابر y است.

تساوی بین دو زوج مرتب: دو زوج مرتب با یکدیگر مساوی‌اند اگر دو نقطه اگر مؤلفه‌های نظیر‌به‌نظیر آنها با هم برابر باشند یعنی: مثال: از تساوی زیر مقادیر x,y را بیابید: تعریف حاصل‌ضرب دکارتی دو مجموعه : حاصلضرب دکارتی در مجموعه B,A که با نماد نشان داده می‌شود عبارت است از مجموعه تمام زوج‌ مرتبه‌هائی که مؤلفه اول آنها از A و مؤلفه دوم آنها از B باشد یعنی: مثال: حاصلضرب دکارتی درهر یک از مثالهای زیر را بصورت مجموعه‌ای از زوجهای مرتب بنویسید و نمودار آن را در دستگاه محورهای مختصات قائم رسم نمائید: (1 (2 نمودار حاصلضرب دکارتی مجموعه‌های داده شده زیر را در دستگاه محورهای مختصات قائم رسم کنید.

ویژگی‌های حاصلضرب دکارتی مجموعه‌ها : فضای دوبعدی ( صفحه) 3) تضاد زوج های مرتب: تعریف ریاضی رابطه: اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند هر زیرمجموعه از حاصلضرب دکارتی را یک رابطه از A در B گویند اگر f یک زیرمجموعه از باشد گویند.

F یک رابطه از A در B است به عبارت دیگر رابطه Fمجموعه تمام زوج مرتب‌های است که مؤلفه‌های اول و دوم آن با شرایطی خاص( قانون یا ضابطه خاص) به یکدیگر مربوط می‌شوند.

به بیان دیگر رابطه f زیرمجموعه‌ای از است که با ضابطه یا قانون خود مختص اول زوجهای مرتب را به مختص دوم آنها پیوند می‌دهد مانند رابطه پدر و فرزندی رابطه مالک و مستأجری رابطه عبد و مولا رابطه اعداد با مجذور آنها.

مفهوم تابع: تابع بیانگر چگونگی ارتباط مقدار یک کمیت(متغیر وابسته y= ) به مقدار یک کمیت دیگر( متغیر مستقل x= ) است مفهومی که خواص آن، انواع آن، نمودار‌ آن حد و پیوستگی آن؛ مشتق و انتگرالگیری از آن و… نه تنها در ریاضیات بلکه درهمه علوم و فنون نقش مهمی ایفا می‌کند و در زندگی خود نیز به نمونه‌هایی برمی‌خوریم که مقدار یک کمیتی( کمیت تابع) به مقدار کمیت دیگری( کمیت آزاد) وابسته است؛ مثال: متغیرهای وابسته (y) و متغیرهای مستقل(x) را در مثالهای زیر مشخص کنید: افزایش طول یک فنر به وزنه‌ای که به آن آویزان می‌شود بستگی دارد.

جواب: « افزایش طول فنر» = متغیر وابسته(y ) و « مقدار وزنه» = متغیر آزاد (x) »هر که بامش بیش، برفش بیشتر» جواب:« مقدار برف انباشته‌شده روی پشت‌بام» = متغیر وابسته(y ) و« مساحت پشت‌بام»= متغیر آزاد مقدار مکعب هر عددی به آن عدد وابسته است.

جواب: مکعب عدد«= متغیر وابسته(y ) و « خود عدد»= متغیر مستقل(x ) تذکر: با توجه به اینکه هر تابع یک رابطه است( عکس این مطلب درست نیست یعنی هر رابط ممکن است تابع نباشد.

تعریف تابع: اگر رابطهf بصورت مجموعه زوجهای مرتب باشد آنگاه رابطه f را تابع گویندهرگاه هیچ دوزوج مرتب متمایزی در f دارای مؤلفه‌های اول یکسان نباشند یعنی: یا مثال: اگر و باشد کدامیک از رابطه‌های زیر یک تابع از A در B است.

( تابع ثابت) * دوزوج متمایز نیستند.

زیرا مثال: اگر روابط زیر تابع باشند مقادیر متغیر x را بیابید: تذکر: * اگر رابطه f بصورت نمودار پیکانی باشد آنگاه رابطه f را تابع گویند هرگاه به هر x متعلق به دامنه f فقط‌وفقط یک مقدار y متعلق به برد f را نسبت داد به عبارت دیگر از هر عضو دامنه فقط‌وفقط یک پیکان به عضو متناظرش در برد خارج شود.

تذکر: اگر رابطه f بصورت نمودار مختصاتی باشد آنگاه رابطه f را تابع گویند هرگاه هیچ دونقطه‌ای f روی یک خط موازی با محور y واقع نشوند به عبارت دیگر هر خط موازی محور yها نمودار f را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

اگر رابطه f بصورت نمودار مختصاتی باشد آنگاه رابطه f را تابع گویند هرگاه هیچ دونقطه‌ای f روی یک خط موازی با محور y واقع نشوند به عبارت دیگر هر خط موازی محور yها نمودار f را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

مثال کدامیک از نمودارهای زیر تابع‌اند.

