دانلود تحقیق ریاضیات و بند کفش

آیا هیچ گاه از خود پرسیده اید که چه کسی یک ریاضیدان است؟

چندین سال پیش حرفه ای برای این پرسش در ذهن من ایجاد شد و به نظرم رسید که ریاضیدان شخصی است که قدرت تشخیص فرصتهای موجود برای به کار گیری ریاضیات را دارد و این در حالی است ک بقیه افراد متوجه این فرصتها نیستند.

در این مورد می توان بند کفش را در نظر گرفت آقای جان هاتسون استاد علوم کامپیوتر دانشگاه کارولینای شمالی مقاله ای با عنوان » معمای بند کفش« به رشته تحریر درآورده است.

حداقل سه نوع آرایش کلی برای بستن بند کفش وجود دارد که عبارت است از نوع امریکایی(زیگراگ)، نوع اروپایی و نوع کفاشی(ایرا نی).

هر چند از نظر خریدار شکل ظاهری و زمان لازم برای گره زدن دارای اهمیت است ولی برای تولید کنندگان کفش، موضوع مهمتر آن است که کدام یک از آرایشها دارای کوتاهترین طول بوده و در نتیجه کمترین هزینه را در بر خواهد داشت؟

در این مبحث به منظور یافتن طول بند فقط اندازه خطوط مستقیم مورد توجه قرار گرفته است.

فزض شده است که طول مورد نیاز برای گره زدن در تمامی آرایشها یکسان است و از این رو در نظر گزفته نشده است.

توصیه میشود از چشمهای کسی ه کفش را پوشید ه است به کفش بنگرید و در این راستا منظور از ردیف بالای سوراخها آنهایی است که نزدیک پا باشند.نکته دیگر اینکه در اینجا ضخامت بند (ضخامت خط) معادل صفر و سوراخها به عنوان نقطه فرض شده اند.

حال اگر به دقت به مساله بنگریم، خواهیم دید که طول بند به سه پارامتر بستگی دارد که در روی شکل نیز مشخص شده اند: 1- تعداد سوراخها(n ) 2- فاصله بین سوراخهای متوالی (d ) 3- فاصله بین سوراخها ی چپ و راست در هر ردیف (g ).

بااستفاده از قضیه فیثاغورث می توان طول بندها را یافت (البته شادی تعجب کنید که قضیه چنین مرد بزرگی دارای این کاربرد باشد): الف)آمریکا ئی : ب)اروپایی : ج)کفاشی : حال بایددید که کدامیک از آرایشها کوتاهتر و برای اینکار در نظر گرفته می شوند: الف)آمریکایی ب)اروپایی : ج)کفاشی: در اینجا این سوال مطرح است که آیا نوع آمریکایی همیشه کوتاهترین طول را دارد ؟

بااستفاده از قوانین جبری می توان دید ک اگر dو g غیر صفر بوده و n حداقل 4 باشد دارندگان کوتاهترین طول به ترتیب عبارت خواهد بود از نوع آمریکایی ، ارپایی، و کفاشی، اگر n =3 باشد مجدداَ آرایش آمریکایی کوتاهترین طول را دارد ولی طول دو نوع دیگر مساوی می شودو نها یتاَاگرn =2 شود( یعنی تنها در سوراخ در هر طرف) طول یکسان خواهد شدولی احتمالاَ ریاضیدان ها فقط به این حالت علاقه مند می باشند در اینجا این سوال مطرح است که آیا نوع آمریکایی همیشه کوتاهترین طول را دارد ؟

بااستفاده از قوانین جبری می توان دید ک اگر dو g غیر صفر بوده و n حداقل 4 باشد دارندگان کوتاهترین طول به ترتیب عبارت خواهد بود از نوع آمریکایی ، ارپایی، و کفاشی، اگر n =3 باشد مجدداَ آرایش آمریکایی کوتاهترین طول را دارد ولی طول دو نوع دیگر مساوی می شودو نها یتاَاگرn =2 شود( یعنی تنها در سوراخ در هر طرف) طول یکسان خواهد شدولی احتمالاَ ریاضیدانها فقط به این حالت علاقه مند می باشند.

سرگرمی فکر با عدد1992 ریاضیات در عهد باستان ریاضیات سرگذشتی طولانی دارد ما به اختصار ولی از ابتدا خواهیم گفت ، وقتی به عصر شکوفایی علم در تمدن اسلامی و ریاضیات این دوره می رسیم تأملی ژرف خواهیم داشت و به بیان تاریخ پر افتخار در سرزمینهایی اسلامی ،به ویژه ایران،خواهیم پرداخت، اهرام مصر قریب به پنج هزارسال پیش ساخته شده اند.

عظمت این بنا ها و دقت و ظرافتی که در ساختن آنها بکار رفته، به حدی است که موجب پیدایش هاله ای از افسانه در پیرامون آنها شده است هرم بزرگ جیزه بش از 50000 متر مربع زمین را می پوشاند و بالغ بر 2000000 قطعه سنگ، با وزنی به طور متوسط برابر با 5/2 تن، در ساختن آن بکار رفته است.

