دانلود تحقیق دایره

تعریف: مکان هندسی نقاطی از صفحه است که فاصله آنها از یک نقطه ثابت برابر مقدار ثابتی است.

تذکر: در تعریف فوق مقدار ثابت را شعاع دایره (R) و نقطه ثابت را مرکز دایره می نامند.

و هر دایره را بصورت نمایش می دهند.

روش بدست آوردن معادله دایره با استفاده از تعریف: تذکر: معادله فوق را معادله اولیه دایره می نامیم مثال: معادله دایره ای که مرکز آن نقطه و شعاع آن 3 می باشد بدست آورید.

تذکر: اگر مرکز دایره مبداء مختصات باشد معادله آن بصورت می باشد.

(نکته مهم): اگر معادله اولیه را باز کنیم می توانیم روابط زیر را نتیجه بگیریم.

حال در معادله فوق و و درنظر می گیریم تا معادله فوق بصورت که همان معادله ثانویه است، ظاهر شود.

(تذکر مهم): می توانیم از معادله روابطی را بدست آوریم که طبق آن روابط مرکز، شعاع دایره بدست آید.

مثال: مختصات مرکز و اندازه شعاع دایره را بدست آورید.

تذکر: در معادله ثانویه دایره حتماً باید ضرایب و فقط یک باشند.

پس اگر ضرایب و با هم برابر و غیر یک باشند ابتدا با تقسیم کل معادله بر آن ضریب آن را به حالت استاندارد تبدیل کنیم پس از فرمول فوق شعاع و مرکز را بیابیم.

مثال: مقدار k را طوری بیابید که شعاع دایره برابر 2 باشد.

(نکته بسیار مهم): هر معادله بصورت همواره معادله یک دایره نمی باشد.

ممکن است معادله فوق متعلق به یک نقطه و یا مجموعه تهی باشد.

پس با توجه به شروط زیر می توان رابطه فوق متعلق به یک دایره یا نقطه یا مجموعه تهی باشد.

معادله دایره است اگر (الف معادله نقطه است اگر (ب معادله تهی است اگر (ج مثال: حدود و مقدار k را طوری بیابید که معادله الف) معادله دایره باشد ب) مجموعه تهی باشد ج) یک نقطه باشد چند حالت مهم برای نوشتن معادله یک دایره 1-اگر مرکز و یک نقطه روی محیط دایره وجود داشته باشد.

در این حالت فقط کافی است فاصله M و O را بدست آوریم که همان R است.

مثال: معادله دایره یا بنویسید که مرکز آن باشد و نقطه نقطه ای از آن دایره باشد.

2-اگر نقطه های و دو سر پاره خطی بنام قطر یک دایره باشد آنگاه با استفاده از و شعاع و مرکز دایره بدست می آید.

مثال: معادله دایره ای را بدست آورید که نقاط و دو سر یک قطر آن باشد.

3-اگر سه نقطه و و غیرواقع بر یک خط راست باشند آنگاه برای نوشتن معادله آن از یکی از دو راه حل زیر استفاده می کنیم.

الف) اگر مرکز دایره باشد با حل دستگاه و بدست می اید و سپس شعاع آن بدست می آید.

و با استفاده از معادله اولیه می توانیم معادله دایره را بنویسیم.

ب) می توانیم مختصات نقاط A و B و C را در معادله قرار دهیم و پس از حل دستگاه a و b و c را بیابیم تا معادله ثانویه دایره حاصل شود.

مثال: معادله دایره یا بنویسید که از نقاط و و عبور کند.

راه حل (1) راه حل (2) 4-اگر دایره ای را بخواهیم بیابیم بطوریکه نقطه مرکز آن باشد و خط بر آن مماس باشد.

پس می توانیم فاصله O را از خط L: بدست آوریم که همان شعاع دایره است.

مثال: معادله دایره ای بنویسید که مرکز آن باشد و بر خط مماس باشد بدست آورید و آنرا رسم کنید.

5-اگر دو خط و بر یک دایره مماس باشند و یکی از مولفه های مرکز داده باشند می توانیم برای نوشتن معادله آن دایره مراحل زیر را انجام دهیم.

الف) با استفاده از فرمول شعاع دایره بدست می آید.

