معادلات دیفرانسیل:
ارتباط بین یک تابع و مشتقات آن را معادله دیفرانسیل می نامیم و فرم کلی معادلات دیفرانسیل به صورت بالاست.
F=ma
=yمکان
سرعت
شتاب
معادله دیفرانسیل f=kx
Y=Asinwt
1,3
مرتبه معادله دیفرانسیل: مرتبه هر معادله دیفرانسیل مرتبه بزرگترین مشتق آن معادله دیفرانسیل است.
مثال) مرتبه معادلات دیفرانسیل زیر را مشخص کنید.
3 (1
حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول : فرم کلی معادلات دیفرانسیل مرتبه اول به صورت می باشد . حل این معادلات را وقتی که =f(x,y) yَ باشد یا باشد . بررسی می کنیم.
1- معادلات تفکیک پذیر : اگر در معادلات دیفرانسیل به فرم =f(x,y) yَ داشته باشیم که در آن f(x) تنها تابعی از x و f(y) تنها تابعی از y باشد. حل این معادلات به صورت زیر خواهد بود.
چون هدف از حل معادله دیفرانسیل تعیین مقدار y است باید از طرفین معادله انتگرال گیری نمائیم.
مثال) معادلات دیفرانسیل زیر را حل کنید.
(1
(2
(3
معادلاتی که به فرم هستند را می توان با تغییرمتغیر زیر تبدیل به فرم متغیرهای از هم جدا نمود. برای اینکه آن ها را حل کنیم:
مثال) معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید:
(1
جواب
(2
معادلات همگن: تابع f(x,y) را همگن از درجه n می گوئیم هر گاه
مثال) درجه همگنی تابع زیر را بدست آورید.
درجه همگن =3
(2
درجه همگنی=0
هر معادله دیفرانسیل به فرم را که در آن هر دو از درجه n باشند یک معادله دیفرانسیل همگن از درجه n می نامیم.
نکته : برای حل معادلات دیفرانسیل همگن از تغییر متغیرهای زیر استفاده می کنیم.
متغیرهای روبرو معادله دیفرانسیل همگن را به گونه ای تغییر می دهند که به کمک استفاده از روش متغیرهای از هم جدا قابل حل باشد.
مثال) معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.
(1
معادله همگن است.
(2
همگن از درجه 1
معادلات به فرم همگن نمی باشند ولی قابل تبدیل به معادلات همگن هستند. برای تبدیل چنین معادلاتی به معادلات همگن باید دو خط را به مبدأ انتقال دهیم یا مبدأ مختصات به مبل تلاقی دو خط منتقل کنیم . برای حل ابتدا محل تلاقی دو خط یعنی (x0,y0) را پیدا می کنیم و سپس باتغییر متغیرهای x=X+x0 و y=Y+y0 معادله را به فرم همگن تبدیل می کنیم. پس از اینکه معادله همگن شد با تغییر متغیرهای معادله دیفرانسیل را حل می کنیم.
مثال) معادله دیفرانسیل زیرا را حل کنید.
(1
X1=0
درجه همگنی
Arcton()-
اگر دو خط موازی باشند از تغییر متغیر u=ax+by و u=ex+hy برای حل معادله دیفرانسیل استفاده می کنیم.
مثال) معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.
تمرین :
(1
(2
(3
(4
(5
(6
(7
(8
(9
(10
معادلات دیفرانسیل کامل:
معادلاتی به فرم p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 را کامل می نامیم اگر مشتق تابع p نسبت به مشتق g: برای حل معادلات دیفرانسیل کامل جواب را به صورت تابع u(x,y) حدس می زنیم که
(1) یا (2)
روش حل معادلات دیفرانسیل کامل : برای حل معادلات دیفرانسیل کامل از معادله (1) تابع U را به دست می آوریم در تابع به دست آمده f(y) مجهول است برای به دست آوردن f(y) تابعu به دست آمده را به معادله اعمال می کنیم.
روش 2: تابع را به دست می آوریم و در تابع به دست آمده مقدار f(x) مجهول است برای به دست آوردن f(x) تابع u حاصل را به معادله اعمال می کنیم.
مثال) ثابت کنید معادله زیر کامل است و جواب آن را به دست آورید.
(شرط کامل بودن) مشتق کامل است.
معادله کامل است.
معادله اول
را به این معادله اعمال می کنیم.u
انتگرال
داخل معادله اول می گذاریم
مثال) معادله دیفرانسیل زیر را پس از اثبات کامل بودن آن حل کنید.
کامل است.
مثال) معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.
کامل است.
فاکتورهای انتگرال گیری (فاکتور انتگرال) : چنانچه معادله دیفرانسیل
کامل نباشد یعنی
ممکن است بتوان تابعی مانند را پیدا کرد. بطوریکه اگر این تابع در معادله دیفرانسیل به فرم فوق ضرب شود معادله دیفرانسیل کامل گردد. اگر با ضرب تابع F(x,y) در معادله دیفرانسیل معادله کامل شود این تابع را (F(x,y)) یک فاکتور انتگرال می نامیم.
مثال) کامل بودن معادله دیفرانسیل زیر را بررسی کنید. Xdy-ydx=0
کامل نیست
کامل است.
مثال) معادله دیفرانسیل زیر را با فاکتور انتگرال داده شده حل کنید.
در سمت چپ و راست حل می کنیم
کامل است.
معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول: اگر یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را بتوان به فرم
آنرا معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول می نامیم.چنانچه A(x)=0 باشد
می توان طرفین معادله فوق را بر A(x) تقسیم نمود. بنابراین فرم جدید آن بصورت زیر می شود.
اگر در معادله شماره (1) q(x)=0 باشد معادله دیفرانسیل را همگن و در غیراینصورت معادله دیفرانسیل را ناهمگن می نامیم.
حالت (1) : حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول در حالت همگن (یعنی Q(x)=0):
I
حالت (2) : جواب معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول ناهمگن به صورت زیر است:
مثال) معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول زیر را حل کنید.
مثال) شرط اولیه
هدف تعیین ثابت c موجود در معادله آخر است.
Y(0)=0
حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول ناهمگن به کمک روش تغییر پارامتر:
معادلات دیفرانسیل ناهمگن به فرم کلی روبرو می باشد . برای حل این معادلات به کمک روش تغییر پارامتر ابتدا فرض می کنیم که این معادلات دیفرانسیل همگن هستند. یعنی به حای حل معادله فوق معادله را حل می کنیم. حل این معادله منجر به جواب زیر خواهد شد. می باشد. چون جواب یک معادله در خود آن معادله صدق می کند لذا با اعمال جواب به معادله دیفرانسیل تابع c(x) تعیین می شود.
مثال) معادله دیفرانسیل زیر را به کمک روش تغییر پارامتر حل کنید.
تمرین 1: معادلات دیفرانسیل زیر را حل کنید.
(1
(3
(4
(5
(6
(7
تمرین 2: معادلات دیفرانسیل زیر را به کمک فاکتور انتگرال های داده شده حل کنید.
(1
جواب:
(2
جواب:
(3
جواب:
(4
جواب: xtan(xy)=c
معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم (حالت خطی): معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم را خطی می گوئیم هر گاه به صورت زیر باشد:
(1r(x)=0 همگن
(2r(x)0 ناهمگن
مثال) معادله دیفرانسیل را حل کنید.
2) جواب دارد.
قضیه: اگر ، یک جواب معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن باشد آنگاه طبق مثال قبل که c یک عدد ثابت
می باشد نیز یک جواب معادله دیفرانسیل خواهد بود. (مانند مثال قبل)
قضیه 2: اگر2 y و 1y دو جواب معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن باشند آنگاه y1+y2 نیز جواب معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم خواهد بود.
تذکر: چنانچه 2 y و 1y جوابهای معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن باشند آنگاه بر اساس قضایای (1) و (2) ، نیز یک جواب معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن خواهد بود.
تعیین جواب معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن : این معادلات دارای یک جواب عمومی به فرم yh(x) می باشند که به صورت زیر تعیین می شود برای تعیین جواب عمومی معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن باید معادله ای موسوم به معادله مفصر تشکیل داد. برای تشکیل معادله مضمر به جای مشتق دوم یعنی ، t2 و به جای مشتق اول یعنی و به جای y، مقدار یک قرار می دهیم، در اینصورت معادله دیفرانسیل به یک معادله درجه دوم تبدیل خواهد شد.
حالت اول) اگر معادله مضمر دارای دو ریشه حقیقی متمایز باشد یعنی جواب عمومی به فرم زیر خواهد بود:
مثال) جواب عمومی معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.
حالت دوم) اگر معادله مضمر دارای ریشه مضعف باشد یعنی
مثال) جواب عمومی معادله دیفرانسیل زیر را به دست آورید: