دانلود تحقیق کران بالا و کران پایین در مجموعه

تعریف: کراندار از بالا است، هرگاه وجود داشته باشد بطوریکه برای هر داشته باشیم ، از بالا کراندار است.

تعریف: کراندار از پایین است هرگاه وجود داشته باشد بطوریکه برای هر داشته باشیم ، از پایین کراندار است.

مثال: آیا توان بالا و پایین دارد؟

نکته: اگر یک مجموعه دارای یک کران پایین و یا یک کران بالا باشد دارای بی نهایت کران بالا و پایین است.

(در اعداد حقیقی) مثال: برای مجموعه های زیر یک کران بالا و یک کران پایین تعیین کنید.

فرمول تذکر: یک مجموعه کراندار است هرگاه هم از بالا و هم از پایین کراندار باشد.

مثال: کدام یک از مجموعه های زیر کراندار می باشند.

(الف (ب عضو ابتدا و انتها (Min و Max) تعریف: مجموعه دارای عضو ابتدایی مانند a است هرگاه وجود داشته باشد بطوریکه برای هر داشته باشیم ، دارای عضو ابتدا است.

تعریف: مجموعه دارای عضو انتهایی مانند b است، هرگاه وجود داشته باشد، بطوریکه برای هر داشته باشیم دارای عضو انتها است.

مثال: عضو ابتدا و انتهای مجموعه های زیر را در صورت وجود بدست آورید.

مثال: عضو ابتدا و انتهای مجموعه های زیرا را در صورت وجود بیابید (ه Q (د R (ج (ب N (الف مثال: مجموعه A بصورت زیر تعریف شده است کدام عدد حتماً عضو A است.

1) 15 2) 40 3) 120 4) 118 مثال: کدام یک از مجموعه های زیر دارای عضو ابتدا یا عضو انتها می باشند، در صورت وجود آنها را مشخص کنید.

اعداد اول) P( اصل خوش ترتیبی: هر زیر مجموعه غیر تهی از اعداد طبیعی دارای عضو ابتدا است.

مجموعه مرتب (خوش ترتیب): A خوش ترتیب است هرگاه هر زیرمجموعه غیرتهی آن دارای عضو ابتدا باشد.

مثال: کدام یک از مجموعه های زیر خوش ترتیب هستند.

فرمول (ه (ی (ن اعداد اول بزرگتر از 2500 بخش پذیری تعریف: عدد صحیح a بر عدد صحیح b بخش پذیر است هرگاه در تقسیم عدد a بر b باقیمانده آن تقسیم برابر صفر شود.

(تذکر مهم) جملات معادل برای تعریف فوق 1-b عاد می کند a را 2-a مضربی از b است 3-b عدد a را می شمارد 4-b یک مقسوم علیه عدد a است.

مثال: از روابط زیر نتایج ممکن را بدست آورید n=abc ab=cdفرمول ویژگیهای مهم بخش پذیری: 1-مجموعه مقسوم علیه های عدد صفر همان Z است (صفر بر هر عدد صحیح بخش پذیر است).

2-اگر آنگاه داریم ، و و و اثبات:فرمول 3-اگر آنگاه روابط زیر موجود است.

(الففرمول عی n ثابت کنید.

(ج (ب (الف فرمول تذکر: چون پس مثال: ثابت کنید به ازای هر عدد صحیح a داریم فرمول مثال: ثابت کنید به ازای هر فرمول مثال: ثابت کنید به ازای هر عدد صحیح a داریم مثال: ثابت کنید به ازای هر 4-اگر آنگاه روابط زیر وجود دارد.

(الف (ب (ج 5-روابط مهم زیر در بخش پذیری وجود دارد.

(طرفین بخش پذیری در هم ضرب می شوند).

(الف (بخش پذیری رابطه تعدی است) (ب (ج (ترکیب خطی در بخش پذیری) (هـ مثال: اگر a دو عدد 5+n12 و 2+n4 را می شمارد.

مقدار a را بیابید.