این قطعه سنگها از معادن سنگی آن سوی رود نیل استخراج شده و به محل هرمها حمل گریده و به دقت تمام به هم جفت شده اند.

سقف بعضی از اطاقها از سنگهای خارایی به وزن 54 تن، به طول 8 متر و ضخامت تقریبی 2/1 متر ساخته شده اند که از معادن سنگی که حدود 1000 کیلومتر با محل فاصله دارند به آنجا آورده شده و در ارتفاع 60 متری از سطح زمین نصب شده اند.

قاعده هرم بزرگ مربعی است ک خطای نسبی در اختلاف اضلاع آن کمتر از و خطای نسبی زوایا در انحراف از قائمه کمتر از است.

اهرام بر روی مدار 30 درجه بنا شده و دقیقاَ متوجه چهار جهت اصلی اند در این اهرام راهروهای شیب داری ساخته شده که (در زمان بنای آنها )درست در امتداد ستاره قطبی بوده اند .

ساختمان این هرمها بدون تردید متضمن آشنایی با ریاضیات و نجوم است.

با همه این احوال این بین النهرین( سرزمین بین دو رود خا نهدجله و فرات ) است که گاهواره تمدن نامیده شده است در اینجا بر خلاف مصر هیچ نشانه ای از بناهای عظیم برپا مانده نمی یابیم.

از روی هزاران لوح سفالی که از زمین در آورده شده اند و کشف رمز و خواندن این لوحها وجود تمدن عظیمی که ساکنین گذشته این سرزمین بدان رسیده بودند،آشکار شده است.

برخی از این لوحها، کم و بیش به ریاضیات پرداخته اند که بزودی از آنها سخن خواهیم گفت.

هر دو سرزمین مصر و بین النهرین، در میان دو دریا امتداد پیدا می کنند.

برای مصردریای مدیترانه در شمال است و دریای سرخ در مشرق، و در بین النهرین خلیج فارس در قسمت جنوب شرقی است و دریای سرخ در مغرب.

این دو ناحیه را بادیه الشام از یکدیگر جدا می سازدو یا شاید به تعبیری بتوان گفت : آن دو را بیابانی که میانشان است و دریاهای مشترک بین هر دو به یکدیگر متصل می سازد بیشتر حوادث تاریخی این دوره در این ناحیه اتفاق افتاده است خط و کتابت، به طور مستقل، در این دو سرزمین ابداع شده است و اختراع چرخ و استفاده از آهن هم مصادف با آغاز تمدن در این دو ناحیه بوده است برای سهولت این دو تمدن را به طور جداگانه مورد بررسی قرار سمی دهیم و مطلب را با مصر آغاز می کنیم.

مصر در جایی که سرزمین مصر کنونی است ابتداء دو پادشاهی، یکی در شمال و دیگری در جنوب وجود داشته است زمانی بین سالهای 3500 و3000 ق.م حکمروایی به نام منس شمال و جنوب را متحد کرده است.

از این زمان به بعد دوره های اصلی تاریخ مصر با نام سلسله های حاکم مشخص می شود و منس موسس سلسله اول بوده است.

اوج تمدن مصر در دوره سلسله اول (حدود 2500 سال ق.م.)حادث شده است که حکام این دوره اهرام را ساخته اند.

تمدن مصر تا زمان فتح آن به دست اسکندر در سال 322ق.م.

مسیرطبیعی خودرا داشته است بعد از آن تا حدود 600 بعد از میلاد تاریخ و ریاضیات مصر یه تمدن یونان تعلق دارد.

بنابر این جدا از تهاجم کوتاه مدتی که در سالهای بین 1700تا 1600ق.م.

توسط هیکسوسها انجام شده است، وجدا از تماسی که با تمدن بابلی ایجاد شده است (شواهد این تماس از کشف لوحهای تل العمارنه به زبان میخی مربوط به سال 1500 ق.م.

استنباط می شود).

تمدن مصری محصول مردم بومی بوده است.

مصریان دستگاههای خط نویسی خاص خود را پدید آوردند.

یکی از آنها خط هیروگلیفی و از نوع تصویری بود، یعنی هر علامت تصویری از یک شئ بود از هیروگلیفها برای نوشتن روی بناهای یاد بود تا حدود میلاد مسیح استفاده می شده است.

از حوالی 2500 ق.م.

به بعد مصریان برای مقاصد روزانه آنچه را که خط هیراتیک (خط کاهنان) نامیده می شد مورد استفاده قرلر دادند .

