دانلود تحقیق حرکت در دو بعد

مبحث اصلی.

حرکت در دو بعد: محور های مختصات(هم پایه) و جابجایی(جایگزینی) در ادامه به بررسی حرکت کلی تری که تنها در طول خط مستقیم رخ نمی دهد می پردازیم.

مثالی در شکل 1-3 آمده است.

در این مثال توپی با زاویه A از خط افقی پرتاب می شود.

حرکت توپ در سطح هموار رخ می دهد و مسیر پرتابی آن در هوا به شکل سهمی است.

برای توصیف جایگاه(مکان) توپ به دو محور مختصات x و y همان طور که در شکل داریم نیاز است.

در اینجا مبدا مختصات مکانی است که حرکت توپ به سمت بالا(+y) است.

البته می توان جایگاه محورها را در نقاط دیگر در نظر گرفت.

محورهای مختصات توپ(x و y) دو مولفه بردار جابجایی یعنی r هستند.

همان طور که توپ حرکت می کند بردار جابجایی تغییر می کند.

در شکل(b)2-3 تغییر مکان شنی نشان داده شده است.

بردار جابجایی از r1 به r2 تغییر می کند بنابراین داریم .

مولفه های هستند.

2-1-3 سرعت و شتاب در فصل قبل تنها یکی از مختصات ها با زمان تغییر می کرد در این بخش y,x با زمان تغییر می کنند.

در بازه زمانی دو بردار تغییر دارد.

در اینجا می توان به بررسی نسبت به و نسبت به پرداخت.

این نسبت ها سرعت های میانگین y,x در بازه زمانی هستند: (1-3) در فیزیک رقم قابل توجه سرعتهای لحظه ای y,x است.

این سرعت ها زمانی محاسبه می شود که بازه زمانی بسیار کم باشد: ( کوچک) ( کوچک) (2-3) این معادلات سرعت های y,x را به شکل vy , vx در نقطه خاصی از زمان تعریف می کنند.

این سرعت ها با زمان تغییر کرده و میزان تعییر آنها به ترتیب شتاب y,x است.

Vx و vy مولفه های x- و y- بردار سرعت هستند.

بزرگی بردار سرعت سرعت(لحظه ای) ذره است.

(3-3) سرعت همیشه مقدار مثبتی دارد و واحد آن m/s است.

شتاب لحظه ای y,x برابر است با( کوچک) ( کوچک) (4-3) و ay , ax مولفه های x- و y- بردار شتاب هستند.

در واقع معادلات داده شده معادلات جدیدی نیستند.

نکته جدید ما این معادلات سرعت و شتاب بردارهای y,x را به طور مجزا تعریف می کنیم و در حل معادله دو بردار را در نظر می گیریم بنابراین مسئله پیچیده تر می شود.

13-3 حرکت با شتاب ثابت علاوه بر بررسی حرکت دو بعدی در این بخش مسئله دو مولفه ثابت شتاب هم مطرح می شود.

دو مولفه سرعت به طور هماهنگ با زمان تغییر می کنند.

فرض کنید در زمان t=0 مولفه های سرعت vy , vx برابر با vox و voy(مقدار اولیه مولفه های سرعت) هستند.

بنابراین میزان vy , vx برابر است با Vx=vox+axt vy=voy+ayt به خاطر این تساوی ها مشابه هستند اما در اصل بسیار متفاوتند زیرا voy, vox,ay, ax مقادیر متفاوتی دارند.

اگر بخواهیم مقدار بردارهای y,x را در زمان t(t=0 , x=0 , y=0) بدست آوریم از فرمول های زیر استفاده می کنیم: (6-3) در حالت تک بعدی معادله مربوط به x,a,v مقدار t وجود ندارد: 4-1-3 سقوط آزاد؛ مسائل پرتابه زمانی که شی ای در نزدیکی سطح زمین آزادانه حرکت می کند(به عنوان مثال پرتاب یا رها شده است) شتاب رو به پایین بر آن وارد می شود.

بنابراین اگر محور y به سمت بالا باشد داریم: در اینجا شتاب افقی صفر است.

اما شتاب عمومی –g است.

در اینجا علامت g نشان دهنده m/s280/9+ است.

