دانلود تحقیق فیلتر کردن

مقدمه عبارت فیلتر معمولاً به دستگاهی، سخت افزاری یا نرم افزاری، اطلاق می شود که برای بازیابی اطلاعات مفید در یک سیگنال نویزی به کار می رود.

نویز یک سیگنال ناخواسته است که اطلاعات موردنظر ما را تحت تأثیر قرار می دهد و در اثر شرایط متفاوتی تولید می شود.

به عنوان مثال سیگنال ممکن است توسط یک سنسور در محیطی نویزی خوانده شود یا شاید سیگنال در طول انتقال در کانال مخابراتی دچار اختلال گردد.

فیلتر به طور کلی سه کاربر دارد: 1-فیلتر کردن[1]: بازیابی سیگنال با دقت خواسته شده در زمان t با توجه به اطلاعات موجود در زمان t 2-یکنواخت ساختن[2]: در این کاربرد اطلاعات مورد نظر با دقت خواسته شده در زمان t وجود ندارد ولی به کمک داده هایی که در زمان های بعد از t بدست می آید، سیگنال مورد نظر بازیابی می شود.

به همین دلیل برای یکنواخت ساختن باید از تأخیر استفاده کرد.

3-پیش بینی[3]: در این مورد هدف بدست آوردن سیگنال در زمان در آینده ، بوسیله اطلاعات موجود در زمان t می باشد.

فیلترها را می توان به دو دسته تقسیم بندی نمود: -خطی[4] -غیرخطی یک فیلتر را خطی می نامند هرگاه خروجی آن تابعی خطی از ورودی باشد.

در رهیافت آماری برای فیلتر خطی، ما به پارامترهای آماری، مانند میانگین و یا تابع همبستگی[5]، سیگنال و نویز احتیاج داریم.

یک راه کاربردی برای بهبود فیلتر کردن، حداقل نمودن مقدار میانگین مربع خطایی[6] که از کم کردن پاسخ مورد نظر و خروجی فیلتر بدست می آید، می باشد.

برای ورودی های ساکن[7]، راه حل مناسب فیلتر Wiener می باشد.

در این حالت منحنی MSE برحسب پارامترهای قابل تنظیم فیلتر سطح اجرایی خطا[8] نامیده می شود.

نقطه حداقل در این نمودار، ضرایب بهینه را مشخص می کند.

فیلتر Wiener در مواقعی که سیگنال یا نویز غیرساکن[9] می باشند، غیرقابل استفاده است.

در این شرایط فیلتر بهینه متغیر با زمان فرض می شود که از معروف ترین این نمونه می توان به فیلتر Kalman اشاره کرد.

تئوری فیلترهای وفقی مانند Wiener یا Kalman، در حوزه پیوسته همچون گسسته بحث شده اند ولی در عمل بدلیل حضور کامپیوتر و پردازشگرهای دیجیتال[10] در حوزه گسسته کارایی بیشتری دارند.

در فیلترهای وفقی، معمولاً از یک فیلتر دیجیتال به همراه یک الگوریتم وفقی استفاده می شود که ضرایب[11] فیلتر دیجیتال توسط الگوریتم موجود تعیین می شود.

در زیر چند کاربرد فیلترهای وفقی را نام می بریم: 1-در مهندسی پزشکی و دستگاه هایی مانند MRI، EEG و ECG 2-مخابرات دیجیتال 3-حذف اکو در تلفن[12] 4-سیستم رادار[13] 5-سیستم هدایت[14] این پایان نامه مشتمل بر چهار فصل می باشد.

در فصل اول در باره فیلترهای دیجیتال بحث های مختصر و پایه ای شده و خواننده را برای درک مفهوم فیلتر وفقی آماده می سازد.

فصل دوم به دو بخش تقسیم شده است.

در بخش اول ریاضیات مورد نیاز برای فیلتر وفقی آورده شده است و در بخش دوم به معرفی فیلتر وفقی پرداخته شده و در باره انواع الگوریتم های آن بحث شده است.

فصل سوم راجع به قابلیت های نرم افزار تخصصی MATLAB در زمینه فیلترکردن و فیلترهای وفقی می باشد.

و در فصل آخر تعدادی از کاربردهای[15] فیلترهای وفقی را مرور می کنیم.

فصل اول فیلترها 1-1)اصولاً فیلتر به دستگاه یا وسیله ای گفته می شود که برای جدا کردن 1 باند فرکانسی از باندهای دیگر و یا حذف نویز یا سیگنالهای مزاحم استفاده می شود.

فیلترها به طور عمده 2 کاربرد دارند 1-جداسازی یا تفکیک سیگنال[16]: زمانی استفاده می شود که سیگنال با استفاده از نویز – تداخل و سیگنالهای دیگر آلوده شود مثال: اندازه گیری فعالیت الکتریکی قلب کودک[17] در زمان بودن در رحم که سیگنال خام یا اصلی در اثر صدای ضربان قلب مادر یا تنفس او خراب می شود لذا بایستی سیگنال اصلی از بقیه سیگنالها تفکیک شود.