در این دستگاه خط نویسی علایم قرار دادی به کار می رفت که در ابتدا صرفاَ صورتهای اختصاری هیروگلیفها بودند.خط هیراتیک هجایی بود هرهجا توسط یک اید ئو گرام (اندیشه نگار)نمایش داده می شد و یک کلمه کامل مجموعه ای از ایدئوگرامها بود از خط هیراتیک خط دموتیک ( خط عوام) پدید آمد که مورد استفاده عموم بود عمل نوشتن با استفاده از جوهر بر روی پاپیروس انجام می گرفت.

برای ساختن پاپیروس ساقه های نوعی نی آبی به نام پایو را به صورت نوارهایی بریده وکنار هم قرار می دادند تا صفحه ای از آن تشکیل شود لایه دیگری از نوارها را بر روی آن قرار می دادند و همه را با آب خیس می کردند که پس از آن صفحه را محکم فشرده در آفتاب خشک می کردند چون پاپیروس با گذشت ایام خشک شده و خرد می شود اسناد معدودی سوای سنگنبشته های هیروگلیفی از گزند روزگار در امان ما نده ا ند.

در سال 1799 ، در حمله ناپلئون به مصر با پیدا شدن کتیبهای در روزتا، یک بندر باستانی در نزدیکی اسکندریه که به سه خط یونانی، دموتیک، و هیروگلیف نوشته شده بود، رمز هیروگلیف توسط شامپولیون در فرانسه و توماس یانگ در انگلستان کشف و پس از آن امکان خواندن سنکنبشته های موجود در گورها و یادوارههای واقع در مصر فراهم شد.

رمز دستگاه عدد نویسی هیروگلیف مصری بسرعت گشوده شد.

این دستگاه عدد نویسی که به اندازه اهرام ثلاثه قدمت دارد مطابق انتظار دهدهی است با استفاده از علامتهای مجزایی برای هر یک از شش توان اول ده و تکرار آنها به قدر لزوم اعداد بالغ بر یک میلیون بر روی سنگ، چوب، و سایر مواد حک می شد.

خط عمودی کوتاهی نمایش یک عدد بود علامتی شبیه به یک U, وارون به نشانه10 به کار می رفت کلافی شبیه به حرف Cنمایش 100 بود یک گل نیلوفر نمایسش 1000 ، انگشت خمیده ای نشانه 10000 ، یک ماهی ریشدار علامت 100000 و مردی زانو زده نشانه1000000 بود.

با تکرار این علائم مثلاَعدد 12345 به صورت زیر نوشته می شد.

ارقام از مرتبه کوچک گاهی در سمت چپ قرار می گرفتند .و گاهی ارقام را بطور عمودی زیر هم می نوشتند خود علایم گهگاه در جهت معکوس نوشته می شدند به طوری که تحدب علامت 100 گاهی به چپ و گاهی به راست بود.

کتیبه های مصری گواه آشنایی مصریان با اعدا د بزرگ در اعصار قدیم است در موزه ای در آکسفورد یک گرز سلطنتی با قدمتی بالغ بر 5000 ساب نگهداری می شود که بر روی آن سخن از اسارت 120000 مرد جنگی و به غنیمت گرفته شدن 1422000 رأس بز طی یک مبارزه رفته است شاید این ارقام مبالغه آمیز باشد ولی از منابع دیگر معلوم شده است که مصریان در شمارش و اندازه گیری دقتی وافر داشته اند.

دانش ریاضی مصریان باستان محدود به اطلاعات موجود درسنگنبشته ها نیست، و اگر چنین می بود تنها امکان ارائه طرح بسیارناقصی از میزان پیشرفت آنها در این علم میسر می شد.

ریاضیات تنها منحصر به شمارش و اندازه گیری نیست و در سنگنیشته های مصری چیزی فراسوی آن یافت نمی‌شود.

خوشبختانه منابع دیگری برای کسب اطلاعات در این زمینه وجو د دارد، معدودی طومار از جنسی که در بالا به آن اشاره کردیم.

مهمترین پاپیروس که محتوای ریاضی دارد طوماری است به عرض تقریبی 30 ساتنی متر و طول تقریبی 5 متر که اکنون در موره بریتانیا نگهداری می شود.

این پاپیروس در سال 1858 توسط هنری ریند، باستانشناس اسکاتلندی خریداری شد، و از این لحاظ به نام پاپیروس ریند خوانده می شود.این پاپیروس به پاپیروس احمس هم شهرت دارد، زیرا آن را احمس کاتب در حدود 1650 ق.م رونویسی کرده است.

بنا به قول این کاتب، مواد نوشته مزبور از نمونه ای که سدارد و شایان اهمیت زیادی است.

پاپیروس مسکو طولی برابر با پاپیروس ریند دارد، یعنی طول آن تقریباَ5 متر است ولی عرض آن به اندازه یک چهارم پاپیروس ریند- تقریباَ 8 سانتی متر- است .

پاپیروس اخیر توسط کاتب گمنامی در دوره سلسله دوازدهم ( حدود سال 1890 ق.

م ) نوشته شده و در نوشتن آن به انداره پاپیروس احمس دقت نشده است.

