دانلود تحقیق فضای مختصات در فضا

می دانیم که هر نقطه در صفحه دارای دو مولفه طول و عرض است و بصورت دوتایی مرتب نمایش می دهند.

حال تجربه می کنیم که هر نقطه در فضا دارای سه مولفه است و بصورت سه تایی مرتب نمایش می دهند.

دستگاه فضایی شامل سه محور ox و oy و oz به ترتیب محور xها، yها و zها می باشد.

این دستگاه را دستگاه راستگرد می نامند.

صفحات مختصات: هر صفحه مختصات شامل دو محور است و بصورت زیر می باشد.

الف) صفحه xoy شامل دو محور ox و oy است ب) صفحه xoz شامل دو محور ox و oz است.

ج) صفحه zoy شامل دو محور oy و oz است.

مشحص کردن نقطه در فضای سه بعدی: برای اینکه نقطه A(x,y,z) را بتوانیم در فضای R3 مشخص کنیم مراحل زیر را طی می کنیم.

الف) نقطه (x,y) را در صفحه x,y مشخص می کنیم.

ب) پس به اندازه Z به موازات محور Zها حرکت می کنیم که اگر باشد به سمت بالا و اگر باشد به سمت پایین حرکت می کنیم.

مثال: نقاط و و در فضای R3 نمایش دهید.

مکان هندسی محورها و صفخات مختصات می توانیم محورهای مختصات و صفحات مختصات را بصورت مکان هندسی های زیر معرفی کنیم چون هر محور یا هر صفحه مجموعه نقاطی از فضا یا صفحه می باشند که دارای ویژگی مشترکی هستند پس می توان بصورت مکان هندسی آنها را معرفی کرد محور xها یا محور xها محور yها یا محور yها محور zها یا محور zها صفحه xoy یا صفحه xoy صفحه xoz یا صفحه xoz صفحه yoz یا صفحه yoz فاصله دو نقطه و وسط پاره خط AB در فضای R3 اگر و دو نقطه در فضای R3 باشد آنگاه برای بدست آوردن طول پاره خط AB و مختصات نقطه M وسط پاره خط AB از فرمول زیر استفاده می کنیم: مثال: اگر نقاط مختصات سه رأس مثلث باشند آنگاه طول میانه AM را بیابید.

قرینه بک نقطه نسبت به یک نقطه دیگر: اگر بخواهیم قرینه نقطه A را نسبت به نقطه M بدست آوریم باید مراحل زیر را انجام دهیم.

1-A را به M وصل می کنیم و به اندازه خودش امتداد می دهیم.

2-پس می توانیم فرمول زیر را برای محاسبه مختصات نقاط بدست آوریم.

مثال: قرینه نقطه را نسبت به نقطه بدست آورید.

مثال: فرینه نقطه نسبت به وسط پاره خط واصل بین دو نقطه بدست آورید.

مثال: اگر یک رأس مثلث ABC باشد و پای میانه CM باشد و نقطه مرکز ثقل مثاث باشد، طول ضلع BC را بیابید.

تصور یک نقطه نسبت به محورهای مختصات و صفحات مختصات: اگر نقطه نقطه ای کاملاً دلخواه در فضای R3 باشد برای بدست آوردن تصویر A نسبت به محورها و صفحات مختصات از فرمولهای زیر استفاده می کنیم.

تصویر نسبت به محور xها (1 تصویر نسبت به محور yها (2 تصویر نسبت به محور zها (3 تصویر نسبت به صفحه xoyها (4 تصویر نسبت به صفحه xozها (5 تصویر نسبت به صفحه yozها (6 تذکر: برای بدست آوردن تصویر یک نقطه روی یک محور مختصات باید مولفه مربوط به آن محور را حفظ کنیم و دیگر مولفه ها را صفر کنیم.

برای بدست آوردن تصویر یک نقطه روی یکی از صفحات مختصات باید مولفه های مربوط به آن صفحه را حفظ می کنیم و مولفه دیگر را حفظ کنیم.

(نکته مهم) اگر بخواهیم فاصله یک نقطه را تا یک محور مختصات بدست آوریم همان فاصله آن نقطه از تصویرش روی آن محور می باشد.

پس با توجه به ایت نکته می توانیم فرمولهای زیر را برای استفاده فاصله نقطه از محور بدست آوریم.می دانیم که هر نقطه در صفحه دارای دو مولفه طول و عرض است و بصورت دوتایی مرتب نمایش می دهند.