مثال: کدام گزینه درست است؟

(1 (2 (3 (4 مثال: اگر و و ، d کدام می تواند باشد؟

6-با توجه به اتحادهای زیر سه رابطه مهم زیر ساخته شود.

(الف (ب فرد طبیعی (ج زوج مثال: تمام روابط ممکن بخش پذیری که عبارت بر آنها بخش پذیر است بدست آورید.

مثال: عدد بر چه عددی همواره بخش پذیر می تواند باشد.

مثال: عبارت همواره بر چه عبارتی بخش پذیر است.

نکته مهم: اگر باشد آنگاه روابط زیر را داریم.

(1 (2 (3 مثال: عدد اگر همواره بر کدام عدد بخش پذیر است.

مثال: چند عدد طبیعی کمتر از 1000 وجود دارد که عضو مجموعه زیر باشد.

(نکته بسیار مهم): تعداد اعداد طبیعی کوچکتر از n که بر k بخش پذیر است برابر است.

(نکته بسیار مهم): اگر حاصلضرب دو عدد طبیعی عددی اول باشد آنگاه عدد کوچکتر برابر 1 و عدد بزرگتر همان عدد p است.

مثال: اگر باشد حاصل x2 را بیابید.

مثال: تعداد اعداد سه رقمی مضرب 14 کدام است؟

مثال: ثابت کنید مربع هر عدد فرد بصورت 1+K8 است.

مثال: ثابت کنید حاصلضرب n عدد متوالی بر n!

بخش پذیر است.

مثال: دو عدد فرد a و b با فرض داده شده است.

در بین چهار جواب زیر بزرگترین عددی که را می شمارد بدست اورید.

1) 16 2) 4 3) 12 4) 8 مثال: عدد بر کدام عبارت همواره بخش پذیر است.

مثال: مربع رقم دهگان بعلاوه 16 برابر مربع رقم یکان یک عدد دورقمی مساوی هشت برابر حاصلضرب ارقامش است.

این عدد همواره بر کدام عدد قابل قسمت است.

(نکته مهم) عدد مربع کامل است، هرگاه در تجزیه به عاملهای اول توان عاملها زوج باشند.

مثال: مجموع ارقام کوچکترین عدد طبیعی که مضرب 11 بوده و مربع آن بر 315 بخش پذیر باشد کدام است؟

(نکته بسیار مهم) لم اقلیدس: اگر مثال: عدد بر چه عددی همواره بخش پذیر است.

مثال: عدد همواره بر کدام گزینه بخش پذیر است.

1) 32 2) 33 3) 128 4) 127 مثال: اگر a عددی زوج باشد، عدد بر کدام یک از اعداد زیر قابل قسمت است؟

1) 15 2) 36 3) 32 4) 48 مثال: اگر عددی اول باشد در اینصورت 1) a و b هر دو اولند 2) a یا b اول است 3) است 4) است مثال: کوچکترین عددی که در عدد ضرب شود تا عدد بصورت یک مربع کامل ظاهر شود کدام است؟

مثال: چند عدد طبیعی بخش پذیر بر 12 وجود دارد که خودش عدد 288 را عاد کند؟

مثال: مجموع هر دو عدد فرد متوالی بر کدام عدد همواره بخش پذیر است؟

الگوریتم تقسیم: اگر و در اینصورت اعداد صحیح r و q وجود دارند بطوریکه بطوریکه q و q منحصر بفرد است.

مثال: در تقسیم a بر b اگر 12 واحد به مقسوم، 4 واحد به مقسوم علیه اضافه کنیم ولی خارج قسمت و باقیمانده تغییری نکند، آنگاه خارج قسمت چقدر است؟

مثال: نشان دهید هر عدد صحیح بصورت k2 یا 1+k2 است بطوریکه است.

مثال: نشان دهید هر عدد صحیح بصورت k3 یا 1k3 است بطوریکه است.

مثال: نشان دهید هر عدد صحیح بصورت k4 یا 1k4 یا 2+k4 است بطوریکه است.

مثال: اگر a فرد باشد ثابت کنید مربع آن نیز فرد است و بالعکس.

تذکر: اگر عددی فرد را داشته باشیم برای تشخیص اینکه عدد مربع کامل است یا خیر باید آن عدد را بر 8 تقسیم کنیم.

اگر باقیمانده تقسیم غیر یک باشد مربع کامل نیست ولی نمی توان گفت اگر باقیمانده آن بر 8 برابر 1 باشد مربع کامل است.

مثال: آیا عدد 128925 مربع کامل است؟

مثال: عدد 17 را می توان بصورت 1+28=17 است ولی مربع کامل نیست.

مثال: باقی مانده تقسیم a و b بر 19 به ترتیب 3 و 17 است.

حاصل باقیمانده تقسیم a-b2 بر 19 کدام است؟

مثال: در یک تقسیم 52 واحد به مقسوم و 4 واحد به مقسوم علیه افزوده ایم.

خارج قسمت و باقی مانده تغییری نکرده است.

خارج قسمت کدام است.

مثال: (نکته) ثابت کنید حاصلضرب چهار عدد متوالی بعلاوه یک مربع کامل است.

مثال: فرض کنید عدد صحیح دلخواهی باشد و m و n اعداد صحیح دلخواهی باشند که ثابت کنید مثال: اگر n عددی فرد باشد ثابت کنید عدد بر 48 بخش پذیر است.

مثال: a مضرب 6، b مضرب 15 است.

باقیمانده تقسیم a بر b بر کدام یک از دو عدد زیر همواره قابل قسمت است؟

1) 2 2) 3 3) 5 4) 6 مثال: ثابت کنید مربع هر عدد صحیح بصورت k3 یا 1+k3 است.

مثال: در یک تقسیم باقیمانده 26 و خارج قسمت 4 است.

حداکثر چند واحد می توان به مقسوم علیه اضافه کرد تا خارج قسمت تغییر نکند؟

مثال: اگر باقیمانده عدد زوج N بر 23 برابر 17 باشد، باقیمانده بر 23 کدام است؟

مثال: اگر n عددی فرد باشد، عدد همواره بر چه عددی بخش پذیر است؟

مثال: ثابت کنید اگر n عددی فرد باشد آنگاه عدد مضرب 64 است.

مثال: در یک تقسیم باقیمانده 3 برابر مربع خارج قسمت است و مقسوم علیه 70 است حداکثر مقدار مقسوم کدام می تواند باشد؟

مثال: اگر باشد عدد همواره بر کدام عدد بخش پذیر است؟

مثال: در یک عمل تقسیم، مقسوم علیه برابر 51 و باقیمانده تقسیم 7 برابر مربع خارج قسمت می باشد.

مقسوم را بدست آورید.

مثال: اگر ضرایب معادله اعداد صحیح فردی باشد.

ثابت کنید معادله مزبور دارای ریشه گویا نیست.

مثال: باقیمانده تقسیم عدد صحیح a بر 8 و 7 به ترتیب برابر 5 و 3 است.

باقیمانده تقسیم a بر 56 بدست آورید.

(نکته مهم) برای بدست آوردن تعداد مقسوم علیه های مثبت یک عدد باید مراحل زیر را انجام دهیم.

الف) آن عدد را به صورت حاصلضرب عاملهای اول تجزیه کنیم.

ب) با استفاده از فرمول تعداد مقسوم علیه های مثبت بدست می اید.

مثال: تعداد کل مقسوم علیه های عدد 120 را بیابید.

مثال: تفاضل تعداد مقسوم علیه های دو عدد طبیعی و برابر 14 است.

کوچکترین مقدار N کدام است؟

مبنا: عدد طبیعی n در مبنای b را به صورت نمایش می دهند و بصورت زیر تعریف می شود.

تذکر: در مبنای b، اولاً باید b عددی طبیعی و بزرگتر از یک باشد.

ثانیاً برای عدد می باشد.

مثال: عدد 6(541) را در مبنای 10 بدست آورید.

تذکر: 1) برای تبدیل یک عدد در مبنای غیر ده به مبنای ده باید از عمل ضرب مانند مثال فوق استفاده کرد.

2) برای تبدیل یک عدد در مبنای ده به مبنای غیره ده از عمل تقسیم استفاده می کنند مانند مثال زیر مثال: حاصل عبارتهای زیر را بدست آویرد.

3( )=697 5( )=1292 مثال: فرض کنید اعداد دو رقمی و در مبنای 10 بر 7 بخش پذیر باشند.

ثابت کنید حاصل بر 42 بخش پذیر است.

مثال: فرض کنید حاصل x+y را بدست آورید.

مثال: یک عدد دورقمی 5 برابر مجموع ارقام خودش است.

حاصلضرب این ارقام کدام است؟

مثال: بزرگترین و کوچکترین عدد سه رقمی در مبنای 7 را بدست آورید.

مثال: در رابطه مقدار x+y را بدست آورید.

مثال: در مبنای به کدام صورت خواهد بود.

(12) مثال: در مبنای x داریم مقدار x را بیابید.

بخش پذیری بر اعداد 1-عددی بر 2 بخش پذیر است که رقم یکان آن زوج باشد.

2-عددی بر 3 بخش پذیر است که مجموع ارقام آن بر 3 بخش پذیر باشد.

3-عددی بر 5 بخش پذیر است که رقم یکان آن صفر یا 5 باشد.

4-عددی بر 6 بخش پذیر است که هم بر 2 و هم بر 3 بخش پذیر باشد.

5-عددی بر 9 بخش پذیر است که مجموع ارقام آن بر 9 بخش پذیر باشد.

6-عددی بر 4 بخش پذیر است که دو رقم سمت راست آن بر 4 بخش پذیر باشد.

7-عددی بر 8 بخش پذیر است که سه رقم سمت راست آن بر 8 بخش پذیر باشد.

8-عددی بر 11 بخش پذیر است هرگاه از راست به چپ یک در میان با علامت مثبت و منفی کنار هم قرار دهیم حاصل صفر شود.

(مضربی از 11 شود) 9-عددی بر 7 بخش پذیر است هرگاه از راست به چپ، سه رقم، سه رقم جدا کنیم و با علامت مثبت و منفی درنظر بگیریم اگر عدد حاصل صفر یا مضرب 7 شود باقیمانده صفر است.

10-عددی بر 13 بخش پذیر است هرگاه از راست به چپ سه رقم، سه رقم، جدا کنیم و با علامت مثبت و منفی درنظر بگیریم اگر عدد حاصل صفر یا مصرب 13 شود.

باقیمانده صفر است.

مثال: عدد باقیمانده اش بر 9 برابر 5 است حاصل x+y کدام می تواند باشد.

1) 1 2) 3 3) 11 4) 12 مثال: فرمولی برای محاسبه باقیمانده تقسیم عدد بر اعداد 4 و 8 بدست آورید.

مثال: به ازاء کدام مقدار a عدد بر 4 بخش پذیر است.

مثال: باقیمانده تقسیم عدد شش رقمی بر 9 برابر 11 است مقدار a+b بدست آورید.

مثال: به ازای چه مقداری از a عدد بر 7 بخش پذیر است.

مثال: به ازای کدام مقدار b عدد پنج رقمی بر 7 بخش پذیر است؟

1) 6 2) 5 3) 6 4) 8 مثال: اگر باقیمانده تقسیم عدد بر 7 برابر 6 است در اینصورت باقیمانده تقسیم عدد بر7 برابر کدام است؟

(نکته مهم): اگر عدد بطوریکه آنگاه عددی مانند n بر m بخش پذیر است هرگاه n هم بر a و هم بر b بخش پذیر باشد.

مثال: b و a را چنان بیابید که عدد بر 72 بخش پذیر باشد.

مثال: باقیمانده تقسیم عدد شش رقمی بر 99 برابر 11 است.

حاصل کدام گزینه می تواند باشد.