ب) معادله قطری از دایره بنام می نویسیم و پس با توجه به مسئله مختصات مرکز را در قرار می دهیم و مختص دیگر آن بدست اید.

مثال: معادله دایره ای بنویسید که بر دو خط و مماس باشد و طول مرکز آن باشد.

(رسم کنید) مثال: معادله دایره ای بنویسید که بر دو خط و مماس باشد و طول مرکز آن باشد.

(رسم کنید) 6-اگر معادله دو قطر از یک دایره و نقطه ای روی دایره داشته باشیم باید محل تلاقی دو قطر را که همان مرکز دایره است بدست آوریم و سپس فاصله مرکز تا نقطه داده شده را بدست آوریم که همان شعاع دایره است و در مرحله آخر با استفاده از فرمول اولیه دایره معادله آنرا بنویسیم.

مثال: دسته خطوط به معادله قطرهای یک دایره اند اگر این دایره از نقطه A بگذرد معادله آن دایره را بنویسید.

مثال: معادله دایره ای که اقطار آن در معادله دسته خط بوده و بر خط مماس باشد را بنویسید.

مثال: معادله دایره ای بنویسید که خطوط و قطرهای آن باشند و دایره بر محور yها مماس باشد.

مثال: معادله دایره ای را بنویسید که مرکز آن نقطه باشد و خط یک وتر به طول 8 روی آن ایجاد کند.

مثال: نمودار دایره از کدام نواحی مختصات عبور می کند؟

مثال: اگر در دایره به معادله مرکز دایره باشد و شعاع دایره برابر 3 باشد حاصل را بدست آورید.

(نکته مهم): برای تعیین وضعیت یک نقطه نسبت به یک دایره باید مختصات آن نقطه را در معادله دایره قرار دهیم در اینصورت یکی از سه حالت زیر رخ می دهد.

نقطه روی محیط دایره است.

اگر (الف نقطه بیرون دایره است.

اگر (ب نقطه درون دایره است.

اگر (ج مثال: وضع نسبی نقاط و و را نسبت به دایره بدست آورید.

نکته: برای بدست آوردن دورترین و نزدیکترین فاصله یک نقطه مانند M از دایره مراحل زیر را انجام می دهیم.

الف) فاصله نقطه M از مرکز دایره یعنی طول پاره خط OM را محاسبه می کنیم.

ب) با استفاده از فرمولهای مطالعه شده شعاع دایره را بدست می آوریم.

ج) (ممکن است M درون دایره باشد) نزدیکترین دورترین مثال: کمترین و بیشترین فاصله نقطه از دایره را بدست آورید.

نکته: برای بدست آوردن اوضاع نسبی یک خط نسبت به یک دایره باید فاصله مرکز دایره را از خط مورد نظر بدست آوریم که یکی از سه حالت زیر اتفاق می افتد.

(متخارج) (3 (متقاطع) (2 (مماس) (1 مثال: وضعیت خط نسبت به دایره را بدست آورید.

*نکات بسیار مهم مشترک بین هندسه تحلیلی و هندسه (2) 1-برای بدست آوردن طول کوتاه ترین وتر گذرنده از نقطه H در دایره از فرمول زیر محاسبه می شود.

2-اگر از نقطه M بیرون یک دایره خطی مماس بر آن دایره رسم کنیم برای محاسبه طول خط مماس دو راه حل وجود دارد.

الف) ب) در فرمول قسمت (ب) معادله دایره بصورت و می باشد.

مثال: قسمت (ب) فرمول فوق را ثابت کنید.

3-می دانیم طول مماسهای موسوم از یک نقطه بیرون دایره بر دایره با هم برابرند.

حال اگر بخواهیم معادله خطوط مماس را بدست آوریم از مراحل زیر استفاده می کنیم.

الف) معادله خط مماس فرضی با شیب m را می نویسیم ب) معادله خط d را با معادله دایره قطع داده و پس از معادله حاصل که درجه 2 نیز می باشد باید را حل کنیم تا مقدارهای m حاصل شود که همان خطوط و را به ما می دهد.

مثال: از مبداء مختصات مماسهایی بر دایره معادلات آن خطوط را بیابید.

تذکر: اگر زاویه بین دو مماس مرسوم از نقطه M بر دایره باشد رابطه زیر را داریم.