2-بازیابی سیگنال[18]: وقتی که یک سیگنال در مسیر خاصی مشوش یا خراب[19] شود.

مثال:1 ضبط ساده که از وسایل آماتور ساخته شده است ممکن است فیلتر شود تا صدای بهتری را نمایش دهد.

2-1 هر فیلتر دارای 3 پاسخ اصلی است 1) پاسخ پله 2) پاسخ ضربه 3) پاسخ فرکانسی هر 3 این پاسخ ها دارای اطلاعات یکسان ولی در فرمتهای مختلف می باشند.

3-1) 2 روش در طراحی فیلترها (عموماً دیجیتال) وجود دارد 1) روش کانولوشن[20] سیگنال ورودی با پاسخ ضربه فیلتر دیجیتال (روش کانولوشن) 2) روش طراحی فیلتر دیجیتال با روش بازگشتی[21] (روش بازگشتی) به فیلترهایی که به روش کانولوشن طراحی می شوند اصطلاحاً فیلتر FIR[22] یا فیلترهای دارای پاسخ ضربه محدود می گویند و به فیلترهایی که به روش بازگشتی طراحی می شوند اصطلاحاً فیلتر IIR[23] یا فیلترهای دارای پاسخ ضربه نامحدود گویند.

به فیلترهایی که به روش کانولوشن طراحی می شوند اصطلاحاً فیلتر FIR یا فیلترهای دارای پاسخ ضربه محدود می گویند و به فیلترهایی که به روش بازگشتی طراحی می شوند اصطلاحاً فیلتر IIR یا فیلترهای دارای پاسخ ضربه نامحدود گویند.

4-1)پارامترهای حوزه زمان و فرکانس در فیلترها: 1-4-1)پارامترهای حوزه زمان 1-زمان رشد و نمو: مدت زمانی است که طول می کشد تا پاسخ پله فیلتر از %10 به %90 مقدار نهایی برسد هرچه زمان فوق کمتر باشد سرعت فیلتر بیشتر است.

2-بالازدگی : مقدار بالازدگی در پاسخ پله را گویند که معیاری از پایداری سیستم است هرچه بالازدگی کمتر باشد سیستم پایدارتر است.

2-4-1) پارامتر حوزه فرکانسی: 1-باند عبور 2-باند قطع 3-باند گذر باند عبور: باندی که در آن باند فیلتر سیگنالها را عبور می دهد.

باند قطع: باندی که در آن باند فیلتر سیگنالها را عبور نمی دهد.

باند گذر: باندی که بین باند عبور و باند قطع است.

مطابق شکل (1-1) باند عبور باند قطع 4-شیب: شیب یا تندی در حوزه فرکانس را می نامند هرچه شیب فوق بیشتر باشد ناحیه گذر نازکتر و در نتیجه فیلتر به فیلتر ایده آل نزدیکتر است.

5-تضعیف ناحیه قطع: هرچه تضعیف در ناحیه قطع بیشتر باشد فیلتر بهتر طراحی شده است (رنج طراحی: db 100-80) شکل 2-1 پاسخ پله برای اندازه گیری پارامترهای حوزه زمان استفاده می شود 3 پارامتر مهم در پاسخ پله عبارتند از: 1-زمان نمو 2- overshoot 3-خطی یا غیرخطی بودن فاز در شکل های زیر پاسخ های فرکانسی یک فیلتر پایین گذر نمایش داده شده است 3 پارامتر مهم در پاسخ فرکانس عبارتند از 1-roll-off 2-ریپل باند عبور 3- تضعیف در ناحیه قطع شکل 3-1 1-2-روش برای تبدیل فیلتر پایین گذر به بالاگذر وجود دارد 2-1-2-معکوس طیفی: روش فوق شامل 2 مرحله است 1)تغییر علامت دادن تمام نمونه ها (در حوزه زمان) 2) افزودن عدد (1) به نمونه واقع در مرکز (حوزه زمان) 2) تغییر در حوزه فرکانس: معکوس کردن طیف سیگنال از بالا به پایین (حوزه فرکانس) (3-1-2) معکوس یا عکس طیفی: روش فوق نیز شامل 2 مرحله است 1-تغییر علامت دادن هر نمونه: ضرب کردن فیلتر کرنل با 1 موج سینوس با فرکانس 0/5 (حوزه زمان) 2-در حوزه فرکانس نیز معادل است: معکوس کردن طیف از چپ به راست شمای تبدیل فیلترها به یکدیگر شکل4-1-بیانگر معکوس طیفی است در شکل اول این بخش نشان داده شده است سیگنال ورودی برای (تبدیل فیلتر پایین گذر به بالاگذر) 2سیستم موازی درخواست شده و 2 سیستم موازی دارای پاسخ ضربه و می باشند همانطور که در شکل دو نمایش داده شده است سیستم ترکیبی دارای پاسخ ضربه و است این به این معنی است که پاسخ فرکانس سیستم ترکیب شده عکس پاسخ فرکانسی است.