علاوه بر اینها منابع دیگری وجود دارند، از آن جمله پاپیروس کاهون و پاپیروس برلین ( هر دو مربوط به دوران سلسله دوازدهم ) می باشند.

این پاپیروسها حاوی مسائلی همراه با حل آنها هستند.

پاپیروس ریند شامل 85 مسئله و پاپیروس مسکو شامل 25 مسئله است.

به احتمال قوی مسائلی که در این دو پاپیروس مهم وجود داشته اند، نمونه هایی از مسائل موجود و راه حلهای آنها بوده اند.

گرچه تاریخ هر دو پاپیروس حدوداَ به سال 1700 ق.م برمی گردد، ریاضیات موجود در آنها بر مصریان حدود 3500 ق.م معلوم بوده و تا زمان غلبه یونان بر مصصر چیز زیادی بر آن افزوده نشده و بدین ترتیب می توان گفت که در این فاصله، بعد از آغازی خوش، دچار رکود گشته است.

از محتوای این پاپیروسها معلوم می شود که مصریان اعداد صحیح را به خط هیراتیکی با استفاده از نمادهای زیر نوشته اند، 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 حساب اساساَ جنبه جمعی داشته است.

برای جمع و تفاضل معمولی آنها علایم لازم را برای رسیدن به مقصود کنار هم قرار می دادند.

عملا ضرب و تقسیم نیز به عمل جمع تحویل می شد.

برای پیدا کردن مثلاَ حاصلضرب 12 در 12 مصریان به ترتیب زیر عمل می کردند.

1 2 4 8 هر سطر از سطر پیش، با دو برابر کردن آن به دست می آید.

چون و، با جمع کردن 48 و 96 مقدار به دست می آید.

تقسیم یک عدد صحیح به عدد دیگری از این نوع توسط مصریان به همان نسبت جالب توجه است.

برای مثال عمل تقسیم 19 بر 8 چنین است:‍ 1 2 لذا جواب است.

همچنان که دیده می شود صرفاَ عده هشت ها و قسمتهایی از عدد هشت که مجموع 19 را حاصل می کند، انتخاب شده است.

نمایش کسرها در دستگاه عددنویسی مصری خیلی پیچیده تر از دستگاه عددنویسی امروزی است.

علامت نشان یک کسر بوده است.

در دستگاه خط نویسی هیراتیک این بیضی کوچک تبدیل به یک نقطه شده و این علامت یا نقطه معمولاَ در بالای عدد صحیح قرار داده می شده تا نمایش یک کسر به دست آید، مثالهایی در دستگاه هیروگلیفی چنین اند.= برخی کسرها نمایش خاصی داشته اند مثلاَ رمز هیروگلیف به نشانه و نشانه و نشانه بوده است.

سوای چند کسر، بقیه به کسرهای واحد ( کسرهایی با صورت یک ) تجزیه می شده اند.

مثلاَ احمس را به صورت می نویسد.

علامتی برای جمع به کار نمی بردند، ولی وجود آن از قراین معلوم می شده است.

در پاپیروس ریند جدولی برای بیان کسرهایی با صورت 2 و مخرجهای فرد از 5 تا101 به صورت کسرهایی با صورت 1 وجود دارد.

به کمک این جدول کسری نظیر را، که از نظر احمس خارج قسمت عدد صحیح 7 بر عدد صحیح 29 است، نیز می شد به صورت مجموع کسرهای واحد نشان داد.

از آنجا که ، وی هر یک از کسرهای را به صورت مجموع کسرهایی با صورت 1 در می آورد.

با ترکیب این نتایج و تحویلهای بیشتر، وی به مجموعی از کسرهای واحد دست می یابد، که مخرج همه آنها متفاوت است.

نمایش سرانجام، به صورتاست.

البته را می توان به صورت هم نوشت.

ولی از آنجا که جدول () احمس منجر به تجزیه اول می شود، همان هم مورد استفاده قرار می گیرد.

بیان کسرهای کلی به صورت مجموعی از کسرهای واحد با همان روشهای سنتی انجام می شد.

با استفاده از کسرهای واحد، مصریان چهار عمل اصلی را برای کسرها صورت می دادند.

طول و پیچیدگی محاسبات با کسرها، یکی از علل بود که جلو پیشرفت مصریان را در حساب و همینطور در جبر می گرفت.

در پاپیروسها مسائل جبر هم یافت می شود.

این مسائل متضمن یک مجهول اند که در اصل معادل با معادلات یک مجهولی کنونی اند.

معهذا، اعمال به کار رفته خصیصه حسابی دارند و حل معادلات به عنوان موضوع مستقلی از حساب به ذهن مصریان خطور نمی کرده است.

مسائل به طور لفظی بیان می شود و دستوراتی برای بدست آوردن جواب، بی آنکه روشهای بکار رفته توجیه شوند، داده می شوند.