مثال: زاویه بین دو مماس مرسوم از نقطه بر دایره بدست آورید.

4-وتر مشترک (خطی که محل تقاطع دو دایره را بهم مصل می کند) برای بدست آوردن معادله خط AB (وتر مشترک) در صورتیکه معادلات دو دایره , وجود داشته باشند.

کافی است معادلات آنها را از هم کم کنیم و حاصل را مساوی صفر قرار دهیم.

مثال: معادله وتر مشترک دو دایره و را بیابید.

سپس طول وتر مشترک را بیابید.

مثال: معادله وتر مشترک دو دایره زیر را بیابید.

5-روش بدست آوردن معادله مماس بر دایره در نقطه ای مانند واقع بر دایره به معادله .

الف) با استفاده از مشتق منحنی، مشتق تابع f را بدست می آوریم ب) مقدار مشتق را در نقطه M بدست می آوریم همان شیب خط مماس است.

ج) با استفاده از معادله معادله خط مماس را بدست می آوریم.

مثال: معادله خط مماس بر دایره در نقطه بدست آورید.

تذکر: 1) اگر نقطه M بیرون دایره باشد دو خط مماس از M می توان بر دایره رسم کرد.

2) اگر نقطه M روی محیط دایره باشد فقط یک خط مماس از M می توان بر دایره رسم کرد.

3) اگر نقطه M درون دایره باشد هیچ خط مماس نمی توان بر دایره رسم کرد.

مثال: از کدام از نقاط زیر می توان دو خط مماس بر دایره رسم کرد.

الف) ب) 6-قائم بر دایره: خطی که از یک نقطه مانند M و مرکز دایره عبور کند.

تذکر: برای قائم بر دایره با توجه به اینکه نقطه M نسبت به دایره چه وضعیتی را دارد حالات مختلفی می توان تصور کرد.

الف: اگر نقطه M خارج از یک دایره باشد آنگاه از آن نقطه فقط یک قائم می توان رسم کرد.

مثال: معادله خط مماس و قائم بر دایره در نقطه بنویسید.

ب: اگر نقطه M روی محیط دایره باشد فقط یک قائم می توان بر دایره رسم کرد.

ج: اگر نقطه M درون دایره باشد فقط یک قائم می توان رسم کرد.

د: اگر نقطه M روی مرکز دایره باشد بی نهایت عمود می توان رسم کرد.

مثال: از نقطه می توان بی شمار قائم بر دایره رسم کرد مقدار a+b کدام است؟

مثال: خط به ازای تمام مقادیر m بر دایره قائم است و خط بر دایره مماس است معادله دایره را بدست آورید.

مثال: از نقطه بر دایره چند خط قائم می توان رسم کرد؟

7-اوضاع نسبی دو دایره در صفحه و برای تعداد مماس مشترکهای بین آن دو دایره چهار مماس مشترک متخارج سه مماس مشترک مماس خارج دو مماس مشترک متخارج یک مماس مشترک مماس درون تعداد مماس مشترکها درون هم تعداد مماس مشترکها هم مرز تذکر: فرمولهای محاسبه طول مماس مشترک خارجی و داخلی برای دو دایره بصورت زیر است.

مماس مشترک داخلی مماس مشترک خارجی مثال: کمترین و بیشترین فاصله نقطه از دایره را بدست آورید.

مثال: وضعیت خط از دایره را تعیین کنید.

مثال: تعیین کنید دو دایره به معادله های و چند مماس مشترک با هم دارند.

و طول آنها را بیابید.

بیضی: تعریف: مکان هندسی نقاطی از صفحه است که مجموع فواصل آن نقاط از دو نقطه ثابت برابر مقداری ثابت باشد.

تذکر: آن دو نقطه ثابت را در تعریف کانونهای بیضی می نامند و با F و نمایش می دهند.

تذکر: مقدار ثابت که در تعریف فوق آمده است برابر درنظر گرفته می شود.

تذکر: بیضی در حالت کلی دو نوع می باشد، افقی و قائم.

ولی این دو بیضی دارای ویژگیهای مشترک و مجزا می باشند.

ویژگیها و تعاریف مشترک بین بیضی افقی و قائم به صورت زیر می باشند.

1-محور کانونی: خطی که از دو کانون بیضی عبور می کند و بیضی را قطع می کند محور کانونی می نامند.