(ساخت فیلتر میان گذر از پایین گذر و بالاگذر): این شکل طراحی 1 فیلتر میان گذر است که در شکل نمایش داده شده است.

1 فیلتر میان گذر با کسکد کردن 2 فیلتر بالاگذر و پایین گذر ساخته می شود این شکل می تواند در 1 مرحله نمایش داده شود پاسخ ضربه سیستم کل مساوی است با کانولوشن پاسخ ضربه 2 سیستم پایین گذر و بالاگذر شکل 6-1 طراحی فیلتر میان گذر: همانطور که در شکل نمایش داده شده است 1 فیلتر میان نگذر از ترکیب موازی 1 فیلتر پایین گذر و بالاگذر به دست می آید شکل دوم همین بخش نشان می دهد که در نتیجه پاسخ ضربه سیستم کل برابر است با جمع پاسخ ضربه سیستم پایین گذر و بالاگذر 3-1) طبقه بندی فیلترها 1-3-1) فیلترهای قابل ساخت و طراحی با روش بازگشتی (ضرایب بازگشتی) 1-فیلتر تک قطبی 2-فیلتر چپیشف 3-فیلتر ایریتیو 3-3-1) فیلترهای قابل ساخت، طراحی با روش کانولوشن (پاسخ ضربه) 1-فیلتر میانگیر 2-فیلتر پنجره ای سینک 4-1)فیلتر میانگیر همانطور که از نام فوق پیداست با میانگین گرفتن تعدادی از نمونه های سیگنال ورودی برای تولید سیگنال خروجی بدست می آید.

و طبق معادله روبرو محاسبه می شود.

که به سیگنال ورودی و سیگنال خروجی می گویند.

به عنوان مثال اگر 5=M باشد و همچنین می توان کرانهای سری فوق را تغییر داد و در نتیجه فرمول 1 به شکل روبرو می آید.

1-4-1-مزایای فیلتر میانگیر: این فیلترباعث کاهش نویز رندوم می شود (خوب) ولی باعث کاهش تیزی گوشه ها می گردد.

مقدار کاهش دامنه نویز مساوی است با ریشه دوم شماره نمونه ها 2-4-1-پاسخ فرکانس فیلتر میانگیر: شکل 7-1 شکل: این شکل نشان دهنده پاسخ فرکانسی فیلتر میانگیر است ویژگیهای فیلتر خاص: فیلتر میانگیر 1 فیلتر پایین گذر نامطلوب با roll-off کند و تضعیف ناحیه قطع نامطلوب می باشد.

دارای شیب آرام در حوزه فرکانس و تضعیف ناحیه قطع نامطلوب باشد همچنین فیلتر فوق نمی تواند 1 باند فرکانسی را از باندهای دیگر جدا نماید فیلتر فوق در حوزه زمان 1 فیلتر نرم کننده است ولی در حوزه فرکانس فیلتر پایین گذر بد است.

3-4-1-فیلتر پنجره ای فیلتر پنجره ای 1 فیلتر پایین گذر ایده ال است باند عبور کاملاً صاف است و تضعیف در ناحیه قطع نامحدود می باشد.

کانولوشن سیگنال ورودی با فیلتر کرنل 1 فیلتر پایین گذر کامل را ایجاد می کند مشکل اینجاست که تابع ادامه می یابد.

بدون خاصیت میراشوندگی.

برای حل این مشکل ما 2 کار انجام می دهیم.

آنرا تا 1+M نمونه قطع می نماییم.

تمام نمونه ها صفر می شوند بعد سیگنال را به سمت راست شیفت می دهیم و نمونه های منفی را حذف می نماییم در نتیجه پاسخ فرکانسی از حالت ایده آل خارج شده و ریپل هایی در باند عبور قطع مشاهده می شود 5-1 فیلتر های پنجره ای معروف : فیلتر همینگ با معادله روبرو: فیلتر بلک من با معادله روبرو: این شکل بیانگر مشخصات فیلترهای Black-man و Hamming می باشد که مشخصات آنها در شکل 8-1 نمایش داده شده است همانطوریکه در شکل می بینید فیلتر Hamming 20% از لحاظ roll-off سریعتر از Black-man است گرچه فیلتر Black-man تضعیف ناحیه قطع بهتری نسبت به Hamming دارد.

شکل 8-1 توضیحاتی در ارتباط با تبدیل Z و فیلتر بازگشتی 5-1) تبدیل لاپلاس 1 سیگنال از رابطه زیر محاسبه می شود.

(1 که به ترتیب نمایش سیگنال در حوزه Z و S می باشد.

و می دانیم که S یک کمیت مختلط است.

(2 با جایگذاری 2 در 1 خواهیم داشت این عبارت نشان می دهد که هر نقطه در صحنه s با 2 پارامتر و w نمایش داده می شود که به قسمت حقیقی و به (قسمت موهومی) می گویند برای پیدا کردن (قسمت حقیقی) کافی است سیگنال حوزه زمان را در 1 موج کسینوسی با فرکانس ضرب کنیم و دامنه آن مطابق با کاهش می یابد برای محاسبه نیز از روش مشابه بالا استفاده می شود.

