دانلود تحقیق حرکت در دو بعد

مبحث اصلی.

 حرکت در دو بعد: محور های مختصات(هم پایه) و جابجایی(جایگزینی)

در ادامه به بررسی حرکت کلی تری که تنها در طول خط مستقیم رخ نمی دهد می پردازیم. مثالی در شکل 1-3 آمده است. در این مثال توپی با زاویه A از خط افقی پرتاب می شود. حرکت توپ در سطح هموار رخ می دهد و مسیر پرتابی آن در هوا به شکل سهمی است. برای توصیف جایگاه(مکان) توپ به دو محور مختصات x و y همان طور که در شکل داریم نیاز است. در اینجا مبدا مختصات مکانی است که حرکت توپ به سمت بالا(+y) است. البته می توان جایگاه محورها را در نقاط دیگر در نظر گرفت. محورهای مختصات توپ(x و y) دو مولفه بردار جابجایی یعنی r هستند. همان طور که توپ حرکت می کند بردار جابجایی تغییر می کند. در شکل(b)2-3 تغییر مکان شنی نشان داده شده است. بردار جابجایی از r1 به r2 تغییر می کند بنابراین داریم . مولفه های  هستند.

2-1-3 سرعت و شتاب

در فصل قبل تنها یکی از مختصات ها با زمان تغییر می کرد در این بخش y,x با زمان تغییر می کنند. در بازه زمانی  دو بردار تغییر دارد. در اینجا می توان به بررسی نسبت  به  و نسبت  به  پرداخت. این نسبت ها سرعت های میانگین y,x در بازه زمانی  هستند:                            (1-3)

در فیزیک رقم قابل توجه سرعتهای لحظه ای y,x است. این سرعت ها زمانی محاسبه می شود که بازه زمانی بسیار کم باشد:

( کوچک)                           ( کوچک)                      (2-3)

این معادلات سرعت های y,x را به شکل vy , vx در نقطه خاصی از زمان تعریف می کنند. این سرعت ها با زمان تغییر کرده و میزان تعییر آنها به ترتیب شتاب y,x است. Vx و vy مولفه های x- و y- بردار سرعت هستند. بزرگی بردار سرعت سرعت(لحظه ای) ذره است.                                                          (3-3)

سرعت همیشه مقدار مثبتی دارد و واحد آن m/s است. شتاب لحظه ای y,x برابر است با( کوچک)               ( کوچک)           (4-3)

و ay , ax مولفه های x- و y- بردار شتاب هستند. در واقع معادلات داده شده معادلات جدیدی نیستند. نکته جدید ما این معادلات سرعت و شتاب بردارهای y,x را به طور مجزا تعریف می کنیم و در حل معادله دو بردار را در نظر می گیریم بنابراین مسئله پیچیده تر می شود.

13-3 حرکت با شتاب ثابت

علاوه بر بررسی حرکت دو بعدی در این بخش مسئله دو مولفه ثابت شتاب هم مطرح می شود. دو مولفه سرعت به طور هماهنگ با زمان تغییر می کنند. فرض کنید در زمان t=0 مولفه های سرعت vy , vx برابر با vox و voy(مقدار اولیه مولفه های سرعت) هستند. بنابراین میزان vy , vx برابر است با

Vx=vox+axt                      vy=voy+ayt

به خاطر این تساوی ها مشابه هستند اما در اصل بسیار متفاوتند زیرا voy, vox,ay, ax مقادیر متفاوتی دارند. اگر بخواهیم مقدار بردارهای y,x را در زمان t(t=0 , x=0 , y=0) بدست آوریم از فرمول های زیر استفاده می کنیم:

 (6-3)

در حالت تک بعدی معادله مربوط به x,a,v مقدار t وجود ندارد:

4-1-3 سقوط آزاد؛ مسائل پرتابه

زمانی که شی ای در نزدیکی سطح زمین آزادانه حرکت می کند(به عنوان مثال پرتاب یا رها شده است) شتاب رو به پایین  بر آن وارد می شود. بنابراین اگر محور y به سمت بالا باشد داریم:                      

در اینجا شتاب افقی صفر است. اما شتاب عمومی –g است.

در اینجا علامت g نشان دهنده m/s280/9+ است. از آنجا که شتاب افقی صفر است مولفه x سرعت در طول حرکت ثابت می ماند. به عنوان مثال در طول حرکت پرتابه داریم vx=vox

5-1-3 پرتابه زمین به زمین

در این بخش به بررسی مورد خاصی از پرتابه می پردازیم. در اینجا حرکت پرتابه در یک ارتفاع(ارتفاع مشابه) شروع شده و پایان می گیرد. بعد به نتایج جالبی می رسیم. نکته مهم این است که اگر پرتابه ای داشته باشیم که ارتفاع آغازین و پایانی آن یکسان نباشد نمی توان از نتایج بدست آمده استفاده کرد. مشتقات این معادلات پیچیده است با این حال نتایج بدست آمده جالب توجه هستند. همان طور که در شکل 3-3 می بینید حرکت پرتابه از سطح زمین با زاویه  به سمت بالا با سرعت v0 آغاز می شود. پرتابه بالا رفته و بعد از مدتی به سمت پایین حرکت می کند و در همان سطح افق به زمین می رسد. می خواهیم بدانیم زمان سپری شده، مسافت افقی طی شده توسط پرتابه(دامنه R) و حداکثر ارتفاع(H) چقدر است. با توجه به زندگی و مسیر بردار سرعت اولیه V0 داریم:

ابتدا این سوال مطرح می شود: مدت زمان حرکت چقدر است؟ و در چه زمانی y=0 می شود. از آنجا که ay=-g و با توجه به معادله 6-3 داریم:

در اینجا دو احتمال وجود دارد:    یا t=0

اولین احتمال پاسخ درست است اما پاسخ مدنظر ما نیست. دومین احتمال زمان برخورد پرتابه را به ما می دهد.                  (8-3)

برای پیدا کردن دامنه R این سوال مطرح می شود. میزان x در زمان برخورد چیست؟ با توجه به معادله 8-3 و 6-3(برای پرتابه ax=0) داریم:

          (9-3)

                                               (10-3)

                  (11-3)

می توان معادله با استفاده از فرمول مثلثات به صورت زیر ساده کرد:

               (12-3)

دو نکته مهم این راه حل عبارتند از:

1) اگر سرعت v0 را که حرکت پرتابه با آن آغاز شده داشته باشیم برای داشتن بیشترین دامنه می توان زاویه  را در نظر گرفت. علت این است که زاویه ْ45 بالاترین میزان  را دارد.

2) با داشتن سرعت اولیه اگر حرکت پرتابه در هر یک از دو زاویه مکمل آغاز شود R یکسان خواهد بود.(به عنوان مثال  دارای R مشابه هستند. علت این است که برای زاویه های مکمل  مشابه است. در ادامه به یافتن ارتفاع ماکزیمم می پردازیم. زمانی که سرعت y- صفر باشد پرتابه به حداکثر ارتفاع و مسیره است(پرتابه در این حالت حرکت رو به بالا یا رو به پائین در این نقطه ندارد) بنابراین با استفاده از معادله 5-3 داریم:

که در واقع نصف زمان کل پرتاب است. بنابراین پرتابه همان میزانی که حرف بالا رفتن می کند حرف پائین آمدن هم می کند.

حداکثر ارتفاع میزان y در این زمان است. با استفاده از معادله 6-3 و تساوی ay=-g داریم:

بنابراین حداکثر ارتفاع برابر است با:

در آخر می توان شکل مسیر پرتابی را پیدا کرد. برای این منظور باید به رابطه y,x توجه کرد.

با جایگزین کردن میزان t در معادله y             

داریم:     (15-3)                                     

نکته مهم این معادله این است که در یک طرف معادله y و در طرف دیگر x , x2 داریم. بنابراین با توجه به اطلاعات شما در مورد هندسه می توان گفت شکل حرکت پرتابه سهمی است.