پس با توجه به ایت نکته می توانیم فرمولهای زیر را برای استفاده فاصله نقطه از محور بدست آوریم.

= فاصله A تا مبداء فاصله نقطه A تا محور xها = فاصله نقطه A تا محور yها = فاصله نقطه A تا محور zها مثال: فاصله نقطه تا محورهای مختصات را بدست آورید.

مثال: فاصله یک نقطه از محورهای ox، oy، oz به ترتیب 3، 2 و است.

فاصله این نقطه تا مبداء را بیابید.

مثال: فاصله نقطه تا محورهای مختصات را بیابید.

مثال: تصویر نقطه را نسبت به محور yها بدست آورید و بنامید.

سپس تصویر A را نسبت به صفحه XOZ بیابید و بنامید و در آخر تصویر وسط را نسبت به صفحه xoy بیابید.

قرینه یک نقطه نسبت به محورهای مختصات و صفحات مختصات: برای بدست آوردن قرینه یک نقطه مانند نسبت به محورها و صفحات مختصات باید از فرمولهای زیر استفاده کنیم.

قرینه نقطه A نسبت به محور xها (1 قرینه نقطه A نسبت به محور yها (2 قرینه نقطه A نسبت به محور zها (3 قرینه نقطه A نسبت به صفحه xoyها (4 قرینه نقطه A نسبت به صفحه yozها (5 قرینه نقطه A نسبت به صفحه xozها (6 تذکر مهم: برای بدست آوردن قرینه یک نقطه نسبت به هر محور یا هر صفحه مختصات باید مولفه یا مولفه های مربوط به آن محور یا صفحه را حفظ کند و مولفه دیگر را قرینه کند.

مثال: اگر نقطه و قرینه یکدیگر نسبت به محور xها باشد حامل را بیابید.

مثال: اگر قرینه نقطه نسبت به محور xها باشد و قرینه نقطه A نسبت به صفحه xoz باشد و تصویر A نسبت به صفحه xoy باشد نوع مثلث را مشخص کنید.

مثال: نقطه ای روی محور yها تعیین کنید که فاصله اش از نقطه برابر 10 باشد.

مثال: مقدار a را طوری تعیین کنید که فاصله نقطه از محور Zها برابر باشد.

مثال: دو نقطه و مفروضند a و b را طوری تعیین کنید که این دو نقطه نسبت به محور xها قرینه یکدیگر باشند.

مثال: روی محور xها نقطه ای پیدا کنید که فاصله اش از نقاط و یکسان باشد.

مثال: m را طوری تعیین کنید که فاصله نقطه از محور zها برابر 4 باشد مثال: سه نقطه مفروضند مقدار a را طوری تعیین کنید که مثلث در رأس C متساوی الساقین باشد.

بردار: هر پاره خط جهتدار در فضا را بردار نامند.

به عنوان مثال پاره خط که از A به B ختم شود همان بردار است.

نکته: چند بردار را هم ارز گویند هرگاه، هم جهت، هم اندازه و موازی هم باشند.

نکته: از میان تمام بردارهای موجود برداری که از مبداء مختصات شروع و به یک نقطه ختم می شود بردار مکان می نامند.

به عنوان نمونه در شکل فوق بردار بردار مکان است.

تذکر: پس می توان به این نتیجه رسید که هر سه تایی مرتب در فضا هم معرف یک نقطه است و هم معرف یک بردار است.

نکته: اگر و دو نقطه در فضا باشند برای بدست آوردن مختصات و طول بردار از دو فرمول زیر استفاده می کنیم.

مثال: اگر و دو نقطه در فضا باشند آنگاه طول و مختصات بردار را بدست آورید.

تذکر: چون هر نقطه در فضا به عنوان یک بردار است پس می توان بردار را در حالت کلی بصورت نامید.

که اندازه آن بصورت است.

مثال: مقدار x را طوری بیابید که باشد در صورتیکه باشد.

جمع دو بردار: الف) جمع جبری: اگر دو بردار و در فضا باشند آنگاه برای بدست آوردن جمع این دو بردار مولفه های نظیر به نظیر را با هم جمع می کنیم.

ب) جمع هندسی: از نظر هندسی جمع دو بردار خود یک بردار است که با یکی از روش های مثلثی یا متوازی الاضلاع جمع می شوند و نمایش می دهند.

1-قانون مثلثی: اگر ابتدا و انتهای دو بردار روی هم باشد، آنگاه برای جمع بستن ابتدای بردار اول را به انتهای بردار دوم وصل می کنیم.

این بردار همان حاصلجمع آن دو به روش مثلثی است.

2-قانون متوازی الاضلاع: اگر ابتدای دو بردار یکی باشد آنگاه از انتهای هر کدام به موازات دیگری بردار رسم می کنیم تا یک متوازی الاضلاع تشکیل شود.

قطر این متوازی الاضلاع همان جمع آن دو بردار است.

ضرب عدد در بردار (اسکالر در بردار): برای بدست آوردن حاصلضرب یک بردار در یک عدد باید آن عدد را در تمام مولفه های بردار ضرب کنیم.

تذکر: از نظر هندسی بردار برداری همراستای می باشد و با توجه به علامت r ممکن است هم جهت یا در خلاف جهت بوجود آید.

در خلاف جهت هم جهت مثال: ثابت کنید اگر و باشد آنگاه مثال: اگر باشد و باشد.

حاصل را بدست آورید.

مثال: اگر و دو بردار دلخواه در باشد زاویه بین دو بردار و را بدست آورید.

تعریف بردار صفر: هر بردار که بصورت باشد بردار صفر نامند.

و از نظر هندسی برداری صفر است که ابتدا و انتهای آن یک نقطه باشد.

تفاضل دو بردار: 1-از نظر جبری تفاضل دو بردار یعنی جمع با قرینه و بصورت نمایش می دهند.

2-از نظر هندسی می توانیم به یکی از نمودارهای زیر تحلیل کنیم.

(نکته مهم) اگر و اضلاع مجاور هم در یک متوازی الاضلاع باشند آنگاه قطرهای آن متوازی الاضلاع و می باشد.

مثال: اگر و دو ضلع مجاور در یک متوازی الاضلاع باشد آنگاه قطرهای این متوازی الاضلاع را بیابید.

(نکته مهم) اگر و دو ضلع در یک متوازی الاضلاع باشد آنگاه می توانیم برحسب زاویه بین و می توانیم سه حالت زیر را داشته باشیم.

(نکته مهم): اگر M نقطه کاملاً دلخواهی باشد.

هر بردار مانند را می توان برحسب A و B و M به صورت زیر نوشت مثال: اگر و باشد و M نقطه ای باشد که در صفحه باشد و همچنین رابطه وجود دارد، مختصات نقطه M را بیابید.

مثال: دو نقطه و مفروض اند.

اندازه بردار را تعیین کنید.

تذکر: اگر A و B و C و D چهار رأس متوازی الاضلاع ABCD باشد چون قطرهای متوازی الاضلاع همدیگر را نصف می کنند پس M وسط AC و BD می باشند.

بردار یکه: هر برداری که طول آن واحد باشد بردار یکه است.

هر بردار دارای یک بردار یکه است که بصورت نمایش می دهند.

مثال: اگر بردار و باشد آنگاه بردار یکه متناظر با بردار را بدست آورید.

مثال: اگر و باشد، آنگاه بردار یکه متناظر با بردار را بدست آورید.

(نکته مهم): دستگاه محورهای مختصات دارای سه بردار یکه است که بصورت زیر نمایش می دهیم.

یکه محور zها یکه محور yها یکه محور xها تذکر: هر بردار در فضا را می توان بصورت ترکیب خطی از k,j,i نوشت موازی بودن دو بردار: شرط اینکه دو بردار با هم موازی باشند این است که نسبت مولفه های نظیر به نظیر آنها مقداری ثابت و برابر باشد.

اگر تذکر: اگر یکی از مولفه های بردار صفر باشد باید مولفه متناظر آن در نیز صفر باشد.

مثال: اگر دو بردار و با هم موازی باشند مقدار a و b را بیابید.

مثال: اگر بردار موازی بردار باشد و باشد مختصات بردار را بیابید.

(نکته مهم) بررسی موازی بودن یک بردار با محورهای مختصات.

صفحه صفحه صفحه مثال: اگر و دو بردار باشند و بردار موازی محور ox باشد مقدار طول بردار بدست آورید.

ضریب داخلی: تعریف: اگر دو بردار در فضای باشند آنگاه حاصلضرب داخلی یا نقطه ای این دو بردار عددی است که از فرمول زیر بدست می آید.

مثال: اگر باشد حاصل عبارتهای زیر را بدست آورید.

مثال: اگر دو بردار و موازی باشند و و باشد مختصات را بیابید.

ویژگیهای ضرب داخلی (نقطه ای) ضرب داخلی بردارها بسته نیست.

یعنی حاصلضرب داخلی هر دو بردار یک عدد است.

ضرب داخلی خاصیت جابجایی دارد.

ضرب داخلی خاصیت پخشی دارد.

ضرب داخلی خاصیت شرکت پذیری ندارد.

در ضرب داخلی قاعده حذف بردار از طرفین تساوی ندارد.

مثال: حاصل عبارت را بدست آورید.

مثال: اگر و باشد حاصل عبارت را بیابید.

مثال: اگر و باشد حاصل عبارت زیر را بدست آورید.

(نکته مهم): اگر و دو بردار باشند آنگاه می توان اتحادها را بصورت زیر برای آنها عمال کرد.

مثال: اگر a و b و c سه بردار در فضا باشد و و و و باشد حاصل عبارتهای و و را بدست آورید.

مثال: اگر و و باشد حاصل کدام است.

مثال: اگر و باشد مقدار کدام است؟

مثال: اگر باشد مقدار و را تعیین کنید.

نکته: اگر و دو بردار در فضای R3 باشند و زاویه بین این دو بردار باشد آنگاه رابطه زیر وجود دارد مثال: اگر و آنگاه زاویه بین دو بردار و را بیابید.

مثال: اگر سه رأس مثلث ABC باشند آنگاه را بیابید.

مثال: اگر و و باشد زاویه بین دو بردار و را تعیین کنید.

مثال: اگر و و زاویه بین این دو بردار باشد مطلوب است محاسبه مثال: در شکل مقابل و و باشد مقدار کدام است.

(نکته مهم) چون زالویه بین هر دو بردار از فرمول ÷س می توانیم زاویه بین هر بردار مانند با محورهای مختصات را بدست آوریم.

اگر زاویه بین و محور ox اگر زاویه بین و محور oy اگر زاویه بین و محور oz نتیجه: می توانیم با توجه به نکته فوق رابطه زیر را بین Cosهای بردار a با محورهای مختصات داشته باشیم.

نتیجه: چون برداریکه برای هر بردار دلخواه بصورت است.

و با توجه به نکته فوق می توانیم بردار یکه را بصورت نوشت.

مثال: زاویه های بین بردار و محورهای مختصات بدست آورید.

مثال: اگر و با محور xها زاویه و با محور yها زاویه 60 بسازد مختصات بردار را بدست آوردید.

تذکر: شرط عمود بودن دو بردار بر هم این است که حاصلضرب داخلی آنها صفر باشد.

مثال: مقدار m را طوری بیابید که دو بردار و بر هم عمود باشند و مثال: سه نقطه و و سه رأس مثلث قائم الزاویه است مقدار m را بدست آوردید.

مثال: اگر و دو بردار عمود بر هم باشند بطوریکه باشد آنگاه را بیابید.

مثال: اگر سه بردار و و دو به دو بر هم عمود باشند و و و حاصل را بدست آورید.

نکته: مرکز هر مکعب محل برخورد قطرهای آن می باشد که فاصله آن از تمام رئوس مکعب یکسان و برابر نصف قطر مکعب است.

همچنین می توانیم ثابت کنیم زاویه بین هر دو قطر مکعب برابر است است.

مثال: ثابت کنید اگر آنگاه می باشد.

نکته: اگر بخواهیم مجموع دو بردار نیمساز بین آن دو بردار باشد باید بردارهای و اضلاع مجاور یک لوزی باشند.

یعنی می توانند دو بردار به طول مساوی یک اضلاع مجاور لوزی باشند.

و را می توان برای اینکار انتخاب کرد پس بردار قطر لوزی است که نیمساز بین آن دو بردار نیز می تواند باشد.

پس چون هر مضرب مثبتی از همراستا و هم جهت است پس بردار قطر یک لوزی می تواند باشد.

که نیمساز زاویه بین و نیز است.

مثال: دو بردار و مفروضند.

زاویه بین بردار و بردار را تعیین کنید.

مثال: اگر و دو بردار ناصفر باشند زاویه بین دو بردار و را بدست آورید.