1) 4 2) 14 3) 2 4) 16 مثال: اگر عدد مربع کامل باشد، چند عدد بصورت وجود دارد؟

مثال: بزرگترین عددی که اگر بر 45 تقسیم شود، باقیمانده مجذور خارج قسمت باشد کدام است؟

مثال: عدد بزرگترین عدد به این شکل است که بر 36 بخش پذیر است.

حاصل x+y کدام است؟

مثال: چند عدد دورقمی به صورت وجود دارد بطوریکه مضرب 13 باشد.

مثال: اگر عدد عدد را عاد کند باقیمانده تقسیم عدد بر 12 را بدست آورید.

مثال: اگر باشد.

باقیمانده تقسیم عدد 32+ab بر n را بدست آورید.

(2n>) مثال: اگر باقیمانده تقسیم عدد فرد a بر 17 برابر 6 باشد.

باقیمانده a بر 34 چقدر است؟

مثال: اگر باقیمانده تقسیم عدد c4+a بر 7 برابر b2 باشد.

آنگاه باقیمانده تقسیم عدد سه رقمی بر 7 کدام است؟

مثال: اگر به طوریکه 11=a و 10=b باقیمانده n بر 7 کدام است؟

مثال: باشد.

آنگاه چند عدد در مبنای a وجود دارد که چهاررقمی باشد.

آنگاه این عدد در مبنای 10 کدام است؟

مثال: عدد چهاررقمی در شرایط و صدق می کند، باقیمانده این عدد بر کدام گزینه همواره صفر است؟

1) 23 2) 37 3) 67 4) 73 مثال: یک عدد دو رقمی در مبنای 7 با مقلوبش در مبنای 9 برابر است.

مجموع ارقام این عدد دورقمی به چه عددی بخش پذیر است؟

مثال: چند عدد پنح رقمی در مبنای 3 موجود است؟

مثال: برابری در مبنای 5 نوشته شده، x را بیابید.

مثال: عدد در چه مبنایی بصورت 213 نوشته می شود؟

مثال: چند عدد طبیعی وجود دارد، بطوریکه اگر آنها را بر 15 تقسیم کنیم، باقیمانده سه برابر خارج قسمت می شود؟

مثال: چند عدد سه رقمی مربع کامل وجود دارد بطوریکه مضرب 7 نیز باشد.

مثال: در یک تقسیم 45 واحد به مقسوم اضافه کرده ایم درحالیکه یک واحد به خارج قسمت اضافه می شود و از باقیمانده مقسوم علیه کم می شود، اگر مقسوم ثابت بماند مقسوم علیه کدام است؟

اعداد اول: تعریف: عدد طبیعی را اول گوییم هرگاه فقط بر خودش و یک بخش پذیر باشد یا به عبارت دیگر a عددی اول است، هرگاه بجز خود و یک هیچ مقسوم علیه ی نداشته باشد، و با P نمایش می دهند.

تذکر: تنها عدد اول زوج عدد اول 2 است.

تذکر: عددی که اول نباشد مرکب است.

قضیه: هر عدد صحیح بجز 1 و 1- حداقل یک مقسوم علیه اول دارد.

اثبات: قضیه: ثابت کنید بی نهایت عدد اول وجود دارد.

اثبات: قضیه اگر n عددی مرکب باشد آنگاه n دارای مقسوم علیه اولی است که کوچکتر مساوی است.

اثبات: مثال: آیا 53، 47 اولند؟

تذکر: برای حل مثال فوق تمام اعداد کوچکتر یا مساوی را بدست می آوریم اگر هیچ کدام از آن اعداد، عدد n را نشمارد پس آن عدد اول است.

تذکر: غربال اراتستن: روشی است برای بدست آوردن اعداد کوچکتر از عدد n.

در این روش تمامی مضارب اعداد اول کوچکتر از را از بین اعداد 1 تا n حذف می کنیم.

اعداد مانده همان اعداد اول کوچکتر از n است.

مثال: اعداد اول کوچکتر از 50 را بدست آورید.

(اعداد2و3 و 5 و 7 اول کوچکتر از است.) چند نکته مهم: اگر p و q دو عدد اول باشند و آنگاه حتماً اگر p عدد اول باشد، تنها سه تایی مرتب که بصورت (4+p و 2+p و p) همان سه عدد (7 و 5 و 3) می باشد.