به عنوان مثال ترجمه تحت اللفظی مسئله شماره 31 پاپیروس ریند چنین است: » کمیتی، آن، آن، وآن ، و کل آن، مساوی 33 است « این برای ما به معنی این است که حساب ساده ای از نوع آنچه مصریان داشتند.

جواب را می دهد.

مسئله 63 همین پاپیروس به قرار زیر است:(دستورهایی برای تقسیم 700 نان بین چهار نفر، برای یکی، برای دومی،برای سومی،برای چهارمی.)مسئله به زبان امروزی این است: حل آن، به صورتی که احمس داده چنین است: » را جمع کن.

نتیجه می شود.

1 را بر تقسیم کن، نتیجه می شود.

حالا قسمت از 700 را پیدا کن، نتیجه 400 است.

« در حل بعضی مسائل، احمس از » قاعده امتحان و تصحیح « استفاده می کند.

مثلاَ برای تعیین پنج عدد که جملات یک تصاعد حسابی هستند و مجموع آنها 100 است، وی ابتدا قدر نسبت تصاعد را برابر عدد کوچکتر و ابن عدد را یک فرض می کند و تصاعد:را به دست می آورد.

اما مجموع این اعداد 60 است در حالی که باید 100 باشد پس او هر جمله را در ضرب می کند.

تنها انواع ساده معادلات درجه دوم از قبیل توسط مصریان مورد بحث قرار گرفته است حتی موقعی که دو مجهول مطرح اند، معادله از نوع ، است که با حذف y به حالت اول تحویل می شود.

در این پاپیروسها بعضی مسائل عملی متضمن تصاعدهای حسابی و هندسی نیز یافت می شوند.

می توان از این مسائل و راه حلهای آنها به راه حلی کلی دست یافت.

در جبر مصریان عملاَ نمادی به کار نمی رود در پاپیروس احمس جمع و تفریق به ترتیب توسط ساقهای انسانی که در حال آمدن و رفتن است، نشان داده می شود و از علامت برای نشان دادن جذر استفاده می شود.

پیشرفت مصریان در هندسه چه اندازه بوده است؟همه ساله رودخانه نیل از بستر خود خارج شده مزارع اطراف را فرامی گیرد و در عین محو کردن حدود و مرزهای این مزارع آنها را با نم و خاک حاصلخیزی می پوشاند که غلات به طور معجزه آسایی در آن رشد می کنند.

تعیین مجدد این حدود نیازمند مساحی بود، که سبب پیدایش هندسه نسبتاَ پیشرفته ای در بین مصریان شده بود.

در پاپیروس ریند19مسئله وجود دارد که مربوط به مساحات مزارع و حجم انبارهای غله است و این مسائل با دقت قابل ملاحظه ای حل شده اند.

قسمتی از پاپیروس به تعیین مساحات مزارعی پرداخته است که به شکل مربع، مستطیل، مثلث، ذوزنقه، و نیز اشکالی هستند، که قابل تقسیم به اشکال فوق الذکرند.

مساحت دو شکل اول به درستی داده شده است، در مورد مثلث و ذوزنقه جای تردید است.

در یک تصویر مثلثی نشان داده شده که قاعده آن 4 است.

طول یکی از اضلاع 10 است و گفته می شود که مساحت آن 20 می باشد.

اگر آن گونه که از شکل بر می آید مثلث متساوی الساقین باشد، جواب نادرست است ولی اگر مثلث قائم الزاویه باشد، جواب صحیح است.

اگرچه عموماَ تصور می شود که مثلث متساوی الساقین در نظر بوده است، قابل توجیه نیست که مصریان، که دانش ریاضی آنها کم نبوده است، دچار چنین خطایی شده باشند.

غیر محتمل نیست که تصویر، که با بی مبالاتی کشیده شده، بد طراحی شده یاشد آنچه می بایست یک مثلث قائم الزاویه باشد، یک مثلث متساوی الساقین از کار در آمده است.

همین مطلب عیناَ در مورد ذوزنقه هم تکرار می شود.

مصریان مساحت دایره رامعادل با مساحت مربعی گرفته اندکه ضلع آن قطر دایره بود بدین ترتیب برای نسبت محیط دایره به قطر آن (تقریب) مقدار 16/3 رابدست آورده اند.

در یک مسئله دیگر حجم یک کاسه به شکل نیمکره به قطر 8 را 53/136 محاسبه کرده اند.

این امر به مقدار 2/3 برای نسبت محیط دایره به قطر آن منجر می شود که خطایی بیش از مقدار فوق دارد.

مصریان طرز محاسبه حجم استوانه با قاعده مستطیلی را می دانسته اندو مسائل زیادی از آنان راجع به محاسبه ظرفیت انبارهایی که اشکال بالا را داشته اند در دست است ولی بزرگترین دستاورد آنان تعیین حجم یک هرم ناقص (با قاعده های مربع شکل )است.