تذکر: اگر رابطه f با ضابطه یا قانونی کلی مشخص شده‌باشد آنگاه تابع f ضابطه یا قانونی است که به هر x از دامنه (Df)f عضو،منحصر بفرد (y)f(x) از مجموعه بردf را نسبت دهد یعنی هرگاه ضابطه رابطه f داده شد‌ه‌باشد برای تشخیص تابع‌بودن آن( نشان‌دادن تابع‌بودن ان نه اثبات تابع‌بودن)( از روی ضابطه مفروض y را برحسب x می‌یابیم آنگاه اگر برای هر x متعلق به دامنه f فقط‌وفقط یک جواب برای y حاصل شود f تابع است در غیراینصورت f تابع نیست.

مثال: آیا روابط زیر تابع‌اند بررسی کنید: f تابع نیست لذا f تابع است.

f تابع است چند نکته: 1) جهت تصور می‌توان هر تابع را بمنزله ماشینی گرفت که برای هرx ورودی مجاز یک خروجی منحصر بفرد تولید می‌کند پس f خود ماشین و خروجی آن بازاء ورودی x است لذا بین ماشین (f) و تولیدی آن(f(0)) لازم است تفاوت قائل شویم یعنی f: خود تابع و f(x) ضابطه یا قانون کلی تابع یا مقدار تابع بازاء x است.

2) برای مشخص‌کردن یک تابع از« مجموعه زوجهای مرتب نمودار پیکانی، نمودار مختصاتی و علائم ریاضی استفاده می‌کنند.

برای مشخص‌کردن یک تابع با علائم ریاضی باید سه‌تائی زیر معین گردد: الف) مجموعه‌ای مانند A به نام مجموعه آغاز یا حوزه تعریف تابع که دامنه تابع زیرمجموعه آن است ب) مجموعه‌ای مانند B به نام مجموعه انجام هم دامنه یا حوزه مقادیر تابع که برد تابع زیر مجموعه آن است: ج) ضابطه قانون یا معادله تابع که چگونگی ارتباط اعضاء دامنه و برد تابع را مشخص می‌کند قانونی که به هر عضو از A حداکثر یک عضو از B را نسبت می‌دهد.

مثال: 1- تابعی مانند f چنان مشخص کنید که هر عدد طبیعی را به مجذور آن نسبت دهد.

مثال:2- مثلث متساوی‌الساقینی به ساق و ارتفاع 4 مفروض است تابعی بنویسید که مساحت این مثلث را به وابسته کند،.

و نکته: 3- تابع حقیقی: تابع f از A به B را یک تابع حقیقی گوئیم هرگاه B,A زیر مجموعه‌هایی از R ( مجموعه اعداد حقیقی) باشند و ما از این پس با مربع حقیقی سروکار داریم و هرگاه تابع حقیقی f از R به R باشد آنها به مشخص‌کردن قانون تابع قناعت می‌کنیم لذا هرگاه دامنه تابعی حقیقی مشخص نشده‌باشد دامنه آن مجموعه‌ای از اعداد حقیقی است که بازاء هر عضو آن قانون تابع تعریف شده‌باشد.

4) اگر برای عضو X ا زمجموعه A عضو متناظری در مجموعه B وجود نداشته‌باشد در این صورت گرفته می‌شود که تابعf در x تعریف نشده‌است یا تابع f د رx نامعین است.

تعریف‌نشده 5) برای اثبات اینکه آیا ضابطه یک رابطه می‌تواند ضابطه یک تابع باشد از تعریف تابع استفاده می‌کنند و درستی استلزام زیر را درباره آن ضابطه ثابت می‌کنند.

یا مثال: تابع‌بودن یا نبودن ضابطه‌های زیر را ثبات نمائید: و لذا f تابع نیست.

و اما f تابع نیست.

و لذا f تابع است.

6) هرگاه دامنه یک تابع را به چند مجموعه جدا از هم تقسیم کنیم بطوریکه اجتماع آن مجموعه‌ها برابر با دامنه تابع باشد و روی هر مجموعه ضابطه‌ای مجزا تعریف کنیم در این صورت یک تابع با چند ضابطه بدست می‌آید که به آن تابه« چندضابطه‌ای» می‌گویند: یعنی: 7) اگر قانون یک رابطه چندضابطه‌ای باشد آنگاه به شرطی تابع است که: الف) هر ضابطه‌ به تنهایی بتواند قانون یک تابع روی دامنه آن باشد.

ب) اشتراک دامنه‌های دوبه‌دو ضابطه‌ها تهی باشد و یا اگر در نقطه‌ای اشتراک داشتند مقدار تابع در هر دو ضابطه برابر باشد یعنی: f(x) ضابطه یک تابع است به شرطی که: الف) روی و روی و … روی ضابطه ب) یا مثال: آیا رابطه زیر تابع است؟

چرا؟

حل: بله زیرا هر ضابطه‌ای روی دامنه‌اش می‌تواند ضابطه یک تابع باشد و اشتراک دامنه‌های دوبه‌دو ضابطه تهی است.