تبدیل لاپلاس می تواند در 3 قدم به تبدیل z تبدیل شود تبدیل سیگنال از پیوسته به گسسته: این کار با جابجایی و تعویض متغیر t با n امکان پذیر است و دیگری تبدیل انتگرال به سیگما توجه کنید یک کمیت پیوسته است نه گسسته دومین قدم بازنویسی ترم و جمله مجهول می باشد بعد فرمول تبدیل z به صورت زیر بازنویسی می شود 1-5-1) تفاوتهای تبدیل لاپلاس و Z: هر نقطه در صفحه s با 2 پارامتر (متغیر کاهش در راستای محور افقی) و w (متغیر فرکانس در راستای محور عمودی) مشخص می شود.

ولی در تبدیل z هر نقطه روی 1 دایره با (r) خاص (فاصله از مبدأ صفحه z) و فاز یا زاویه نسبت به محور حقیقی سنجیده می شود.

2-5-1)آنالیز سیستمهای بازگشتی: سیستمهای بازگشتی با فرمول که در آن به عنوان ورودی و به عنوان خروجی می باشد و a و b ضرایب بازگشتی نامیده می شوند.

برای بدست آوردن تابع فیلتر کافی است تابع تبدیل سیستم را بدست بیاوریم.

1-6-1)تفاوت فیلترهای آنالوگ و دیجیتال.

فرضیه را با مثال شروع می کنیم ما می خواهیم 1 فیلتر چبیشف (6 قطب) را با ریپل حدود %6 بسازیم.

بر طبق داده ها می دانیم که این فیلتر با سه عدد OPAMP، 12 عدد ترانزیستور، 6 عدد خازن ساخته می شود در دید دیجیتال فیلتر پنجره ای سینک آماده برای رقابت می باشد سیگنال آنالوگ بایستی با فرکانس KHz10 نمونه برداری شده و فرکانس قطع آن نیز در مقیاس 1/0 تنظیم گردد طول فیلتر پنجره ای 129 نمونه می باشد و کاهش شیب از %90 به %10 شبیه فیلتر آنالوگ صورت گیرد مقایسه 2 فیلتر فوق: 1-فیلتر آنالوگ در باند عبور دارای (%6) ریپل است ولی فیلتر دیجیتال کاملاً صاف است مقدار صافی باند عبور در فیلتر آنالوگ بستگی به درستی و طراحی دقیق مقاومتها و خازنها می باشد.

2-در فیلتر دیجیتال پاسخ پله حالت متقارن دارد (بین 2 بخش بالایی و پایینی) و در نتیجه دارای فاز خطی است و در فیلتر آنالوگ برعکس علاوه بر داشتن فاز غیرخطی دارای پاسخ های متقارن نیز نمی باشد و همچنین فیلترهای آنالوگ در حدود %20 اورشوت در پاسخ های خود و فیلترهای دیجیتال در حدود 10% اورشوت دارند فیلترهای آنالوگ سریع و فیلترهای دیجیتال نرم و قابل استفاده ترند.

2-6-1) تفاوت میان فیلتر پنجره ای سینک و چبیشف: هر 2 فیلتر دارای ویژگی زیر هستند که 1 باند فرکانسی را از باندهای دیگر جدا می سازد فیلتر پنجره ها سینک 1 فیلتر FIR است که از طریق کانولوشن طراحی می شود و دیگری چبیشف است که 1 فیلتر IIR است که از طریق ضرایب بازگشتی طراحی می شود.

فیلتر IIR فوق حدود %5/0 ریپل در باند عبور دارد در حالتی که فیلتر پنجره ای سینک صاف می باشد و فیلتر پنجره ای سینک دارای تضعیف بهتری در ناحیه قطع خود می باشد.

3-6-1-)-روش Over-Lap Add Method: وقتی بخواهیم 1 سیگنال طولانی را فیلتر کنیم روش های متعددی وجود دارد یکی از آن روشها روش Over-Lap Add Method است روش Over-Lap-add-method برروی این تئوری بنا شده که سیگنالی که باید فیلتر شود به بخش های مختلف تقسیم می کنیم پس هر کدام از این قسمت ها را تجزیه و تحلیل کرده و فیلتر می کنیم بعد از فیلتر کردن تمام سیگنال ها آنها را با هم جمع می نماییم و هر بخش با کانولوشن پاسخ ضربه با فیلتر اصلی خروجی اش محاسبه می شود.

شکل 9-1 روش Over-Lap-add Method = هدف کانولوشن سیگنال ورودی با پاسخ ضربه فیلتر اصلی باشد این روش با تجزیه سیگنال ورودی به تعدادی بخش حاصل می شود و سپس هر بخش خروجی اش از طریق کانولوشن آن بخش با پاسخ ضربه فیلتر اصلی بدست می آید (لازم به یادآوری است در آخر هر بخش دامنه از 1 نمونه ای به بعد صفر می شود (مقدار قابل توجه) تاخیر فاز: وقتی سیگنال ورودی حاوی فرکانس های متفاوت باشد آنگاه سیگنال خروجی در هرکدام از فرکانس ها به نسبت تاخیر پیدا می کند که این مطلب باعث می شود که سیگنال خروجی شباهتی به سیگنال ورودی نداشته باشد.