برای مصریان دانش نجوم جنبه اساسی داشت نیل برای آنها مثابه خونی بود که در رگهای زندگی شان جریان دارد چنانچه گفتیم مصریان از طریق کشت و زرع خاک حاصلخیزی که طغیانهای سالانه نیل برای آنها به ارمغان میآورد ارتزاق می کرده اند.با ایسن حال آنها باید خود را برای عوار ض منفی این طغیان هم آماده می کردند.

منزلگاه و گله خود را باید به طور موقت از منطقه دور می کردند و بدنبال آن بلافاصله برای زراعت آماده می شدند.از این رو لازم بود که شروع طغیان از قبل پیش بینی شود، و این کار از طریق آگاهی به پدیده های سماوی که مصادف با این واقعه بود میسر می گردید.

نجوم وضع تقویم را هم مقدور ساخت.

علاوه بر نیازی که درامور کشاورزی و بازرگانی به تقویم حس می شد می بایست اعیاد مذهبی هم پیش بینی می‌شدند.آنان عقیده داشتند که جلب نظرخدایان، وجود مراسم خاصی را در مواقع معین اقتضا می کند.

مصریان طول تقریبی سال خورشیدی را از طریق رصد کردن ستاره شعرای یمانی به دست آوردند.

آنها متوجه شدند که روز شروع طغیان خورشید بلافاصله پس از طلوع این ستاره طلوع می کند.

بدین ترتیب عادت شد که سال را از طلوع مقارن خورشید ستاره شعرای یمانی آغاز و به طلوع بعدی ختم کنند.فاصله بین این دوحادثه 365 روز بود.

از این رو مصریان احتمالاَ در سال 4241 ق.م.

یک تقویم رسمی بر مبنای 365 روز در سال را اتخاذ کردند.

به علت قلت منابعی که از مصریان به یادگار مانده است ارزیابی دستاوردهای ریاضی و نجومی آنها (ودیگر ملل باستان )مورد اتفاق همه علمای تاریخ نیست.

عدهای ریاضیات »عملی « مصریان را خام و خالی از جنبه های استدلالی (که وجه مشخصه ریاضیات یونانی است )تلقی می کنندو دیگران با در نظر گرفتن بعد زمانی این پیشرفتها، به تحسین توأم با شیفتگی خالقین آنها می پردازند.

قبلاَ برخی ویژگیهای اهرام را -که مستلزم مهندسی، ریاضیات،ونجوم و مدیریت و …..پیشرفته است – بر شمردیم.

برای آنها ویژگیهای بسیار متعدد دیگری هم نسبت داده می شود.

گفته شده است که برای یکنواخت نمودن شیب وجوه اهرام مصریان از یک مفهوم ریاضی استفاده کرده اند که معادل کوتانژانت زاویه کنونی است بدین ترتیب مصریان مبادی مثلثات و نظریه مثلثهای متشابه را پدید آورده اند گفته اند که آنها در پی آن بوده اند که نسبت طول پیرامون قاعده به ارتفاع اهرام را برابر در آورند (هرچند که این موضوع با کار احمس در زمینه مقادیر تقریب ارائه شده برای منطبق نیست) عده .با عنوان کردن این مطلب که در ساختن اهرام سپاه عظیمی از بردگان به کار گرفته شده و در واقع زور بازوی بردگان پدید آورنده اهرام بوده است، از اهمیت مهندسی و فنی متضمن در آن می کاهند.

الته تردیدی نیست که در ساختن آنها شماره فراوانی آدم کار می کرده اند ولی این قضیه معمای معماری و فنی را حل نمی کند بلکه معمای دیگری پیش می آورد که خود به اندازه معمای قبلی دشواری دارد گفتن اینکه مثلاَ30000 مرد پیوسته در ساختن این بناها به کار مشغول بوده اند، با زبان آسان است ولی عده افرادی که در یک محیط محدود کار می کنند،خود محدود است و حتی با قبول این فرض هم هدایت کار و کوشش آنها در جهت واحد به مهارت فراوان نیاز دارد و تهیه خوراک و بسامان نگه داشتن ایشان و رسیدگی به پیچیدگیهای فنی چنین کارعظیمی هوش و نبوغ فوق العاده می خواهد.

به هر حال اغلب مورخین متفق القولند که سهم مصریان به قرار زیر بوده است: 1.آنها قادر به انجام چهار عمل اصلی در حساب بوده اند.ک این اعمال شامل کسرها می شده است و نیز آنها روشی برای تقریب جذر اعداد داشته اند.

2.

آنها از تصاعد حسابی و هندسی مطلع بوده اند.

3.

آنها قادر به حل معادلات درجه اول جبری و معادلات درجه دوم بوده اند.

4.

معرفت آنها بر هندسه در حد مساحی اشکال مستوی و صلب بوده است.

5.

آنها دانش دقیقی از تربیع دایره و تقسیم دایره به قسمتهای مساوی داشته‌اند .

6.

آنها با مبادی نسبتها آشنا بوده اند برخی نویسندگان در این کار ایده مبهمی از آنچه را امروزه توابع مثلثاتی نامیده می شوند مساهده می کنند.