از آنجا که شتاب افقی صفر است مولفه x سرعت در طول حرکت ثابت می ماند.

به عنوان مثال در طول حرکت پرتابه داریم vx=vox 5-1-3 پرتابه زمین به زمین در این بخش به بررسی مورد خاصی از پرتابه می پردازیم.

در اینجا حرکت پرتابه در یک ارتفاع(ارتفاع مشابه) شروع شده و پایان می گیرد.

بعد به نتایج جالبی می رسیم.

نکته مهم این است که اگر پرتابه ای داشته باشیم که ارتفاع آغازین و پایانی آن یکسان نباشد نمی توان از نتایج بدست آمده استفاده کرد.

مشتقات این معادلات پیچیده است با این حال نتایج بدست آمده جالب توجه هستند.

همان طور که در شکل 3-3 می بینید حرکت پرتابه از سطح زمین با زاویه به سمت بالا با سرعت v0 آغاز می شود.

پرتابه بالا رفته و بعد از مدتی به سمت پایین حرکت می کند و در همان سطح افق به زمین می رسد.

می خواهیم بدانیم زمان سپری شده، مسافت افقی طی شده توسط پرتابه(دامنه R) و حداکثر ارتفاع(H) چقدر است.

با توجه به زندگی و مسیر بردار سرعت اولیه V0 داریم: ابتدا این سوال مطرح می شود: مدت زمان حرکت چقدر است؟

و در چه زمانی y=0 می شود.

از آنجا که ay=-g و با توجه به معادله 6-3 داریم: در اینجا دو احتمال وجود دارد: یا t=0 اولین احتمال پاسخ درست است اما پاسخ مدنظر ما نیست.

دومین احتمال زمان برخورد پرتابه را به ما می دهد.

(8-3) برای پیدا کردن دامنه R این سوال مطرح می شود.

میزان x در زمان برخورد چیست؟

با توجه به معادله 8-3 و 6-3(برای پرتابه ax=0) داریم: (9-3) (10-3) (11-3) می توان معادله با استفاده از فرمول مثلثات به صورت زیر ساده کرد: (12-3) دو نکته مهم این راه حل عبارتند از: 1) اگر سرعت v0 را که حرکت پرتابه با آن آغاز شده داشته باشیم برای داشتن بیشترین دامنه می توان زاویه را در نظر گرفت.

علت این است که زاویه ْ45 بالاترین میزان را دارد.

2) با داشتن سرعت اولیه اگر حرکت پرتابه در هر یک از دو زاویه مکمل آغاز شود R یکسان خواهد بود.(به عنوان مثال دارای R مشابه هستند.

علت این است که برای زاویه های مکمل مشابه است.

در ادامه به یافتن ارتفاع ماکزیمم می پردازیم.

زمانی که سرعت y- صفر باشد پرتابه به حداکثر ارتفاع و مسیره است(پرتابه در این حالت حرکت رو به بالا یا رو به پائین در این نقطه ندارد) بنابراین با استفاده از معادله 5-3 داریم: که در واقع نصف زمان کل پرتاب است.

بنابراین پرتابه همان میزانی که حرف بالا رفتن می کند حرف پائین آمدن هم می کند.

حداکثر ارتفاع میزان y در این زمان است.

با استفاده از معادله 6-3 و تساوی ay=-g داریم: بنابراین حداکثر ارتفاع برابر است با: در آخر می توان شکل مسیر پرتابی را پیدا کرد.

برای این منظور باید به رابطه y,x توجه کرد.

با جایگزین کردن میزان t در معادله y داریم: (15-3) نکته مهم این معادله این است که در یک طرف معادله y و در طرف دیگر x , x2 داریم.

بنابراین با توجه به اطلاعات شما در مورد هندسه می توان گفت شکل حرکت پرتابه سهمی است.

نکته مهم این معادله این است که در یک طرف معادله y و در طرف دیگر x , x2 داریم.

2-3 مثال های مورد استفاده 1-2-3 سرعت و شتاب 1) دلفینی با زاویه ْ35 از سطح افق از آب بیرون می پرد.

مولفه افقی سرعت دلفین 7/7 است.