عدد مرسن: هر عدد بصورت عدد مرسن است.

(تذکر مهم): اگر عدد مرسن اول باشد آنگاه n اول است.

(برعکس رابطه فوق ممکن است درست نباشد.) مثال: اگر 11=n باشد آنگاه عدد 2047=1-211 عدد اول نیست زیرا 8923=2047 مثال: اگر عدد عدد اول باشد آنگاه n کدام یک از گزینه های زیر می تواند باشد.

1) 4 2) 6 3) 5 4) 10 4) عدد فرما: هر عدد بصورت عدد فرما است.

(تذکر مهم) اگر عدد فرما اول باشد آنگاه n توانی از 2 است.

(عکس رابطه فوق ممکن است درست نباشد) مثال: اگر اول نیست زیرا مثال: اگر عدد اول باشد n کدام گزینه باشد.

1) 10 2) 12 3) 64 4) 120 5) هر عدد اول بزرگتر از 3 را می توان بصورت مثال: به ازاری هر P اول بزرگتر از 3، عدد مضرب کدام عدد است.

1) 3 2) 16 3) 32 4) 48 مثال: اگر P عدد اول بزرگتر از 3 باشد و P عدد را عاد کند کدام گزینه درست است؟

1) 2) 3) 4) a عدد اول است.

مثال: فرض کنید x و y دو عدد طبیعی باشند و در اینصورت x+y کدام است؟

مثال: ثابت کنید هر عدد صحیح بصورت ، مرکب است.

مثال: ثابت کنید اگر باشد، آنگاه مرکب است.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک: (ب.م.م) تعریف: عدد طبیعی d بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد صحیح a و b است، هرگاه در دو شرط زیر صدق کند.

1) 2) اگر بطوریکه آنگاه مثال: مطلوب است محاسبه ب.م.م دو عدد 14 و 30- روشهای محاسبه ب.م.م دو عدد 1-روش تجزیه: در این روش دو عدد a و b را به حاصلضرب عاملهای اول تجزیه می کنیم، سپس از فرمول زیر استفاده می کنیم حاصلضرب عاملهای مشترک با توان کمتر = = ب.م.م= d مثال: با استفاده از روش تجزیه ب.م.م دو عدد 80 و 120 را بدست آورید.

2-روش فاکتورگیری: در این روش از دو عدد a و b تا جاییکه امکان دارد فاکتور می گیریم.

حاصلضرب فاکتورها همان ب.م.م دو عدد است.

مثال: با استفاده از روش فاکتورگیری ب.م.م دو عدد 80 و 120 را بدست آورید.

3-روش نردبانی: در این روش مانند مثال زیر عمل می کنیم مثال: ب.م.م دو عدد 140 و 72 را بدست آورید.

(روش نردبانی) مثال: ثابت کنید به ازای هر عدد صحیح k :حل مثال: اگر a و b دو عدد صحیح دلخواه که حداقل یکی از آنها صفر نباشد و (a.b)=d آنگاه حاصل (3a+4b , 5a+7b) بدست آورید.

مثال: اگر آنگاه حاصل بدست آورید.

تذکر: اگر ب.م.م دو عدد صحیح برابر 1 باشد آن دو عدد نسبت به هم اولند.

(a,b)=1 مثال: ثابت کنید قضیه بزو: بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد صحیح a و b که حداقل یکی از آنها صفر نیست برابر است با کوچکترین عضو مجموعه اثبات: تذکر: قضیه بزو برگشت پذیر نیست نتیجه بزو: دو عد صحیح a و b نسبت به هم اولند، اگر و فقط اعداد صحیح m و n وجود داشته باشند که مثال: کوچکترین عدد مثبت مجموعه کدام است؟

مثال: اگر در اینصورت در مورد (a,b) چه می توان گفت؟

1) 2) 3) 4) مثال: اگر باشد آنگاه حاصل را بدست آورید؟

مثال: ثابت کنید عمل ب.م.م خاصیت شرکت پذیری دارد مثال: اگر a فرد باشد ثابت کنید مثال: حاصل به ازای هر عدد صحیح بدست آورید.