بابل به تمدنهای بین النهرین در عهد باستان اغلب عنوان تمدن بابلی داده می شود، گرچه این تسمیه علی الاصول درست نیست .شهر بابل نه در آغاز، مرکز فرهنگ منسوب به ناحیه بین دو رودخانه دجله و فرات بوده است و نه در دوره های بعدی برای همیشه چنین مانده است ، ولی جهت سهولت به این ناحیه در بین سالهای تقریباَ از 2000 ق.م.

تا600 ق.م .نام » بابلی« داده شده است.

درسال 538 ق.م.

بابل به دست کوروش فتح شد شهر سالم ماند ولی امپراطوری بابل به سرانجام خود رسید.

معهذا ریاضیات » بابلی « تا آغاز عصر مسیحیت از طریق سلسله های سلوکی سوریه به هستی خود ادامه داد گاهی این ناحیه به نام کلده هم خوانده مشود، زیرا کلدانیان که در اصل از جنوب بین النهرین برخاسته بودند قوم مسلط را عمدتاَ در اواخر قرن هفتم ق.م.

در سرتاسر ناحیه بین دو رودخانه تشکیل می دادند.

پس از آن سرزمین بین النهرین آماج حملاتی از جهات مختلف قرار گرفت و آن را بدل به آورد گاهی نمود که گاهی این و گاهی آن قوم بر ناحیه استیلا داشتند.

یکی از مهمترین تهاجمات توسط اکدی ها که از نژاد سامی بودند، تحت رهبری سارگون اول (حدود 2276-2221ق.م.) سبه عمل آمد وی به تأسیس یک امپراطوری همت گماشت گه از خلیج فارس در جنوب تا دریای سیاه در شمال و از استپهای ایران در مشرق تا دریای مدیترانه را در برمی گرفت.

تحت حکمروایی سارگون مهاجمین تدریجاَ حذب فرهنگ بومی سومری و از جمله خط میخی شدند .

در مهاجمات و قیامهای بعدی نژادهای گوناگونی از قبیل کاسیان ، عیلامیها، حتی ها، آسوریها، مادها، پارسیها، در برهه های مختلف زمان به قدرت رسیدند ولی یگانگی در فرهنگ منطقه به قدری بود که اطلاق تمدن بین النهرین به این تمدن را در دوره های مختلف موجه گرداند بویژه استفاده از خط میخی پیوند محکی را بر قرار ساخته بود.

قوانین حسابهای مالیات ، وقایع، دروس مدارس، نامه های شخصی- اینها و همهاسناد دیگر را با قلمی برلوحی از گل رس نقش می کردند و سپس همه را در برا بر آفتاب یا در تنور می پختند.

خوشبختانه چنین اسنادی کمتر از پاپیروسهای مصری دستخوش حوادث زمان شده ا ند و بنا براین درباره تمدن بابلی شواهد یشتری در دست است تا تمدن مصری تنها از یک محل نقطه ای که نیپور باستانی در آن واقع بوده 50000 لوح کشف شده است.

در کتابخانه های دانشگاههای بزرگ دنیا و نیز بعضی موزه ها، مجموعه های بزرگی از این لوحهای باستانی وجود دارد که برخی از آنها به ریاضیات اختصاص دارند.

پیشرفت کمی در خواندن این لوحها در قرن نوزدهم توسط گروتفند حاصل شده بود ولی در ربع دوم قرن بیستم بود که شرحهای کاملی از ریاضیات بین النهرین در کتابهای تاریخ راجع به دوره باستان پدیدار شد.

وجود خط در قدیمیترین ایام در بین النهرین از روی صدها لوح گلی که در اوروک پیدا شد و حدود 5000 سال عمر دارند تأیید شده است .

در این دوره خط تصویری به مقامی رسیده بود که علائم قرار دادی برای بعضی چیزها به کار می رفت.

تدریجاَ عده علامتها کاهش یافت.

به طوری که از 2000 علامت سومری در آغاز تنها یک سوم آنها در دوره تسلط اکدیان مورد استفاده بود.

نقاشیهای ابتدایی جای خود را به ترکیبی از علائم میخ شکل دادند.

هزاران لوحی که از حدود دوره سلسله حمورا بی (1800-1600 ق.م.) به جا مانده اند حاکی از آن است که یک دستگاه عدد نویسی در آن زمان کاملاَ جا افتاده بوده است.دستگاه اعشاری که مشترکاَ مورد استفاده تمدنهای قدیم و جدید است در تمدن بابلی مغلوب نوعی نمادگذاری شده بود که وجود مبنای شصت را ضروری می کرد.در باره انگیزه های این تغییر مبنا مطالب زیادی نوشته شده است گفته شده که ملاحظات نجومی موجد این کار بوده است و یا ممکن است که دستگاه شصتگانی ترکیب طبیعی دو دستگاه بیشتر بوده است یکی اعشاری و دیگری در پایهشش، معهذا محتمل تربه نظر می رسد که مبنای شصت آگاهانه اتخاذ شده و به خاطر ملاحظات مربوط به سنجش وزن و مقدار جنبه قانونی یافته است.

زیرا کمیتی معادل با شصت واحد را می توان بآسانی به نصف ، ثلث، یک چهارم، یک پنجم ، یک ششم، یک دهم، یک دوازدهم، یک پانزدهم، یک بیستم، یک سی ام، تقسیم کردو به اجزاء دهگانه ای دست یافت .مبدا آن هرچه باشد دستگاه شصتگانی حتی تا به روزگار ما دوام آورده است.

تقسیم ساعت به دقیقه و ثانیه و تقسیم زوایا به همین منوال یاد آور این دستگاه و مولود فرهنگ بابلی است.

عدد نویسی بابلی به خط میخی برای اعداد کوچک صحیح، به همان منوال هیروگلیف مصری بوده است،یعنی نمادهای ربوط به واحد و ده را به قدر مورد نیاز تکرار می کردند.

برای نوشتن مثلاَعدد 59 چهارده علامت گوه شکل را بر لوح گلی نقش می کردند- پنج عدد از این علامتها به شکل پرانتزهای شکسته پهن بوده که هر یک نمایش ده بوده اند و 9 علامت میخی باریک عمودی هر یک نشانه یک واحد بوده است که به صورت گروهی کنار هم قرار داده می شوند.

به طور خلاصه نمایش 59 به صورت بوده است.

شاید به علت انعطاف ناپذیری نوشت افزاربابلی و یا ذکاوت بابلیان بود که کفایتس دو علامت برای واحد و ده را به منظور نشان دادن هر عددی، هر اندازه بزرگ، بدون نیاز به تکرار اضافی این علائم بر بابلیان معلوم کرد.

این کار از طریق ابداع اصل ارزش موضعی، در زمانی قریب به 4000 سال پیش میسر گردید – اصلی که مایه موثر بودن نماد گذاری امروزی است.

موضوع از این قرار است که بابلیان دریافند که عالیم آنها می توانند نقش دو گانه، سه گانه، و خلاصه چند گانهای برای نمایش مقادیر داشت باشند بسته به اینکه موضع نسبی آنها در نمایش عدد چه باشد علایم گوه شکلی که در نمایش عدد 59 مورد استفاده قرار گرفته اند تنانتگ کنار هم گذاشته شده اند به طوری که مجموعهآنها تقریباَشکل علامت واحدی را پیدا کرده است.

حال گذاشتن جای کافی بین گروههای مختلف علایم می توانند ارزشهای مختلف را القا کند که به ترتیب از راست به چب متناظر با توانهای صعودی پایه یعنی شصت باشند.

عدد 222ما از علامت 2سه بار استفاده می کند ولی با ارزشهای متفاوت به طریق مشابه علامت (به نشانه 2) می تواند نقش سه گا نه ای داشته باشد.

لذا که در آن سه گروه متشکل از دو علامت از هم جدا شده اند نشانهبا نماد گذاری امروزی) است.

از ریاضیات بابلی نشانه های فراوانی به جا مانده است ولی جالب توجه اینکه قسمت اعظم آنها مربوط به دو دورهمختلف اندکه فاصله زمانی یبن آنها وجود دارد.

لوحهای زیادی از چند قرن هزاره دوم قبل از میلاد در دست است و نیز از چند قرن آخر هزاره اول قبل از میلاد لوحهای متعددی به یادگار مانده است.

سهم دوره اول در ریاضیات عمده تر است اما کشف مهمی مربوط به حدود سال 200 ق.م.

به چشم می خورد.

به نظر می رسد که بابلیان در ابتدا روش معینی برای نشان دادن جای »خالی « (چیزی که ما آن را به صفر نشان می دهیم ) نداشته اند، گرچه آنها در مواقعی جایی را که باید » صفر« در آن می نشست، خالی می گذاشته اند.در غیاب این علامت مثلاَ دو عدد 122و7202 با هم مشتبه میشوند زیرا می تواند به معنی2+(60) یا باشد.

معنی واقعی باید از قرار این استنباط شود ولی بدیهی است که نداشتن علامتی برای صفر باعث ابهام فراوان و اشکال زیادی می شود.

اما تقریباَدر اوان فتح بابل به دست اسکندر،علامت مخصوصی متشکل از 2 علامت گوه شکل به طور مایل قرارمی گرفتند نقش » جا نگهدار« را بازی می کرداز آن به بعد مادام که ار کتابت میخی استفاده می شدعدد یا را می شد بآسانی از 2+(60)2 تشخیص داد .پیدایش این علامت مشکل بابلیان را به طور کامل حل نکرد زیرا هیچ لوحی پیدا نشده است که نشانه ای از به کار بردن صفر آخر در آن موجود باشد.