2-رئوس کانونی: محل تلاقی محور کانونی با بیضی همان دو رأس کانونی A و می نامند.

3-محور غیرکانونی: اگر خطی را از مرکز بیضی بر محور کانونی عمود کنیم این محور را محور غیرکانونی می نامند.

4-رئوس غیرکانونی: محل تلاقی محور غیرکانونی با محیط بیضی همان دو نقطه B و می باشد که رئوس غیرکانونی می نامند.

5-فاصله کانونی: فاصله بین دو کانون F و را فاصله کانونی می نامند.

6-قطر کانونی: فاصله بین دو رأس کانونی را قطر کانونی یا قطر بزرگ نامند.

7-قطر غیرکانونی: فاصله بین دو رأس غیرکانونی را قطر غیرکانونی یا قطر کوچک نامند 8-اگر مرکز بیضی باشد آنگاه روابط زیر وجود دارد.

(ب (الف (د (ج 9-رابطه مهم بین a و b و c در بیضی بصورت می باشد.

10-فاصله نزدیکترین رأس تا کانون 11-فاصله دورترین رأس تا کانون بیضی افقی: اگر محور کانونی یک بیضی موازی محور xها باشد، آن بیضی را بیضی افقی می نامند.

ویژگیهای بیضی افقی: 1-اگر مرکز بیضی افقی باشد.

آنگاه داریم هم عرضند هم طولند 2-معادله بیضی افقی بصورت زیر است.

تذکر: اگر معادله بیضی در اختیار داشته باشیم که بصورت استاندارد باشد.

آنگاه اگر عدد بزرگتر در مخرج x باشد بیضی افقی است و عدد بزرگتر را و عدد کوچکتر را می نامیم.

3-محورهای تقارن بیضی بصورت است.

مثال: معادله بیضی را بنویسید که کانونهای آن و باشد.

و نقطه یکی از رئوس آن باشد.

مثال: معادله بیضی بنویسید که نقاط و رئوس آن بوده و فاصله کانونی بیضی برابر 4 باشد.

مثال: نقاط و کانونهای یک بیضی باشند و نسبت قطر کوچک به قطر بزرگ بیضی است معادله آن بیضی را بیابید.

مثال: نقاط و کانونهای بیضی می باشند و نقطه یک نقطه از آن بیضی می باشد.

معادله آن بیضی را بدست آورید.

مثال: معادله بیضی را بصورت استاندارد بنویسید.

و تمام مولفه های آن را بدست آورید.

مثال: مولفه های بیضی را بدست آورید.

مثال: نقطه مفروض است.

مکان هندسی نقطه M با تغییر چه شکلی است؟

مثال: طول وتر کانونی برای یک بیضی بدست آورید.

(مهم) مثال: در بیضی به معادله در یکی از کانونهای خطی را بر قطر بزگ بیضی عمود رسم کنیم و آنرا امتداد می دهیم تا بیضی را در نقاط M و N قطع کند.

طول پاره خط MN را بدست آورید.

مثال: اگر M و N دو نقطع روی محیط بیضی باشد بیشترین و کمترین فاصله دو نقطه M و N را بدست آورید.

بیضی قائم: تعریف: اگر محور کانونی یک بیضی موازی محور yها باشد.

آن بیضی را بیضی قائم نامند.

ویژگیهای بیضی قائم: 1-اگر مرکز بیضی باشد.

آنگاه روابط زیرا را داریم.

هم طولند هم عرضند 2-معادله بیضی قائم بصورت زیر است.

تذکر: اگر معادله استاندارد شده یک بیضی در اختیار داشته باشیم، آنگاه اگر عدد بزرگتر زیر y باشد.

آن بیضی قائم است و همواره عدد بزرگتر و عدد کوچکتر را می نامیم.

3-معادله محورهای تقارون بیضی قائم بصورت است.

مثال: معادله بیضی را بنویسید که نقاط و دو رأس و نقطه کانون بیضی باشد.

مثال: نقاط و کانونهای یک بیضی باشند که در آن طول قطر بزرگ دو برابر طول قطر کوچک بیضی باشد.

معادله بیضی را بنویسید.

مثال: محور تقارن بیضی به معادله را بدست آورید.

