تعریف: مکان هندسی نقاطی از صفحه است که فاصله آنها از یک نقطه ثابت برابر مقدار ثابتی است.
تذکر: در تعریف فوق مقدار ثابت را شعاع دایره (R) و نقطه ثابت را مرکز دایره می نامند. و هر دایره را بصورت نمایش می دهند.
روش بدست آوردن معادله دایره با استفاده از تعریف:
تذکر: معادله فوق را معادله اولیه دایره می نامیم
مثال: معادله دایره ای که مرکز آن نقطه و شعاع آن 3 می باشد بدست آورید.
تذکر: اگر مرکز دایره مبداء مختصات باشد معادله آن بصورت می باشد.
(نکته مهم): اگر معادله اولیه را باز کنیم می توانیم روابط زیر را نتیجه بگیریم.
حال در معادله فوق و و درنظر می گیریم تا معادله فوق بصورت که همان معادله ثانویه است، ظاهر شود.
(تذکر مهم): می توانیم از معادله روابطی را بدست آوریم که طبق آن روابط مرکز، شعاع دایره بدست آید.
مثال: مختصات مرکز و اندازه شعاع دایره را بدست آورید.
تذکر: در معادله ثانویه دایره حتماً باید ضرایب و فقط یک باشند. پس اگر ضرایب و با هم برابر و غیر یک باشند ابتدا با تقسیم کل معادله بر آن ضریب آن را به حالت استاندارد تبدیل کنیم پس از فرمول فوق شعاع و مرکز را بیابیم.
مثال: مقدار k را طوری بیابید که شعاع دایره برابر 2 باشد.
(نکته بسیار مهم): هر معادله بصورت همواره معادله یک دایره نمی باشد. ممکن است معادله فوق متعلق به یک نقطه و یا مجموعه تهی باشد.
پس با توجه به شروط زیر می توان رابطه فوق متعلق به یک دایره یا نقطه یا مجموعه تهی باشد.
معادله دایره است اگر (الف
معادله نقطه است اگر (ب
معادله تهی است اگر (ج
مثال: حدود و مقدار k را طوری بیابید که معادله
الف) معادله دایره باشد
ب) مجموعه تهی باشد
ج) یک نقطه باشد
چند حالت مهم برای نوشتن معادله یک دایره
1-اگر مرکز و یک نقطه روی محیط دایره وجود داشته باشد.
در این حالت فقط کافی است فاصله M و O را بدست آوریم که همان R است.
مثال: معادله دایره یا بنویسید که مرکز آن باشد و نقطه نقطه ای از آن دایره باشد.
2-اگر نقطه های و دو سر پاره خطی بنام قطر یک دایره باشد آنگاه با استفاده از و شعاع و مرکز دایره بدست می آید.
مثال: معادله دایره ای را بدست آورید که نقاط و دو سر یک قطر آن باشد.
3-اگر سه نقطه و و غیرواقع بر یک خط راست باشند آنگاه برای نوشتن معادله آن از یکی از دو راه حل زیر استفاده می کنیم.
الف) اگر مرکز دایره باشد با حل دستگاه و بدست می اید و سپس شعاع آن بدست می آید. و با استفاده از معادله اولیه می توانیم معادله دایره را بنویسیم.
ب) می توانیم مختصات نقاط A و B و C را در معادله قرار دهیم و پس از حل دستگاه a و b و c را بیابیم تا معادله ثانویه دایره حاصل شود.
مثال: معادله دایره یا بنویسید که از نقاط و و عبور کند.
راه حل (1)
راه حل (2)
4-اگر دایره ای را بخواهیم بیابیم بطوریکه نقطه مرکز آن باشد و خط بر آن مماس باشد. پس می توانیم فاصله O را از خط L: بدست آوریم که همان شعاع دایره است.
مثال: معادله دایره ای بنویسید که مرکز آن باشد و بر خط مماس باشد بدست آورید و آنرا رسم کنید.
5-اگر دو خط و بر یک دایره مماس باشند و یکی از مولفه های مرکز داده باشند می توانیم برای نوشتن معادله آن دایره مراحل زیر را انجام دهیم.
الف) با استفاده از فرمول شعاع دایره بدست می آید.
ب) معادله قطری از دایره بنام می نویسیم و پس با توجه به مسئله مختصات مرکز را در قرار می دهیم و مختص دیگر آن بدست اید.
مثال: معادله دایره ای بنویسید که بر دو خط و مماس باشد و طول مرکز آن باشد. (رسم کنید)