مثال: عضو ابتدایی مجموعه را بدست آورید.

مثال: کوچکترین عضو مجموعه بدست آورید.

مثال: اگر آنگاه d را محاسبه کنید.

مثال: اگر b فرد باشد، بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد و کدام است؟

1) 2) 3) 4) مثال: اگر و باشد حاصل a+b کدام است؟

1) 2- 2) 1- 3) 1 4) 2 مثال: اگر ra+sb=d ، (a.b)=d آنگاه داریم.

1) (r,s)=1 2) 3) 4) مثال: اگر باشد، حاصل d کدام است؟

1) 1 2) n 3) 2 4)n2 مثال: اگر (a,4)=2 و (b,4)=4 آنگاه کدام گزینه درست است؟

1) (a+b,4)=4 2) (ab,4)=4 3) (a+b,4)=8 4) هیچکدام مثال: اگر a و b دو عدد صحیح و و 37p-29a=1 کوچکترین عضو مثبت مجموعه کدام است؟

1) b 2) b 3) 1 4) 8 چند نکته مهم از ب.م.م دو عدد صحیح a و b: اگر و آنگاه داریم اگر آنگاه داریم لم اقلیدس: هرگاه عددی حاصلضرب دو عدد، را عاد کند و نسبت به یکی از آن دو عدد اول باشد آنگاه دیگری را عاد می کند.

اگر a و b و c و d اعداد طبیعی باشند و که در آن (a,b)=1 و (c,d)=1 آنگاه a=c و b=d اگر (a,b)=d آنگاه (نتیجه بسیار مهم): فرض کنید a و b دو عد طبیعی باشند، اگر (a,b)=d در اینصورت و دو عد د طبیعی وجود دارند بطوریکه در واقع و همان هستند که در نکته 5 مطرح شده است.

مثال: مجموع دو عدد طبیعی برابر 72 و بزرگترین شمارنده مشترک آنها برابر 9 است.

آن دو عدد را بیابید.

مثال: دو عدد طبیعی a و b را طوری بیابید که تفاضل مربعات آنها برابر 585 و بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها برابر 3 باشد.

مثال: هرگاه عددی نسبت به دو عدد اول باشد نشبت به حاصلضرب آنها نیز اول خواهد بود.

مثال: عکس گزاره فوق را ثابت کنید یعنی مثال: اگر مثال: اگر آنگاه می توانیم ثابت کنیم مثال: (مهم) مجموع دو عدد صحیح و مثبت a و b برابر 285 است و که در آن حاصل را بیابید.

مثال: اگر a و b نسبت بهم اول باشند ثابت کنید ab و نسبت بهم اولند.

قضیه اساسی بخش پذیری: هرگاه عددی بر دو عدد بخش پذیر باشند و آن دو عدد نسبت بهم اول باشند، آنگاه آن عدد بر حاصلضرب دو عدد دیگر بخش پذیر است.

مثال: اگر a یک عدد صحیح باشد حاصل را بدست آورید.

مثال: اگر عدد 3، a را عاد نکند آنگاه کدام گزینه را حتماً عاد می کند.

1) 2) 3) 4) مثال: حاصل را بدست آورید.

مثال: اگر در اینصورت کدام عدد همواره a+b را می شمارد.

مثال: اگر a=bq+r و (a,b)=d در اینصورت کدام درست است؟

1) 2) 3) 4) مثال: حاصل بدست آورید.

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد صحیح یا ک.م.م [a,b] عدد C را به عنوان کوچکترین مضرب مشترک دو عدد صحیح a و b می پذیریم و معرفی می کنیم هرگاه در شروط زیر صدق کند.

C عددی مثبت باشد.

اگر عدد دیگری مانند وجود داشته باشد که و آنگاه باشد.