مثال: معادله بیضی که خطوط x=2 و y=4 محورهای تقارن آن باشند را بطوریکه بر محورهای مختصات مماس باشد.

بدست آورید.

نکته: مساحت لوزی از فرمول محاسبه می شود.

مثال: مساحت لوزی را بدست آورید.

مثال: مساحت لوزی که درون بیضی به معادله محاط شده است را به دست آورید.

مثال: در بیضی حاصل را بدست آورید.

مثال: یک بیضی بر خطوط x=-1 و x=3 و y=-5 و y=5 مماس است، تمام مولفه های این بیضی را بیابید.

مثال: مختصات کانونها، رئوس، مرکز، همچنین طول فاصله کانونی، قطر بزرگ، قطر کوچک را بر ای بیضی به معادله را بدست آورید.

مثال: در بیضی فاصله یک کانون از دورترین رأس کدام است؟

مثال: در مورد دایره و بیضی کدام گزینه درست است.

1) در چهار نقطه همدیگر را قطع می کنند 2) در دو نقطه مماس اند 3) در دو نقطه متقاطع اند 4) در یک نقطه مماس اند مثال: خطوط x=-2 و y=3 به ترتیب محورهای کانونی و غیرکانونی یک بیضی می باشند بطوریکه معادله خط واصل بین دو راس A و B بصورت می باشند.

تعریف خروج از مرکز: خروج از مرکز یک بیضی بصورت نسبت c به a تعریف می شود و با e نمایش می دهیم در بیضی نکته: چون در بیضی همواره c از a کوچکتر است.

پس خروج از مرکز بیضی عددی بین صفر و یک است.

نکته: اگر در یک بیضی آنگاه بیضی بصورت یک خواهد شد.

بیضی پاره خط نکته: اگر در یک بیضی آنگاه بیضی بصورت یک دایره خواهد بود.

بیضی دایره نکته: فرمولی دیگر برای محاسبه خروج از مرکز مثال: خروج از مرکز بیضی کدام است؟

مثال: در یک بیضی که محور کانونی آن موازی محور xها باشد و مرکز آن نقطه و فاصله کانونی آن 4 باشد و همچنین خروج از مرکز آن است.

معادله آن بیضی را بیابید.

مثال: مکان هندسی تمام نقاط صفحه که فاصله آنها از نقطه برابر فاصله آنها از خط باشد را بدست آورید.

نکته: مکان هندسی نقاطی از صفحه که نسبت فاصله آن نقاط از یک نقطه ثابت (F) و یک خط ثابت (D) (بطوریکه نقطه غیرواقع بر خط باشد) عددی بین صفر و یک باشد، یک بیضی است.

آن مقدار عددی نیز همان خروج از مرکز بیضی است.

مثال: بیضی به معادله را رسم کنید.

مثال: مطلوب است معادله یک بیضی که مرکز آن (3,1) باشد و بر محورهای مختصات مماس باشد.

مثال: مطلوب است معادله یک بیضی که مرکز آن نقطه و محور کانونی آن موازی محور عرضها باشد و عرض رأس A برابر 3 و خروج از مرکز آن بیضی برابر باشد.

(چند نکته مهم در باره بیضی) 1-اگر معادله گسترده یک بیضی را داشته باشیم که بصورت باشد.

الف) معادله فوق وقتی معادله یک بیضی است که، A و B هم علامت و با هم نابرابر باشند.

ب) برای بدست آوردن مرکز بیضی مورد نظر می توانیم از مشتق نسبی استفاده حاصل فرمول فوق بصورت می باشد.

مثال: مرکز بیضی را بدست آورید.

3)اگر معادله گسترده یک بیضی را داشته باشیم می توانیم بدون استاندارد کردن نوع آن بیضی را مشخص کنیم.

الف) اگر ضریب کوچکتر از ضریب باشد آن بیضی را افقی نامیم.

ب) اگر ضریب کوچکتر از ضریب باشد آن بیضی را افقی نامیم.

مثال: نوع بیضی های زیر را مشخص کنیم و مرکز آنها را بدست آورید.

(الف (ب 4) اگر معادله گسترده یک بیضی را داشته باشیم می توانیم بدون استاندارد کردن خروج از مرکز را بدست آوردیم.

مثال: خروج از مرکز و مرکز بیضی را بدست آورید.

