دانلود مقاله آنالیز پروفایل میدان

روش طیف زاویه ای :

نظریه اساسی روش طیف زاویه چنین بیان می شود که میدان در صفحه داده شده را می توان بصورت یک توزیع زاویه ای از امواج صفحه ای نشان داد . اگرچه چنین روشی برای برخی مسائل خاص بسیار پیچیده تر از روش انتگرالی است ، ولی بایستی در نظر داشته باشیم که بعنوان مثال مسأله تعیین تفرق از یک جسم کروی و یا سیلندر نامحدود از طریق موج صفحه ای بسیار ساده تر حل می شود . بنابراین با توصیف الگوی تابش از یک مبدل با استفاده از توزیع زاویه ای امواج صفحه ای کل مسأله تعیین میدان متفرق شده از یک سیلندر یا کره حل می شود .

طیف مکانی یک مبدل پیستونی :

یک مبدل پیستونی با شعاع a و در صفحه  در نظر می گیریم . دامنه مؤلفه نرمال سرعت سطحی را با  نشان داده و فرض می کنیم که در سطح مبدل ثابت و در سایر نقاط خارج صفحه سرعت صفر می باشد .

ر این صورت چنین توزیع متقارن استوانه ای را می توان با  بیان کرد که در آن برای  و در سایر نقاط صفر است .

عبارت طیف زاویه ای پتانسیل سرعت را برای یک مبدل پیستونی می توان به صورت زیر بیان نمود .

که در آن  . و حال از تقارن استوانه ای جهت تبدیل نسبت ها استفاده می کنیم :

(1.‌3)

بنابراین طیف زاویه ای را می توان بصورت زیر نوشت :

با استفاده از تابع سبل این عبارت به فرم زیر کاهش می یابد :

که  یک تابع استوانه ای سبل از مرتبه صفر می باشد . همچنین این تابع را می‌توان بصورت تابع  از  شناسایی کرد . برای یک دیسک با شعاع a و تحریک شده بصورت یکنواخت نیز طیف بصورت زیر می باشد :

(2،3)

طیف زاویه ای در مختصات کروی :

جهت بدست آوردن عبارت طیف زاویه ای در مختصات کروی ، نیاز به استفاده از تبدیل نسبتها می باشد :

(5.‌3)

نکته قابل ذکر اینکه وقتی  می باشد  یک مؤلفه موهومی خواهد بود ، که در این صورت زاویه  نیز مختلط خواهد شد . بنابراین می توان نشان داد که :

(6.‌3)

در این صورت تابع چگالی طیف بصورت زیر تعریف می شود :

(7.‌3)

که  و  . بنابراین کانتورها بر روی صفحه مختلط  ، که با استفاده از تئوری انتگرال Cauchyانتخاب شده است ، برای محور حقیقی از  و برای محور موهومی از0 تا  می باشد . با در نظر گرفتن تابع سبل و روابط قبلی و  ، طیف زاویه ای را بصورت زیر می توان نشان داد :

(8.‌3)

که در شکل (2.‌3) برای مقادیر حقیقی  یعنی مولفه های همگن نشان داده شده است.

پروفایل میدان :

پروفایل فشار میدان را می توان با در نظر داشتن اینکه  متقارن استوانه ای است ، درک نمود . بنابراین در مختصات استوانه ای () ، فشار را می توان بصورت  نوشت .

با ترکیب روابط (6.‌3) و (8.‌3)و در نظر داشتن فشار فشار  چنین بدست می آید :

با استفاده از تابع سبل استاندارد عبارت بالا را می توان به صورت زیر نوشت :

با در نظر گرفتن  و  ، که  قسمت موهومی  می باشد ، عبارت بالا بصورت زیر در می آید :

(9.‌3)

که ترم های اول و دوم بترتیب معادل مولفه‌های همگن و ناپایدار می باشند . ارزیابی این معادله نشان می دهد که مؤلفه ناپایدار اثر بسیار مهمی بر روی پروفایل میدان نزدیک مبدل دارد ، و بعد از آن قابل صرفنظر است .

این اثر برای مبدل با شعاع   در شکل 3.‌3 نشان داده شده است.

روش تبدیل فوریه :

نکته قابل توجه و مهم در محاسبه پروفایل میدان ، قابلیت محاسبه پروفایل بر روی صفحه ای دیگر غیر از صفحه داده شده از میدان داده شده می باشد . این قضیه با حل دو مثال از مبدل دیسکی دایره‌‌ای که بصورت یکنواخت تحریک می شود ، بیان می گردد .

رش آنالیتیکال :

در صورت تعیین میدان مؤلفه ناپایدار می تواند حذف شود و محاسبه به جذب طیف زاویه ای بر روی صفحه معین و شناخته شده و تابع تبدیل فرکانس مکانی می انجامد و سپس بهبود الگوی میدان با تبدیل معکوس بدست می آید . محاسبات با استفاده از تابع تبدیل فرکانس مکانی مبدل پیستونی آغاز می شود .