مثال: اگر و دو بردار دلخواه باشند ثابت کنید (نامساوی کوثی شوارتز) :حرکت مثال: برای هر دو بردار دلخواه و ثابت کنید (نامساوی وایرشتراس) : حرکت تصویر قائم و قرینه یک بردار نسبت به امتداد بردار دیگر: اگر دو بردار دلخواه و با زاویه در فضا وجود داشته باشد، را تصویر قائم در راستای می نامیم و از فرمول زیر استفاده می شود.

مثال: رابطه فوق را با توجه به شکل آن ثابت کنید.

حرکت : از طرفی مثال: اگر و موجود باشند، تصویر قائم بردار نسبت به بردار بدست آوردید.

نکته: برای بدست آوردن اندازه تصویر یک بردار در راستای دیگر از فرمول زیر استفاده کرد: مثال: اندازه تصویر قائم بردار نسبت به راستای در صورتیکه باشد بدست آورید.

نکته: اگر قرینه بردار را نسبت به بردار با نمایش دهیم طبق دستور جمع متوازی الاضلاعی می توانیم روابط زیر را داشته باشیم.

مثال: اگر دو بردار باشند آنگاه قرینه بردار را نسبت به بردار بدست آورید.

مثال: اگر و قرینه هم نسبت به بردار باشد تصویر قائم بردار در راستای کدام است؟

مثال: اگر دو بردار و بر هم عمود باشند تصویر در راستای و قرینه آن نسبت به را بدست آورید.

مثال: با استفاده از دو فرمول تصویر بردار در راستای و همچنین قرینه در راستای می توانیم فرمولهایی را برای تصویر و قرینه برداری نسبت به محورهای مختصات را بدست آورید.

ضرب خارجی: اگر و دو بردار در فضای R3 باشند.

ضرب خارجی آنها خود یک بردار می باشند که هم بر و هم بر عمود است.

روش های موجود برای محاسبه حاصلضرب خارجی دو بردار: اگر و دو بردار در فضا باشند آنگاه حاصلضرب خارجی آنها به یکی از روشهای زیر قابل محاسبه می باشد.

1) محاسبه دترمینال به روش بازکردن دترمینال 2-محاسبه دترمینال با استفاده از دستور ساروس 3-روش خلاصه روشهای فوق (تستی) =… مثال: اگر و دو بردار در فضا باشد آنگاه مختصات برداری را بیابید که بر دو بردار و عمود باشد.

مثال: اگر و را آنگاه قرینه بردار را در راستای بردار را بیابید.

مثال: حاصلضرب خارجی بردارهای یکه محورهای مختصات را بدست آورید.

مثال: با توجه به مثال فوق حاصل عبارتهای زیر را بدست آورید.

ویژگیهای ضرب خارجی ضرب خارجی بردارها بسته است.

حاصلضرب خارجی هر بردار در خودش برابر صفر است.

ضرب خارجی جابجایی ندارد.

نکته: چون در ضرب خارجی باید دو بردار در هم ضرب شوند پس ضرب خارجی هد عددی در هر برداری بدون معنی است.

پس عبارتهایی که بصورت زیر می باشند بی معنی است.

و و نکته: اگر زاویه بین دو بردار و باشد آنگاه رابطه زیر وجود دارد.

مثال: اگر و و باشد.

حاصل را بیابید.

حاصل عبارت زیر را بیابید.

مثال: اگر اندازه حاصلضرب خارجی دو بردار برابر 4 و اندازه آن دو بردار به ترتیب 3 و 5 باشد آنگاه زاویه بین آن دو بردار را بیابید.

مثال: اگر و دو بردار باشند بطوریکه و و باشد زاویه بین دو بردار و را بیابید.

مثال: فرض کنید a و b و c و d چهار بردار در صفحه باشند بطوریکه و باشد.

ثابت کنید a-d و b-c با هم موازیند.

حرکت نکته: اگر دو بردار و با هم موازی باشند ÷س می توان نتیجه گرفت که اندازه ضرب خارجی آنها صفر است.

چند رابطه مهم و اساسی بین ضرب خارجی و داخلی دو بردار و 1) یا 2) نتیجه مهم مثال: اگر باشد و 2 باشد حاصل را بدست آورید.

مثال: اگر و باشد حاصل را بیابید.

مثال: اگر و باشد زاویه بین دو بردار و کدام است.

مثال: و دو بردار غیر صفر در فضای R3 می باشند اگر باشد و داشته باشیم آنگاه زاویه بین و را بیابید.

(نکته بسیار مهم) 1)مثلثی که توسط دو بردار و مانند شکل ساخته شود.

دارای مساحتی است که بصورت زیر محاسبه می شود.

:داریم :از طرفی داریم 2-پس اگر با دو بردار و یک متوازی الاضلاع مانند شکل بسازیم مساخت آن در برابر مساحت مثلث است.

مثال: اگر و و سه راس باشند مساحت این مثلث را بیابید.

مثال: اگر و و زاویه بین آن دو بردار برابر باشد آنگاه مساحت مثلث تولید شده و منوازی الاضلاع تولید شده توسط بردارهای و را بیابید.

مثال: اگر و و مساحت متوازی الاضلاع تولید شده توسط دو بردار و برابر 40 باشد زاویه بین آن دو بردار را بیابید.

(نکته مهم) شرط اینکه سه نقطه A و B و C در فضا در یک راستا باشند این است که باشد.

مثال: اگر سه نقطه و و روی یک خط راست باشند طول پاره خط AB را بیابید.

نکته: قاعده حذف بردار در ضرب خارجی در طرفین تساوی برقرار نیست.

پس باید کل رابطه را در یک طرف و طرف دیگر فقط صفر قرار دهیم.

ضرب مختلط: اگر و و سه بردار در فضای R3 باشند آنگاه را ضرب مختلط سه بردار و و می نامند.

روشهای محاسبه ضرب مختلط 1-می توانیم ابتدا ضرب خارجی را بدست آوریم و سپس ضرب داخلی را در بدست آوریم که حاصل این عبارت همان حاصل ضرب مختلط است.

2-همچنین می توانیم که حاصل دترمینال زیر را بدست آوریم.

اگر و و باشد آنگاه مثال: اگر و و باشد آنگاه حاصل را بیابید.

(نکته بسیار مهم) در ضرب مختلط خاصیت زیر وجود دارد.

و چون ضرب خارجی خاصیت جابجایی ندارد پس می توان روابط زیر را نتیجه گرفت.

تعبیر هندسی ضرب مختلط: اگر بر سه بردار و و که در یک صفحه نمی باشند یک متوازی 1 سطوح بنا کرد و می توان ثابت کرد حجم این متوازی السطوح از فرمول بدست می آید.

= ارتفاع مساحت قاعده = v: اثبات (نکته مهم): شرط اینکه سه بردار و و در یک صفحه باشند این است که ضرب مختلط آنها صفر شود.

( و و در یک صفحه اند اثبات: اگر بخواهیم سه بردار و و در یک صفحه باشند باید متوازی السطوح ساخته شده ارتفاع نداشته باشد پس عملاً حجم متوازی السطوح برابر صفر خواهد بود.

مثال: اگر و و سه بردار فضای R3 باشند ثابت کنید.

(نکته مهم): حجم هرم مثلث القاعده ABCD که توسط سه بردار و و ساخته می شود.

از فرمول زیر محاسبه می شود.

مثال: حجم هرم مثلث القاعده ABCD را بیابید که رأسهای آن و و و باشند.

ضرب سه گانه: اگر و و سه بردار در فضای R3 باشند آنگاه ضرب سه گانه بصورت زیر تعریف می شود.

مثال: ثابت کنید راهنمایی: از تعریف فوق استفاده و جایگزین می کنیم.

مثال: اگر سه بردار و و سه بردار ناصفر در R3 باشند و باشد آنگاه و موازی هستند.

حرکت 1-اگر قرینه ی بردار نسبت به بردار باشد، تصویر در امتداد کدام است؟

1) 2) 3) 4) 2-اگر و و سه بردار در فضای R3 باشند، آن گاه کدام یک از موارد زیر صحیح است؟

1) 2) 3) یا یا هر دو صفر هستند 4) یا یا هر دو صفر هستند الف) 1 و 2 و 3 و 4 ب) 2 و 3 ج) 1 و 3 د) هیچکدام صحیح نمی باشند 3-اگر بردارهای و با هم زاویه ی بسازند.

و و باشند در این صورت مساحت مثلثی که توسط بردارهای و ساخته می شود، کدام است؟

1) 30 2) 20 3) 15 4) 40 4-برای 4 بردار غیر صفر a و b و c و d اگر باشد در اینصورت کدام گزینه درست است؟

1) هر 4 بردار در یک صفحه هستند 2) 4 بردار دو به دو بر هم عمودند 3) سه بردار b و c و d در یک صفحه هستند 4) 4 بردار دو به دو موازیند 5-اگر و باشد حاصل کدام است؟

1) k2 2) k5 3) k- 4) k 6-اگر بردار (x,1,2) با صفحه xoy زاویه داشته باشد، x کدام است؟

1) 2) 3) 4) 7-برای چهار بردار و و و ، اگر و و باشد آن گاه حاصل کدام است؟

1) 1 2) 2- 3) 3- 4) 4 8-بردار هم راستای بردار است.

و می باشد اندازه تصویر بر امتداد کدام است؟

1) 2) 3) 4) 9-اگر و باشد.

بردار کدام است؟

1) 2) 3) 4) 10-برای سه بردار غیر صفر، و و حاصل کدام است؟

1)یک عدد غیر صفر 2) برداری در صفحه و 3) برداری عمودی بر بردار 4) برداری همراستا با b 11-برای سه بردار غیر صفر و و حاصل کدام است؟

1)یک عدد غیر صفر 2) برداری در صفحه و 3) برداری عمودی بر 4) برداری همراستای 12-نقاط و در فضا مفروض اند.

اگر M نقطه دلخواهی در فضا باشد، کمترین مقدار کدام است؟

1) 4 2) 3 3) 5 4) 6 13-اگر قرینه بردار نسبت به محور xها و بردار قرینه بردار نسبت به بردار باشد کدام است؟

1) 2) 3) 4) 14-اگر زاویه بردار با محور طولها، عرضها به ترتیب و باشد مختصات کدام است؟

1) 2) 3) 4) 15-اگر و دو بردار در فضای R3 باشند زاویه بین و کدام است؟

1) 30 2) 45 3) 60 4) 90 16-اندازه تصویر بردار بر بردار چقدر است؟

1) 2) 3) 3 4) 8 17-کدام بردار بر دو بردار و عمود است؟

1) 2) 3) 4) 18) اگر اندازه بردار چقدر احست؟

1) 8 2) صفر 3) 16 4) 14 19-مساحت متوازی الاضلاعی که با دو بردار (a-2b) و (a+2b) ساخته می شود، چند برابر مساحت مثلثی است که با دو بردار a و b ساخته می شود؟

1) 2 2) 4 3) 6 4) 8 20-بردارهای و داده شده اند.

اگر a=2b آنگاه 2m+3n کدام است؟

1) 8 2) 7 3) 6 4) 5 21-اگر بردار و به ترتیب تصویر و قرینه بردار b در راستای برداری باشند b کدام است؟

1) 2) 3) 4) 22-اگر زاویه بین دو بردار a و b برابر با و همچنین باشد حاصل کدام است؟

1) 2) 3) 4 4) 2 23-اگر دو بردار و نسبت به هم چه وضعیتی دارند؟

1) موازیند 2) عمودند 3) زاویه دارند 4) زاویه دارند 24-اگر و باشند، تصویربردار روی محور yها کدام است؟

1) j7 2) j5 3) j5- 4) j7- 25-زاویه بین بردار و کدام است؟

1) 60 2) صفر 3) 30 4) 90 26-اگر و طول تصویر بردار بر صفحه xoz برابر است با 1) 2) 3) 4) 27-کدام گزینه می تواند زاویه های بردار به ترتیب با محورهای x و y و z باشد؟

1) 2) 3) 4) 28-اگر زاویه بین دو بردار (m,n,-1) و (1,1,1) برابر باشد، زاویه بین بردارهای (1,-m,-n) و کدام است؟

1) 2) 3) 4) معلومات کافی نیست 29-اندازه تصاویر بردار برروی صفحات xoy و xoz و yoz به ترتیب برابر و و است.

اندازه بردار کدام است؟

1) 2 2) 3) 4) 3 30-اندازه تصاویر بردار برروی محورهای ox، oy، oz به ترتیب، و و است.

1) 2 2) 3) 4) 3 31-توان هندسی نقاطی مانند M که حجم متوازی السطوح نباشد بر OM,j,i با حجم هرم بنا شده بر K,j,i کدام گزینه است؟

1) 2) 3) 4)