میزان مولفه عمودی سرعت چیست؟

بردار سرعت دلفین در شکل 4/3 رسم شده است.

مولفه عمودی سرعت vy است.

با توجه به معادلات مثلثات داریم.

بنابراین مولفه عمومی سرعت 4/5 است.

2-2-3 حرکت با شتاب ثابت 2) در فضاپیمایی دو موتور در s684 در زمانی که مولفه های y,x برای سرعت است روشن می شوند.

در حین روشن شدن موتورها فضاپیما جابجایی ای با دارد.

مولفه های y=x شتاب چقدر است؟

در مورد شتاب ثابت جابجایی به سرعت و شتاب اولیه مربوط می شود(معادله 6-3).

برای جابجایی x داریم برای جابجایی y هم به همین ترتیب عمل می کنیم: بنابراین شتاب فضاپیما مولفه های زیر را دارد: 3-2-3 سقوط آزاد مسائل پرتابه 3) به توپ تنیس به گونه ای ضربه وارد می شود که از راکت با سرعت m/s2800 به طور افقی جدا می شود.

و بعد از طی مسافت m6/19 در زمین فرود می آید.

ارتفاع توپ در زمان جدا شدن از راکت چقدر است.

در شکل 5-3 مسیر حرکت در مولفه ها رسم شده است.

ابتدا باید زمان برخورد توپ با زمین را بیابیم.

میدانیم که در زمان برخورد به زمین m6/19=x است.

از معادله 6-3 داریم: در اینجا سرعت اولیه x- برابر با v0x=28/0 m/s و ax=0 است.

حال این سوال مطرح می شود که: y در این زمان چند است؟

پاسخ میزان ارتفاع را نشان می دهد.

سرعت توپ در آغاز حرکت کاملا افقی است بنابراین v0y=0 و ay=-9/80m/s2 با توجه به معادله 6-3 داریم: در اینجا به علت اینکه در زمان برخورد توپ به زمین از مثال اولیه y=0 به سمت پائین حرکت کرده میزان y منفی بدست می آید.

اما در پاسخ به سوال می گوئیم ارتفاع اولیه توپ m4/2 است.

4) توپ گلفی با سرعت اولیه m/s4/11 در سطح افق حرکت می کند.

و از ارتفاع m5/15 در دریاچه سقوط می کند.

a) چه مدت زمانی توپ در هوا بوده است؟

b) سرعت v توپ درست قبل از برخورد به سطح آب چقدر است؟

a) شکل توپ و مسیر حرکت آن در شکل 6-3 رسم شده است.

محور y رو به بالا است بنابراین سطح آب در m5/15- =y قرار دارد.

سرعت اولیه توپ v0x=11/4m/s است اما سرعت اولیه y برابر با 0 است.

v0y=0 برای پاسخ بخش اول شرایط برخورد توپ با سطح آب را در نظر می گیریم.

با توجه به y=-15/5m و با استفاده از معادله 6/3 ay=-g داریم: b) با داشتن دو مولفه سرعت در زمان برخورد توپ با آب می توان سرعت را در معادله 3-3 بدست آورد: در اینجا شتاب x- وجود ندارد بنابراین vx ثابت می ماند: vx=11/4m/s با استفاده از پاسخ قسمت اول و معادله 6-3 داریم: Vy=0+(-9/8m/s2)(1/8s)=-17/4m/s بنابراین سرعت توپ در لحظه برخورد برابر است با: 5) تفنگی به حالت افقی شلیک می شود.

سرعت اولیه گلوله m/s670 است.

لوله تفنگ مستقیما به سمت مرکز هدف است.

اما گلوله m025/0 پایین تر از مرکز اصابت می کند.

فاصله افقی میان انتهای تفنگ و مرکز هدف چقدر است؟

شکل 7-3 حرکت گلوله را نشان می دهد.

در حالی که تفنگ مستقیما به سمت مرکز قرار گرفته گلوله بعد از طی مسافتی به گذشت زمان حرکت رو به پایین دارد.

گلوله به شکل افقی شلیک شده است.

بنابراین V0x=670m/s v0y=0 در زمان برخورد گلوله با هدف y=-0/025m با استفاده از معادله 6-3 داریم: فاصله تا هدف میزان x در زمان اصابت گلوله است.