تأخیر گروهی: معیار خطی بودن فاز است نسبت به فرکانس و نمایش گر میزان تاخیر زمانی شکل موج ورودی و خروجی آنالوگ می باشد.

فصل دوم فیلترهای وفقی 2-1-سیگنال های گسسته تصادفی 2-1-1-مقدمه: سیگنال هایی که از الگوی پریودیک تبعیت می کنند و یا توسط روابط ریاضی بیان می شوند را قطعی می نامند.

در مقابل سیگنال هایی وجود دارند که مقادیر آنها را نمی توان با قطعیت پیش بینی کرد، به این دسته سیگنال های تصادفی می گوییم.

به طور کلی سیگنال های قطعی برای آزمایش سیستم ها به کار می روند، به عنوان مثال پیدا کردن پاسخ فرکانس یک فیلتر، در حالی که سیگنال های تصادفی هر جا تبادل اطلاعات است، یافت می شوند.

در پردازش سیگنال های دیجیتال فهمیدن توابع تصادفی مقدمه ای برای شناخت هر دوی اطلاعات و نویز موجود در سیگنال می باشد.

2-1-2-میانگین، میانگین مربع و واریانس: میانگین یک سیگنال گسسته با مجموع حاصلضرب اندازه هر نمونه در احتمال وقوع آن بدست می آید.

به این رابطه بعضی اوقات مقدار dc نیز گفته می شود و «E» بیانگر امید ریاضی می باشد.

پارامتر مهم بعدی میانگین مربع می باشد که به آن توان متوسط نیز می گویند و طبق رابطه زیر محاسبه می شود.

و پارامتر سوم در شناخت سیگنال واریانس بوده که بیانگر میزان نوسانات حول میانگین می باشد.

از آنجائیکه میانگین مربع برابر با توان کل متوسط و میانگین نشان دهنده توان dc می باشد، می توان به نوعی واریانس را میزان توان ac دانست.

2-1-3-میانگین زمانی و میانگین Ensemble ما تصور می کردیم که احتمالات مربوط به مقادیر گسسته سیگنال تصادفی موجود بوده یا محاسبه می گردند.

سپس این احتمالات در بدست آوردن میانگین و واریانس مفید واقع می شدند.

حال می خواهیم تفاوت بین میانگین زمانی و میانگین ensemble را مشخص کنیم.

پردازش یک سیگنال آماری به تعداد نامتناهی متغیرهای آماری ختم شده، که سیگنال ، ، تنها یکی از متغیرهای مورد بحث می باشد.

همه روابط بدست آمده از این پردازش یک ensemble نامتناهی نامیده می شود و توابع آماری و امید ریاضی توصیف شده در بخش 2-1-2 از این قبیل می باشند.

در پردازش سیگنال دیجیتال ما کار با قسمت های خاصی از سیگنال را نسبت به حالت ensemble ترجیح می دهیم.

هر نمونه بیانگر مقدار یکی از متغیرهای در حال پردازش می باشد و ما باید بین مشخصات کلی و اطلاعات موجود در یک بازه زمانی ارتباط برقرار کنیم.

این پروسه بوسیله میانگین زمانی بوجود می آید و روابط آن به صورت زیر است.

حدهای به کار رفته در روابط بالا فقط در صورتی موجود می باشند که دارای میانگین محدود باشد.

یک سیگنال را ساکن می نامند هرگاه روابط آماری آن مستقل از زمان باشد و همچنین یک سیگنال را Wide Sense Stationary می نامند هرگاه هم میانگین و هم تابع همبستگی آن مستقل از زمان باشد.

2-1-4-تابع خود همبستگی مقادیر توزیع یک سیگنال تصادفی، مشخصات آماری پراکندگی دامنه را و همچنین احتمال وجود یک نمونه را بیان می کند.

ولی متأسفانه در باره اینکه این احتمالات نمونه ها به هم مرتبط هستند یا نه، اطلاعاتی نمی دهد.

به هر حال می توان مشخصات ساختار حوزه زمان یک سیگنال را بوسیله تابع خود همبستگی بدست آورد.

تابع خود همبستگی (ACF) را میانگین حاصلضرب سیگنال با شیفت یافته خود در حوزه زمان تعریف می کنند.

این تابع یک معیار ارزشمند سیگنال آماری می باشد که وابستگی بین مقادیر را در زمان های مختلف بیان می دارد و به طور کل ساختار حوزه زمان را خلاصه می کند.

این تابع طبق رابطه زیر بیان می شود.

تابع دیگر که به ACF شبیه می باشد تابع Auto Covariance می باشد: از روابط بالا این نکته برداشت می شود که در صورت صفر بودن میانگین سیگنالی، آنگاه دو تابع فوق برای آن برابرند.

مقدار مرکزی ACF برابر است با میانگین مربع آن سیگنال و به نوعی بیانگر توان کلی آن می باشد و همیشه بیشترین دامه را دارد.

یک استفاده کاربردی این تابع شناسایی یک سیگنال پریودیک در حضور نویز می باشد.

2-1-5-سیگنال و نویز یکی از مهم ترین بحث ها در پردازش سیگنال دیجیتال بازیابی اطلاعات مفید از نویز ناخواسته می باشد.

در این قسمت تابع ACF یک سیگنال ترکیب شده با نویز را مشاهده می کنیم.

سیگنال و نویز کاملاً ناهمبسته می باشند یا به بیان دیگر احتمال هر نمونه مستقل از نمونه های است.

پس آخرین جمله در رابطه بالا برابر صفر می باشد.

دلیل صفر شدن عبارت بالا برابر صفر بودن میانگین نویز است.

بنابراین ACF سیگنال با نویزی که میانگین آن صفر است به صورت زیر است: 2-1-6-تابع همبستگی متقابل ACF برای شناخت ساختار سیگنال در حوزه زمان به کار می رود.

تابع همبستگی متقابل (CCF) تابعی می باشد که به جای مقایسه سیگنال با شیفت یافته خود، دو سیگنال متفاوت را مقایسه می کند.

CCF دو سیگنال و و کواریانس متقابل در قسمت میانگین زمانی به صورت زیر تعریف می شود.

هر دوی این توابع مرتبه دوم می باشند.

CCF اجزای فرکانسی موجود بین دو سیگنال را منعکس می کند و همچنین اطلاعات ارزشمندی را از قبیل فازهای منسوب به فرکانس های مشترک را در بر دارد.

مهم ترین کاربرد (CCF) در مقایسه با دو سیگنال مشابه که فقط از نظر زمانی متفاوت می باشند، است.

به عبارتی سیگنال هدف را در سیگنال دیگر می یابد و زمان وقوع آن را محاسبه می کند.

در این کاربرد همه نمونه های CCF برابر صفر است مگر آن نمونه هایی که دو سیگنال مشابه به هم می رسند.

این نکته در سیستم رادار و سنجش فاصله کاربرد دارد.

2-2-فیلترهای وفقی 2-2-1-مقدمه خصوصیت اصلی فیلتر وفقی متغیر با زمان بودن ضرایب آن و تنظیم خودکار مشخصات فیلتر می باشد.

یک فیلتر وفقی معمولاً از ساختار فیلتر FIR، به همراه الگوریتم وفقی که به طور پیوسته ضرایب فیلتر را تغییر می دهد، بهره می برد.

اکثر الگوریتم های وفقی برگرفته شده از فیلتر Wiener می باشند، بنابراین در ابتدا مروری بر نحوه کارکرد این فیلتر داریم.

2-2-2-تئوری فیلتر Wiener نقطه شروع در روابط وفقی، تعریف مشخص فیلتر بهینه می باشد.

فیلتر Wiener رایج ترین نوع مورد استفاده می باشد.

در شکل زیر عملکرد آن مشخص شده است.

شکل 2-1 Kامین نمونه سیگنال y ، yk، شامل سیگنال اصلی sk و نویز nk می باشد، که نویز nk خود با xk همبسته است.

فیلتر wiener به کمک یک فیلتر دیجیتال (در این مثال فیلتر FIR مرتبه N) نویز را تخمین می زند.

، iامین ضریب فیلتر می باشد، از آنجاییکه با سیگنال گسسته کار می کنیم می توانیم روابط را به صورت ماتریسی بیان کنیم: مربع خطای لحظه ای سیگنال به صورت زیر است: میانگین مربع خطا همان امید ریاضی عبارت بالا می باشد: اگر را با و را با جایگزین کنیم، رابطه بالا به صورت زیر ساده می شود: از رابطه بالا می توان فهمید که MSE یک معادله درجه دوم بر حسب ضرایب فیلتر W می باشد.

2-2-3-سطح اجرا قسمتی از تابع MSE دو بعدی در زیر به نمایش آمده است.

محور عمودی مقدار MSE و محورهای افقی ضرایب فیلتر می باشند.

تابع درجه دوم خطا برای بدست آوردن ضرایب بهینه مفید می باشد.

شکل 2-2 بسیاری از پروسه های وفقی دنبال نقطه حداقل بردار وزن می گردند و برای این کار از گرادیان استفاده می کنند.

گرادیان MSE بوسیله رابطه زیر بدست می آید.

در قسمت قبل دیدیم که MSE امید ریاضی مجذور خطا می باشد.

پس داریم: وقتی ضرایب فیلتر مقدار حداقل را برمی گیزیند که مشتق آن برابر صفر شود.

این رابطه به Wiener-Hopf معروف است و فیلتر بدست آمده از رابطه بالا همان فیلتر Wiener می باشد.

البته در عمل از این رابطه استفاده نمی کنند، مشکل این است که محاسبه ماتریس معکوس برای هر نمونه بسیار پیچیده است.

یک روش دیگر برای این کار، الگوریتم steepest descent می باشد.

در این روش وزن ها به صورت بازگشتی از رابطه زیر محاسبه می شوند: ، بردار وزن است بعد از p بار تکرار و بردار گرادیان است که بعد از جایگزینی محاسبه شده و یک ثابت است که سایز پله و پایداری و سرعت همگرایی را تنظیم می کند.

2-2-4-الگوریتم LMS الگوریتم Least Mean Square بدلیل سادگی شهرت زیادی دارد.

این الگوریتم از روش steepest descent استفاده می کند ولی بدلیل محاسبه رابطه بازگشتی فقط یک بار در هر نمونه و همچنین محاسبه تقریبی گرادیان ساده تر شده است.

با جایگذاری عبارت بالا در رابطه با رابطه گشتی داریم: برای پیاده سازی الگوریتم LMS مراحل زیر باید طی شوند.

1-مقداردهی اولیه به ضرایب فیلتر 2-در هر نمونه مراحل زیر را اجرا می کنیم.

2-a محاسبه خروجی فیلتر: 2-b محاسبه تخمین خطا: 2-c بدست آوردن ضرایب جدید فیلتر 2-2-5-خصوصیات همگرایی نحوه اجرای الگوریتم LMS در شکل زیر آمده است.

منحنی های در شکل نشان داده شده اند و ضرایب بهینه برای این مثال خاص و می باشد.

مقادیر منحنی طبق جدول زیر بدست آمده است.

شکل 3-2 به نظر می رسد منحنی که مقدار بزرگتر دارد، بدلیل اینکه مقدار ضرایب در هر تکرار بزرگتر است، بیشتر نوسان می کند، ولی با مقدار تکرار کمتر به همان فاصله ایده آل از رسیده است.

انتخاب بسیار مهم است زیرا تنظیم کننده پایداری و سرعت همگرایی می باشد.

اگر خیلی کوچک باشد، ممکن است پروسه خیلی طولانی شود و اگر خیلی بزرگ باشد، امکان ناپایداری وجود دارد.

پس محدوده ای که برای وجود دارد به صورت زیر است: که بزرگترین مقدار ویژه ماتریس کواریانس سیگنال ورودی است.

2-2-6-الگوریتم RLS به دلیل محدودیت های موجود در LMS از قبیل حجم زیاد محاسبات، الگوریتم دیگری بنام RLS در بعضی موارد به LMS ترجیح داده می شود.

این الگوریتم از ساختار زیر پیروی می کند.

شکل 4-2 سیگنال ، پاسخ به ورودی ، می باشد و طبق این معادله به هم مربوط می شوند.

که بیانگر میزان خطا و تعیین کننده میزان تأثیر iامین نمونه ورودی در سیگنال می باشد.

مسئله در روش LS این است که و را داریم و w(0) تا w(n-1) را می خواهیم.

تخمین های مناسب ضرایب فیلتر از رابطه زیر بدست می آیند: که و و پسوند m در روابط بالا نشان دهنده این است که ماتریس بالا از همه m داده خود استفاده می کنند.

محاسبه رابطه بالا بسیار وقت گیر بوده و برای زمان – حقیقی و یا فیلتر کردن online مناسب نمی باشد.

در عمل وقتی با داده های پیوسته کار می کنیم، روش های بازگشتی ترجیح داده می شوند.

با الگوریتم RLS تخمین می تواند با هر ورودی جدید محاسبه شود و نیازی به حساب کردن مکرر ماتریس معکوس نیست.

الگوریتم RLS از داده گذاری نمایی برای از بین بردن تدریجی مقدارهای قبلی استفاده می کنند.

نقش در روش بازگشتی محاسبه ماتریس معکوس می باشد.

K بر این نکته دلالت می کند که مقادیر در هر نمونه بدست می آیند.

به ضریب فراموش شده معروف است و معمولاً بین 98/0 تا 1 انتخاب می شود.

اشکال الگوریتم بالا این است که اگر سیگنال ورودی برای مدت زمان طولانی صفر بماند آنگاه طبق روابط بالا داریم: در این حالت به صورت نمایی اضافه شده و باعث ناپایداری سیستم می شود.

2-2-7 مدل های مختلف کاربرد فیلترهای وفقی 1-پیش بینی خطی شاید ساده ترین مدل استفاده فیلتر وفقی همین حالت می باشد که در شکل زیر آمده است.

سیگنال خواسته شده همان ورودی S می باشد و تأخیر داده شده S به فیلتر وفقی فرستاده می شود که باید مقدار فعلی S را پیش بینی کند تا مقدار خطا e به صفر برسد.

این مدل معمولاً در رمزگذاری سیگنال کاربرد دارد.

شکل 5-2 2-مدلسازی سیستم به صورت مستقیم در این حالت (شکل زیر) سیگنال هم برای فیلتر وفقی و هم برای سیستم نامعلوم فرستاده می شود.