مثال: فاصله کانونی یک بیضی را ثلث و قطر بزرگ آنرا 4 برابر می کنیم خروج از مرکز بیضی چه تغییری می کند؟

مثال: در بیضی به معادله در نقطه F عمود MN را بر محور کانونی رسم می کنیم، مساحت مثلث را بدست آورید.

5) دامنه و برد یک بیضی یعنی تعیین حدود x و y برای این کار دو حالت وجود دارد.

الف) اگر بیضی افقی باشد.

ب) اگر بیضی قائم باشد.

مثال: دامنه و برد بیضی را بدست آمدید.

6) مکان هندسی نقاطی از صفحه که بتوان از آن نقاط دو مماس عمود بر هم بر برضی رسم کرد دایره ای است به مرکز همان بیضی و شعاع می باشد که آن دایره را دایره مونژ در بیضی می نامیم.

مثال: مکان هندسی نقاطی را تعیین کنید که از آن نقاط بتوان دو مماس عمود بر هم بر بیضی به معادله رسم کرد.

7-هر بیضی دارای یک دایره محیطی و یک دایره محاطی است.

دایره محیطی: مرکز آن مرکز بیضی و شعاع آن a می باشد.

دایره محاطی: مرکز آن مرکز بیضی و شعاع آن b می باشد.

تذکر: اگر P و S را مساحت و محیط دایره محیطی و و ، مساحت و محیط دایره محاطی بنامیم.

آنگاه روابط زیر وجود دارد.

(الف (ب مثال: مساحت بین بیضی به معادله و دایره محاط و محیط آن بدست آورید.

8-اگر معادله یک بیضی در اختیار داشته باشیم، بریا بدست آوردن معادله خط مماس و قائم بر منحنی باید مراحل زیر را انجام دهیم.

1-از معادله مورد نظر مشتق ضمنی گرفته و مقدار مشتق را در نقطه مورد نظر بدست می آورید.

2-با استفاده از فرمولهای زیر خطوط مماس و قائم بدست می آوریم.

خط مماس خط قائم مثال: خط مماس و قائم بر بیضی از نقطه (2,2) بدست آورید.

مثال: از نقطه چند مماس می توان بر بیضی رسم کرد.

نکته: اگر نقطه ای روی بیضی باشد فقط یک مماس و اگر نقطه ای بیرون بیضی باشد دو مماس دارد و همچنین اگر نقطه درون بیضی باشد هیچ مماسی نمی توان رسم کرد.

نکته: روش تشخیص اینکه درون یا بیرون و یا روی یک بیضی است از یکی از سه حالت زیر استفاده می شود.

M روی بیضی است (الف M بیرون بیضی است (ب M درون بیضی است (ج نکته: به موازات هر خط دلخواه در صفحه می توان دو مماس بر بیضی رسم کرد.

مثال: مقادیر a و b را چنان تعیین کنید که بیضی به معادله از نقطه بگذرد و ضریب زاویه خط مماس بر بیضی در این نقطه برابر باشد.

مثال: در بیضی به معادله از نقاطی واقع بر بیضی مماس هایی به موازات محورهای مختصات رسم می کنیم.

معادله این مماس ها را بنویسید.

سهمی: تعریف: مکان هندسی نقاطی از صفحه که از یک خط ثابت و یک نقطه ثابت به یک فاصله باشند.

تذکر: نقطه ثابت تعریف فوق کانون سهمی می باشند و با F نمایش می دهند.

تذکر: خط ثابت تعریف فوق خط هادی سهمی می باشد و با نمایش می دهند.

تذکر: خطی که از کانون سهمی می گذرد و بر خط هادی عمود باشد، محور کانونی نامند.

تذکر: محل برخورد محور کانونی با سهمی، نقطه ای است به نام رأس سهمی که s می نامند.

سهمی افقی: اگر محور کانونی یک سهمی موازی محور xها باشد، آن سهمی را سهمی افقی می نامند.

نکته: 1) در سهمی افقی کانون و رأس هم عرضند 2) اگر باشد آنگاه سهمی به سمت راست و اگر باشد سهمی به سمت چپ باز می شود.

3) معادله سهمی افقی بصورت است.

4) اگر معادله گسترده یک مقطع مخروطی داشته باشیم، در صورتیکه y از درجه دو x از درجه یک باشد سهمی افقی است.

5) برای اینکه بتوانیم معادله گسترده یک بیضی افقی را به حالت استاندارد تبدیل کنیم باید با استفاده از اتحاد مربع دوجمله ای y را به درجه دوم تبدیل کنیم.

مثال: مختصات کانون، رأس و معادله خط هادی سهمی را بدست آورید.

مثال: معادله سهمی بنویسید که رأس آن (-1,2) و خط x=4 خط هادی آن باشد.

مثال: مختصات رأس سهعمی، کانون، و معادله خط هادی سهمی زیر را بدست آورید.

مثال: معادله سهمی را بنویسید که رأس آن و خط خط هادی آن باشد.

مثال: معادله سهمی را بنویسید که کانون و خط x=3 خط هادی آن باشد.

اگر این سهمی محور yها را در دو نقطه A و B قطع کند، اندازه پاره خط AB بدست آورید.

سهمی قائم: اگر محور کانونی موازی محور yها باشد آن سهمی را سهمی قائم می نامند.

نکته: 1) در سهمی قائم کانون و رأس هم طولند.

و و و 2) اگر باشد سهمی به سمت بالا و ، سهمی به سمت پایین خواهد بود.

3) معادله سهمی قائم بصورت است.

4) اگر معادله گسترده یک مقطع مخروطی را داشته باشیم، در صورتیکه x از درجه دو و y از درجه یک باشد، سهمی قائم است.

5) برای اینکه بتوانیم معادله گسترده یک بیضی قائم را به حالت استاندارد تبدیل کنیم باید با استفاده از اتحاد مربع دو جمله ای x را به درجه دوم تبدیل کنیم.

مثال: مختصات رأس، کانون، معادله خط هادی سهمی را بدست آورید.

مثال: اگر خط هادی یک سهمی و رأس آن نقطه (-1,1) باشد را بدست آورید.

مثال: به ازاء چه مقداری از a کانون سهمی روی نیمساز ربع دوم و چهارم قرار دارد.

مثال: مختصات رأس و کانون سهمی بدست آورید.

مثال: محور تقارن سهمی بدست آورید.

مثال: سهمی به معادله را رسم کنید.

(نکات مهم در باره سهمی) 1-برای بدست آوردن محور تقارن یک سهمی، باید از متغیری که درجه دومی باشد مشتق بگیریم و مساوی صفر قرار دهیم.

مثال: محور تقارن سهمی را بدست آورید.

2-برای بدست آوردن رأس یک سهمی، باید از متغیری که درجه دو دارد مشتق بگیریم و مساوی صفر قرار دهیم و مقدار را در خود معادله قرار دهیم تا طول و عرض نقطه رأس بدست آید.

مثال: رأس و محور تقارن سهمی 3-در هر سهمی بدون استاندارد کردن می توان با استفاده از معادله گسترده سهمی می توانیم p را محاسبه می کنیم.

مثال: در سهمی رأس، محور نقارن، خط هادی را بدون استاندارد کردن بدست آورید.

مثال: هر پاره خطی که دو سر آن روی سهمی قرار داشته باشد یک وتر از سهمی است.

وتری که از کانون سهمی می گذرد، وتر کانونی می نامند.

ثابت کنید طول وتر کانونی برابر است.

مثال: خطی را در نقطه کانون سهمی بر محور آن عمود می کنیم تا سهمی را در نقاط M و N قطع کند.

طول پاره خط MN چقدر است؟

4) اگر M روی سهمی و N روی خط هادی باشد کمترین فاصله بین M و N برابر است.

5) خط هادی هر سهمی مکان هندسی نقاطی از صفحه است که می توان از هر نقطه آن دو خط مماس و عمود بر هم بر سهمی رسم کرد.

مثال: از نقطه دو مماس عمود بر هم بر سهمی رسم شده است حاصل را بدست آورید.

6) برای بدست آوردن معادله خط مماس و قائم بر سهمی مراحل زیر را انجام می دهیم الف) از تابع مشتق می گیریم و مقدار مشتق را در آن نقطه بدست می آورید.

ب) با استفاده از فرمول های زیر خط مماس و قائم حاصل می شود.

خط قائم خط مماس