(10.‌3)

(11.‌3)

S طیف زاویه ای و H تابع تبدیل فرکانس مکانی از صفحه  به صفحه z می باشد . برای یک مبدل دیسکی با شعاع a  و تحریک شده بصورت یکنواخت ، بر روی صفحه z ، با استفاده از روابط (3.‌3) ، (10.‌3) و (11.‌3) داریم :

(12.‌3)

بنابراین تبدیل فوریه معکوس z-D طیف فرکانسی با استفاده از معادلات تبدیل مختصات در (1.‌3) و در نظر داشتن تبدیل فوریه معکوس z-D برای پتانسیل سرعت پایه ریزی می شود . سپس مراحل ذکر شده در قسمت 1.‌1.‌3 با توجه به  اجرا شده و پتانسیل سرعت بصورت زیر ساده می شود .

(13.‌3)

حد بالای انتگرال برای خارج نمودن و حذف مؤلفه ناپایدار از محاسبه انتخاب شده است . بنابراین فشار بصورت زیر تعریف می شود .

(14.‌3)

این عبارت بر روی محور (on-axis) بصورت زیر ساده می شود .

(15.‌3)

شکل a.4.‌3 فشار میدان ر ا بر روی محور و شکل b.4.‌3 با استفقاده از رابطه (14.‌3) نشان می دهد.

تبدیل فوریه دوبعدی عددی :

در ثال قسمت قبل تقارن استوانه ای مبدل دیسکی اجازه می دهد تا پروفایل میدان بصورت عددی از یک انتگرال ارزیابی شود .برای مبدلهای پیچیده تر و بدون تقارن نیز می توان از روش طیف زاویه ای استفاده کرد ، ولی بایستی از تبدیل فوریه دوبعدی بهره جست . مطابق بخش 3.‌3.‌2 ، برای توزیع سرعت داده شده بر روی صفحه z=0 ، مراحل زیر را باید طی نمود :

(1) اعمال 2-DFFT سرعت بر روی صفحه منبع .

(2) ضرب این عبارت در تابع تبدیل H.

(3) گرفتن ZD-FFF معکوس .

این مراحل بصورت زیر خلاصه می شود :

(16.‌3)

که  و  تبدیل فوریه و تبدیل فوریه معکوس می باشند .

روش های انتگرالی :

استفاده مستقیم از انتگرال ریلی به ارزیابی عددی انتگرال دوگانه بر روی سطح مبدل نیاز دارد . یک روش محاسبه ساده تر در سال 1941 توسط Schoch با تبدیل انتگرال سطحی ریلی به انتگرال خطی بر روی لبه مبدل ارائه شد . این روش برای تحریک پیوسته و مبدل صفحه‌ای با هر شکل دلخواه ، جهت بدست آوردن توزیع فشار میدان در محیط داخل و خارج مبدل استفاده می شود .

شرط مرزی Rigid Baffle

در شکل 6.‌3 ، یک نقطه از میدان یک مبدل صفحه ای با شکل دلخواه نشان داده شده است ، فرض می شود تحریک بصورت یکنواخت و پیوسته سینوسی باشد بطوریکه مؤلفه نرمال سرعت سطح صورت  بوده و فشار بصورت  تعریف می شود . فازور فار در نقطه مشاهده بصورت زیر تعریف می شود :

(17.‌3)

که در آن المان سطحی  می باشد .

(18.‌3)

که   موقعیت مرزی و مقادیر دیگر بر روی شکل (6.‌3) نشان داده شده است .

داریم ،  ، بنابراین (18.‌3) به فرم زیر تبدیل می شود :

(19.‌3)

این عبارت شامل دو ترم می باشد موج صفحه ای () و ترم تفرق که از محیط اطراف منشأ می گیرد (موج لبه ای)

 و  متعاقباً یکروش مشابهی را در آنالیز پاسخ میدان مبدل دایره ای صفحه ای ارائه دادند که کلی تر از آنها نشاندادند که پتانسیل سرعت برای یک دیسک با شعاع a شکل (7.‌3) بصورت زیر بدست می آید :

(20.‌3)

که در آن  تابع پله هویساد می باشد و  .

 در سال 1961 بر اساس نظریه Schoch به ارائه یک روش کلی تر برای مبدل صفحه ای با شکل دلخواه و تحریک شده با شکل موج دلخواه برای تولید سرعت  بر روی سطح مبدل (بدون apodization) پرداختند .

Cathignol و همکارانش یک روش ساده تر و عمومی تر برای آنالیز میدان حاصل از مبدلهای مقعر و محدب پیشنهاد دادند . برای نقطه مشاهده نشان داده شده در شکل (6.‌3) فشار بصورت زیر بیان می شود :

(a21.‌3)