برای کم کردن مقدار پردازشگر وفقی سعی در شبیه سازی مشخصات سیستم را دارد.

این مدل در حذف اکو و نویز کاربرد دارد.

شکل 6-2 3-مدلسازی سیستم به صورت معکوس مطابق شکل زیر، این مدل تأخیر یافته سیگنال را بازسازی می کند که قرار بوده است با سیستم نامعلوم دچار تغییر شود.

کاربرد این مدل در از بین بردن اثر کانال مخابراتی می باشد.

شکل 7-2 4-حذف نویز وفقی در این مدل پرکاربرد فیلتر وفقی نویز تصادفی را از روی سیگنال اصلی برمی دارد.

در شکل زیر توجه داشته باشید که هدف یکسان سازی سیگنال و می باشد و مثل روش های قبلی صفر نمی شود.

شکل 8-2 فصل سوم: کار با MATLAB 3-1-مقدمه: امروزه نرم افزار MATLAB به دلیل قابلیت های گوناگون در زمینه های مختلف، یکی از محبوب ترین نرم افزارها بین مهندسین می باشد.

این نرم افزار بین دانشجویان و مهندسین برق از جایگاه بخصوصی برخوردار است، زیرا به کمک MATLAB می توان پروژه های مختلف کنترلی، مخابراتی و ...

را بدون هیچ هزینه سخت افزاری شبیه سازی نمود.

امکانات جدیدی که MATLAB در نسخه های جدید خود راائه کرده، از قبیل ساختن خروجی های COE برای Xilinx و C header file و Code composer این نرم افزار را به قوی ترین در زمینه پردازش سیگنال تبدیل کرده است.

همچنین MATLAB طبق انتظار در زمینه طراحی و پیاده سازی انواع فیلترهای دیجیتال، FIR و IIR، بدون نیاز به محاسبات و مدارات پیچیده، توابعی گوناگونی را در اختیار کاربران گذاشته است.

برای این کار MATLAB دو محیط را به کاربر پیشنهاد می کند.

یکی استفاده از توابع متعدد برای انواع فیلترها در محیط Command Windows می باشد.

هر فیلتر اعم از چپی شف، باتر و رث و ...

دارای توابع خاص خود بوده و به راحتی می توان مشخصات آنها را تنظیم نمود.

راه دیگر Filter design Toolbox می باشد.

در این محیط به سهولت می توان نوع فیلتر مورد نظر را انتخاب کرد و با توجه به نیاز مشخصات آن را تنظیم نمود.

در ادامه با هر یک از این دو محیط و قابلیت های آنها بیشتر آشنا خواهیم شد.

در پایان برنامه ای برای نشان دادن توانایی MATLAB در زمینه فیلترهای وفقی آورده ایم.

3-2-فیلتر در محیط Command Window در این بخش ابتدا به بیان توابع کلی فیلتر پرداخته، سپس توابع موجود برای فیلتر های خاص مورد بررسی قرار گرفته اند.

همانطوریکه در فصل 1 دیدیم، فیلترهای دیجیتال دو دسته اند، یکی فیلترهایی که با کانولوشن کار می کنند (FIR) و دیگری فیلترهای بازگشتی (IIR) می باشد.

در ادامه دستوراتی را برای تحقق فیلترهای دیجیتال مرور می کنیم.

اولین دستور Conv است که این دستور برای تحقق کانولوشن و فیلترهای FIR مفید است C=Conv(A,B); B و A سیگنال های ورودی بوده و C مقدار کانولوشن آنها می باشد که طبق رابطه زیر محاسبه می شود.

مثال: یک متغیر تصادفی یک فیلتر میان گیر برای کار با فیلتر بازگشتی، ابتدا باید تابع تبدیل فیلتر را در حوزه Z بررسی کرد.

می دانیم که روابط بین ورودی و خروجی سیگنال های گسسته در حوزه زمان با معادلات تفاضلی نشان داده می شوند.

این معادلات در حوزه Z پس از مرتب کردن به شکل زیر درمی آید: و به ، مرتبه فیلتر می گویند.

البته چون برای ما کار با صفر و قطب راحت تر است، MATLAB توابعی دارد که این دو را به هم تبدیل می کند: حال که با طریقه نمایش ضرایب فیلتر آشنا شدیم، معروف ترین تابع MATLAB برای فیلتر کردن را می بینیم: که x ورودی بوده و b و a ضرایب فیلتر می باشند.

همچنین در این تابع می توان شرایط اولیه را تأثیر داد.

در مواردی که فیلتر دارای مشخصات فاز غیرخطی می باشد از دستور Filtfilt استفاده می کنند.

این دستور با دو بار فیلتر کردن، یکی به صورت مستقیم و دیگری معکوس، پارامتر group delay را خطی می سازد.

البته هر وقت بخواهید می توانید با دستور [g,d,w]=grpdelay(b,a,n) مشخصات group delay را مشاهده کنید.

در مثال زیر تفاوت filtfilt را با filter می بینیم.