روشهای محاسبه ک.م.م – کوچکترین مضرب مشترک دو عدد دلخواه 1-روش تجزیه: در این روش دو عدد a و b را به حاصلضرب عاملهای اول تجزیه کنیم و سپس با استفاده از فرمول زیر را بدست آوریم.

حاصلضرب عاملهای مشترک با توان بزرگتر در عاملهای غیرمشترک مثال: ک.م.م دو عدد 142 و 82 را بیابید (روش تجزیه) 2-روش فاکتورگیری: در این روش تا جاییکه امکان دارد از دو عدد فاکتور می گیریم و سپس حاصلضرب فاکتورها در اعداد مانده همان ک.م.م دو عدد است.

مثال: ک.م.م دو عدد 142 و 82 را بیابید (روش فاکتور) (نکته بسیار مهم): برای هر دو عدد صحیح غیر صفر a و b رابطه زیر وجود دارد.

به عبارتی دیگر حاصلضرب ک.م.م در ب.م.م دو عدد دلخواه برابر قدرمطلق حاصلضرب آن دو عدد است.

نتیجه: اگر a و b دو عدد صحیح و (a,b)=d و [a,b]=c آنگاه داریم (نتیجه مهم): اگر a و b دو عدد صحیح دلخواه باشند آنگاه و وجود دارد که نتیجه: اگر دو عدد نسبت بهم اول باشند آنگاه ک.م.م آن دو عدد همانند حاصلضرب آن دو عدد است.

مثال: اگر آنگاه ثابت کنید مثال: اگر a و b دو عدد صحیح باشند ثابت کنید.

(الف (ب مثال: اگر و و ، کوچکترین مضرب مشترک a و b را بیابید.

مثال: اگر بزرگنرین مقسوم علیه مشترک دو عدد صحیح A و B را 18 و کوچکترین مضرب مشترک آنها را 432 بنامیم، مقادیر A را بیابید.

مثال: اگر کوچکترین عضو مثبت مجموعه برابر 8 و باشد بزرگترین مقدار برای کوچکترین مضرب مشترک دو عدد طبیعی a و b را بیابید.

مثال: بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد 23 و ک.م.م آنها 2093 باشد.

عدد بزرگتر را بیابید.

مثال: اگر برای هر عدد طبیعی n، عدد بر بخش پذیر باشد، آنگاه کدام گزینه نادرست است.

1) 2) 3) 4) مثال: اگر a و b دو عدد صحیح و کدام است؟

1) صفر 2) 1 3) a 4) b مثال: بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد 8 و مجموع آنها 128 است.

تفاضل آن دو عدد کدام نمی تواند باشد.

1) 80 2) 48 3) 64 4) 112 مثال: نسبت دو عدد صحیح و کوچکترین مضرب مشارک آن دو عدد 495 باشد.

آنگاه ب.م.م.

را بدست آورید.

مثال: اگر ک.م.م دو عدد A و B را با D و ب.م.م آنها را با d نمایش دهیم.

شرط لازم و کافی برای اینکه AB مربع کامل باشند، آن است که 1) مربع 2) مربع 3) مربع 4) مربع مثال: اگر دو عدد a و b نسبت بهم اول نباشند و بین c و d رابطه c=28d+3 برقرار است.

هرگاه 1) a-b=93 2) a-b=87 3) a-b=28 4) a-b=84 مثال: اگر ک.م.م دو عدد 90 برابر ب.م.م آنها باشد، نسبت آن دو عدد کدام نمی تواند باشد.

1) 2) 3) 4) نکته: یا اگر مثال: اگر باقیمانده تقسیم عدد a بر 2 و 3 و 5 به ترتیب 1 و 2 و 4 است باقیمانده عدد a بر 15 کدام است؟

1) 4 2) 14 3) 8 4) 12 مثال: اگر نسبت دو عدد صحیح و کوچکترین مضرب مشترک آنها 18 باشد آنگاه ب.م.م آن دو عدد کدام است؟

1) 9 2) 3 3) 6 4) 8 121110987654322322212019181716151413343332313029282726252445444342414039383736355059484746