با استفاده از معادله 6-3 داریم: x=(670m/s)(7/1*10-3s)=48m 6) هواپیمایی با سرعت m/s90 در ارتفاع m3100 در خط افق در حال پرواز است.

بسته ای از هواپیما به بیرون پرتاب می شود و به زمین برخورد می کند.

در چه فاصله ای بسته به زمین می رسد به(مقاومت هوا نادیده گرفته می شود) شکل 8-3 مسیر حرکت را نشان می دهد.

بسته در مسیر منحنی حرکت کرده به زمین می رسد.

به علت آنکه بسته از درون هواپیما رها شده است در آغاز سرعت محیط(هواپیما) را به خود می گیرد.

پس سرعت اولیه بسته m/s90 است.

بعد از آن به حالت سقوط آزاد درآمده و سرعت آن به علت شتاب جاذبه تغییر می کند.

در لحظه برخورد بسته از نقطه رها شدن به اندازه R حرکت کرده است.

سرعت اولیه بسته تنها مولفه افقی دارد: مسافت R میزان مولفه x در این زمان است.

7) به توپ گلفی با سرعت m/s35 در زاویه ْ50 ضربه وارد می شود و به سمت دیواری که در فاصله m80 قرار دارد حرکت می کند.

a) در چه ارتفاعی توپ به دیوار برخورد می کند.

b) سرعت توپ در لحظه برخورد چیست؟

c) در زمان برخورد توپ به سمت بالا حرکت می کند یا به سمت پائین.

a) شکل 9-3 مسیر حرکت را نشان می دهد.

با توجه به شکل می توان گفت توپ بعد از برخورد به سمت پائین حرکت می کند اما علت آن چیست؟

مولفه های سرعت اولیه توپ را بدست می آوریم: مولفه y را در مکان برخورد توپ با دیوار نداریم اما x=80m است.

می توان در ابتدا زمان برخورد توپ با دیوار را بدست آورد.

با استفاده از معادله 6-3 و ax=0 داریم: حالا مقدار y را در این زمان بدست می آوریم با استفاده از معادله 6-3 و ay=-9/8m/s2 داریم.

بنابراین توپ در ارتفاع m3/33 به دیوار برخورد می کند.

b) با استفاده از معادله 5-3 مولفه سرعت در زمان برخورد را بدست می آوریم.

در اینجا برای پرتابه شتاب x- نداریم.

vx برابر با m/s5/22 است: سرعت V توپ برابر با بردار سرعت است بنابراین: c) در قسمت b گفتیم که مولفه y سرعت در زمان برخورد منفی است.

بنابراین توپ به حداکثر ارتفاع خود رسیده و حداکثر ارتفاع جایی است که در آن vy=0 است بنابراین توپ در لحظه برخورد پائین می آید.

8) شوت زننده تیم فوتبال سعی دارد به گونه ای به توپ ضربه بزند که توپ تا مدتی در هوا معلق بماند.

اگر سرعت اولیه توپ m/s25 با زاویه ْ60 از سطح زمین باشد زمان تعلیق چقدر است؟

در فوتبال توپ از زمین جدا شده و دوباره به زمین برمی گردد بنابراین در اینجا با مسائل پرتابه بخش حرکت زمین به زمین سرو کار داریم.

در معادله 8-3 زمان حرکت را با توجه به سرعت اولیه و زاویه اولیه بدست آوردیم: 9) شرکت کننده بخش پرسش مسابقات المپیک سطح زمین را با زاویه ْ23 ترک کرده و مسافت افقی m7/8 را قبل از فرود طی می کند.

سرعت پرسش او چقدر است؟

هر چند که فرد شرکت کننده یک شی کوچک نیست اما برای حل مسئله او را همچون جسمی در نظر می گیریم که از سطح زمین حرکت را آغاز کرده است و بعد از پرسش و طی مسافتی در هوا فرود آمده است.

(شکل 10-3) بنابراین مسئله مشابه حرکت پرتابه ای است که ارتفاع آغاز و پایین آن مشابه است.

با کمک معادله 12-3 داریم: