تعریف: کراندار از بالا است، هرگاه وجود داشته باشد بطوریکه برای هر داشته باشیم
، از بالا کراندار است.
تعریف: کراندار از پایین است هرگاه وجود داشته باشد بطوریکه برای هر داشته باشیم
، از پایین کراندار است.
مثال: آیا توان بالا و پایین دارد؟
نکته: اگر یک مجموعه دارای یک کران پایین و یا یک کران بالا باشد دارای بی نهایت کران بالا و پایین است. (در اعداد حقیقی)
مثال: برای مجموعه های زیر یک کران بالا و یک کران پایین تعیین کنید.
فرمول
تذکر: یک مجموعه کراندار است هرگاه هم از بالا و هم از پایین کراندار باشد.
مثال: کدام یک از مجموعه های زیر کراندار می باشند.
(الف
(ب
عضو ابتدا و انتها (Min و Max)
تعریف: مجموعه دارای عضو ابتدایی مانند a است هرگاه وجود داشته باشد بطوریکه برای هر داشته باشیم
، دارای عضو ابتدا است.
تعریف: مجموعه دارای عضو انتهایی مانند b است، هرگاه وجود داشته باشد، بطوریکه برای هر داشته باشیم
دارای عضو انتها است.
مثال: عضو ابتدا و انتهای مجموعه های زیر را در صورت وجود بدست آورید.
مثال: عضو ابتدا و انتهای مجموعه های زیرا را در صورت وجود بیابید
(ه Q (د R (ج (ب N (الف
مثال: مجموعه A بصورت زیر تعریف شده است کدام عدد حتماً عضو A است.
1) 15 2) 40 3) 120 4) 118
مثال: کدام یک از مجموعه های زیر دارای عضو ابتدا یا عضو انتها می باشند، در صورت وجود آنها را مشخص کنید.
اعداد اول) P(
اصل خوش ترتیبی: هر زیر مجموعه غیر تهی از اعداد طبیعی دارای عضو ابتدا است.
مجموعه مرتب (خوش ترتیب): A خوش ترتیب است هرگاه هر زیرمجموعه غیرتهی آن دارای عضو ابتدا باشد.
مثال: کدام یک از مجموعه های زیر خوش ترتیب هستند.
فرمول
(ه
(ی
(ن اعداد اول بزرگتر از 2500
بخش پذیری
تعریف: عدد صحیح a بر عدد صحیح b بخش پذیر است هرگاه در تقسیم عدد a بر b باقیمانده آن تقسیم برابر صفر شود.
(تذکر مهم) جملات معادل برای تعریف فوق
1-b عاد می کند a را
2-a مضربی از b است
3-b عدد a را می شمارد
4-b یک مقسوم علیه عدد a است.
مثال: از روابط زیر نتایج ممکن را بدست آورید
n=abc
ab=cdفرمول
ویژگیهای مهم بخش پذیری:
1-مجموعه مقسوم علیه های عدد صفر همان Z است (صفر بر هر عدد صحیح بخش پذیر است).
2-اگر آنگاه داریم ، و و و
اثبات:فرمول
3-اگر آنگاه روابط زیر موجود است.
(الففرمول
عی n ثابت کنید.
(ج (ب (الف
فرمول
تذکر: چون پس
مثال: ثابت کنید به ازای هر عدد صحیح a داریم
فرمول
مثال: ثابت کنید به ازای هر
فرمول