مثال: آیا رابطه زیر تابع است؟

حل؛ خیر زیرا است ولی: آشنایی با برخی از ضابطه‌ها که می‌توانند قانون یک تابع باشند: الف) و و و ب) و و و ج) و و و د) و و و ه) و و و) و و ز) و و و ح) و و و ط) و و آشنایی با برخی از ضابطه‌ها که نمی‌توانند قانون بک تابع حقیقی از R در R باشند: (الف (ب ( ج (د ( ه (و (ز (ط دامنه توابع: الف) اگر تابع به صورت مجموعه وزجهای مرتب باشد آنگاه مجموعه مؤلفه‌های اول آن دامنه تابع است: ب)اگر نمودار پیکانی تابع داده شده‌باشد، مجموعه اعضائی از مجموعه آغازین که پیکان از آنها خارج شده‌است را دامنه تابع گویند.

ج) اگر نمودار مختصاتی تابع مشخص شده‌باشد مجموعه نقاطی از محورx ها که نمودار تابع در آن تعریف شده‌است را دامنه تابع نامند.

د) اگر تابع با ضابطه آن مشخص شده‌باشد به وسیعترین مجموعه‌ای از متغیر که تابع بازای هر عضو آن تعریف شده‌باشد دامنه تعریف تابع گویند یعنی: طریقه تعیین دامنه برخی از توابع حقیقی: 1) توابع چندجمله‌ای : اگر معادله تابع به صورت باشد آنگاه دامنه تعریف تابع مجموعه اعداد حقیقی R ( مجموعه آغازین) است.

2) توابع کسری گویا: اگر معادله تابع بصورت باشد آنگاه دامنه تابع مجموعه اعداد حقیقی R( مجموعه آغازین) به غیر از ریشه‌های مخرج کسر( در صورت وجود) است.

3- توابع اصم با فرجه فرد: اگر معادله تابع بصورت و باشد آنگاه دامنه تعریف تابع f همان دامنه تعریف تابع y است یعنی رادیکال با فرجه فرد هیچ نقشی در تعیین دامنه تابع ندارد.

مثال: 4) توابع اصم با فرجه زوج: اگر معادله تابع بصورت باشد آنگاه دامنه تعریف تابع مجموعه xهائی که بازای آنها عبارت زیر رادیکال عددی نامنفی(مثبت یا صفر) باشد است یعنی باید عبارت داخل رادیکال بزرگتر یا مساوی صفر قرار داد و مجموعه جواب آن را تعیین کرد و اگر رادیکال با فرجه زوج در مخرج کسر باشد باید عبارت داخل رادیکال را فقط بزرگتر از صفر قرار داد و اگر معادله تابع شامل چند رادیکال با فرجه زوج باشد برای یافتن دامنه بین دامنه رادیکالها اشتراک می‌گیرند: مثال: توجه: و 5) توابع شامل قدرمطلق و جزء صحیح: اگر معادله تابع بصورت یا باشد آنگاه دامنه تعریف تابع f همان دامنه تعریف تابع y است یعنی در این حالات قدرمطلق و جزء صحیح در تعیین دامنه بی‌تأثیراند البته متذکر می‌گردیم که اگر تنها بخشی از معادله تابع دارای قدرمطلق و جزء صحیح باشد در اینصورت برای تعیین دامنه تابع از خواص قدرمطلق و جزء صحیح استفاده می‌کنند.

برخی از خواص جزء صحیح : 2) 3) 4) مثال: 6) توابع لگاریتمی: اگر معادله تابع بصورت باشد آنگاه برای تعیین دامنه این توابع سه شرط مقابل برقرار باشد.” “ یعنی: نکته: یا * یا مثال: اگر 7) توابع نمائی: اگر معادله تابع بصورت باشد آنگاه دامنه تابع همان دامنه است یعنی: مثال 8- توابع مثلثاتی: دامنه توابع مثلثاتی ساده با توجه به نمودار آنها به صورت زیر است: (الف (ب (ج (د مثال: تذکر 8: به فرض آنکه x متغیر مستقل فرض شود ضابطه در صورتی مربوط به یک تابع است که نسبت به y از درجه اول باشد.

تذکر9: چنانچه ضابطه نسبت به y از درجه 3 باشد در صورتیکه مشتق تابع نسبت به y دو ریشه متمایز داشته‌باشد این ضابطه مربوط به یک تابع نیست اما اگر مشتق آن نسبت به ریشه مضاعف داشته‌باشد یا ریشه حقیقی نداشته‌باشد آنگاه ضابطه داده شده مربوط به یک تابع است.

مثلاً ضابطه مربوط به یک تابع است زیرا مشتق آن نسبت به y عبارت است از: که هیچ ریشه‌ای ندارد پس ضابطه یک تابع است درحالیکه ضابطه مربوط به یک تابع نیست زیرا: دارد دوریشه حقیقی متمایز است.

تذکر 10: حال آنکه اگر y متغیر مستقل فرض شود ضابطه داده‌شده به شرطی مربوط به یک تابع است که با نسبت به x از درجه اول باشد یا اگر نیست به x از درجه سوم است مشتق آن نسبت به xیشه حقیقی نداشته و یا ریشه مضاعف داشته باشد.

3 2 2- 3-X++ 0+A