دانلود مقاله تاریخ ریاضی آغاز در اروپا

بخش شرقی امپراطوری روم همواره، چه از لحاظ اقتصادی و چه از نظر فرهنگی، پیشرفته ترین بخش آن امپراطوری بود.

اقتصاد بخش غربی هرگز بر اساس آبیاری استوار نبود، کشاورزی بخش غربی به گونه ای گسترده بود که انگیزه ای برای مطالعه نجوم فراهم نمی آورد.

در واقع غرب با اندکی نجوم، کمی حساب عملی، و کمی دانش اندازه گیری که تکافوی تجارت و مساحی را می کرد، از عهده کارهای خود به خوبی برمی آمد، اما انگیزه اعتلای این علوم از شرق نشات گرفت.

زمانی که شرق و غرب از نظر سیاسی از هم جدا شدند، این انگیزه نیز تقریبا از میان رفت.

تمدن ایستای امپراطوری روم غربی، قرن های متمادی، با اندک وقفه و دگرگونی، ادامه یافت، وحدت مدیترانه ای تمدن قدیمی نیز بدون تغییر باقی ماند و حتی فتوحات وحشیانه نیز اثر چندانی بر آن نداشت.

در قلمرو پادشاهی های ژرمنی شاید به استثنای پادشاهی های بریتانیایی، شرایط اقتصادی، نهادهای اجتماعی، و حیات فکری، اساسا به همان نحوی باقی ماند که در اوان افول امپراطوری روم بود، اساس زندگی اقتصادی کشاورزی بود که به تدریج در آن کشاورزان آزاد و سهم بر جانشین بردگان شدند، اما علاوه بر این، شهرهای پر رونق و تجارت بزرگ همراه با اقتصاد پولی وجود داشت.

پس از سقوط امپراطوری غربی در سال 476، قدرت مرکزی در دنیای یونانی رومی، بین امپراطور قسطنطنیه و پاپ های روم تقسیم شد.

کلیسای کاتولیک غرب از طریق نهادها و زبان خود در حدی که می توانست سنت فرهنگی امپراطوری رومی را در میان قلمروهای ژرمنی ادامه داد.

صومعه ها و عامه مردم با فرهنگ بخشی از تمدن یونانی رومی را زنده نگاه داشتند.

یکی از این مردم عامه، آنیسیوس مانلیوس سورینوس بوئتیوس (Anicius Manlius Severinus Boetius) که سیاستمدار و فیلسوف بود، متونی ریاضی به رشته تحریر درآورد که بیش از هزار سال در جهان غرب اعتبار داشت.

این متون منعکس کننده شرایط فرهنگی آن زمان هستند، که دارای محتوای فقیری بودند و بقای آنها احتمالا متاثر از این باور بود که مولف در سال 524 بر سر ایمان کاتولیکی خود به شهادت رسید.

کتاب وی به نام آموزش حساب ( Institutio arithmetica ) که ترجمه ای سطحی از نیکوماخوس است، بخشی از نظریه اعداد فیثاغورثی را عرضه می کرد که در آموزش قرون وسطایی به عنوان قسمتی از معارف سه گانه و چهار گانه کهن، حساب، هندسه، نجوم و موسیقی جذب شده بود.تعیین زمانی که اقتصاد امپراطوری روم قدیم در غرب از میان رفت و جای خود را به سامان جدید فئودالی داد، دشوار است.

فرضیه ه.

پیرن ( H.

Pirenne ) که بنابر آن پایان دنیای کهن غرب با گسترش اسلام قرین بود، می تواند پرتوی بر این مساله بیفکند.

اعراب همه ایالت های سواحل شرقی و جنوبی مدیترانه را از چنگ امپراطوری بیزانیس خارج کردند و مدیترانه شرقی را به صورت یک دریاچه بسته اسلامی درآوردند.

آنها روابط بازرگانی میان خاور نزدیک و غرب مسیحی را تا چندین قرن سخت دشوار ساختند.

مجرای فکری بین دنیای عرب و بخش های شمالی امپراطوری پیشین روم، گرچه کاملا مسدود نگشت، اما تا چندین قرن با مانع روبرو بود.

بعدها در سرزمین گل فرانک و دیگر بخش های پیشین امپراطوری روم، اقتصاد بزرگ مقیاس از بین رفت، زوال شهرها آغاز شد، جمع عوارض قابل وصول ناچیز شد.

معاملات تهاتری و بازار محلی جای اقتصاد پولی را گرفت.

سخن کوتاه: اروپای غربی به وضعیتی نیمه بربری سقوط کرد.

با افول تجارت، اشرافیت زمین دار اهمیت پیدا کرد، زمینداران فرانکی شمال، به سر کردگی کارولنژین ها ( Carolingians ) قدرت حاکم سرزمین فرانک ها شدند.

مرکز اقتصادی و فرهنگی به شمال فرانسه و بریتانیا انتقال یافت.

جدائی شرق و غرب قدرت موثر پاپ را چنان محدود کرد که پاپ به اتحاد با کارولنژین ها تن داد، و تاجگذاری شارلمانی ( Charlemagne ) به عنوان امپراطور روم مقدس در سال 800 میلادی مظهر این اتحاد بود.

جامعه غربی صورتی فئودالی و کلیسائی یافت و جهت گیری آن شمالی و ژرمنی بود.

در نخستین سده های فئودالیسم غربی، حتی در صومعه ها نیز عطف توجه چندانی به ریاضیات دیده نمی شود.

در جامعه کشاورزی ابتدائی این دوره، عواملی که برانگیزاننده ریاضیات، از نوع صریحا عملی آن باشد، تقریبا وجود نداشت، و ریاضیات صومعه ای چیزی بیش از حسابی کلیسائی، آن هم عمدتا برای احتساب زمان عید فصح، نبود.

بوئتیوس بالاترین مرجع به شمار می آمد.

در میان ریاضیدانان کلیسائی، آلکوین انگلیسی الاصل و وابسته به دربار شارلمانی از اهمیتی برخوردار بود.

او کتاب مسائلی برای تیز کردن فکر جوانان را نوشت.

این مجموعه قرن های متمادی نویسندگان کتب درسی را زیر تاثیر خود داشت.

سابقه اغلب این مسائل تا شرق باستان می رسید.

به عنوان مثال: سگی خرگوشی را دنبال می کند، و فاصله آن دو 150 ذراع است، در هر بار سگ 9 ذراع و خرگوش 7 ذراع می جهند.

در چند پرش سگ از خرگوش جلو می افتد؟

می خواهیم یک گرگ، یک بزغاله، و یک کلم را با قایقی که علاوه بر قایقران می تواند یک از آنها را جای دهد، از رودخانه ای عبور دهیم.

قایقران چگونه باید آنها را از رودخانه بگذراند تا بزغاله کلم را و گرگ بزغاله را نخورد؟

یکی دیگر از ریاضیدانان کلیسائی، ژربر ( Gerbert ) راهبی فرانسوی بود که در سال 999 با نام سیلوستر دوم (Sylyester II) به مقام پاپی رسید.

او، زیر نفوذ بوئتیوس چندین رساله به رشته تحریر درآورد، اما اهمیت عمده او به مثابه یک ریاضیدان در این است که وی یکی از نخستین دانشمندان غربی است که به اسپانیا سفر کرد و در ریاضیات جهان عرب به مطالعه پرداخت.

تفاوت های عمده ای بین رشد فئودالیسم غربی، فئودالیسم یونان اولیه، و فئودالیسم شرقی وجود دارد.

خصلت گسترده کشاورزی غربی، مجال به وجود آمدن شبکه ای وسیع از مدیران بوروکرات را نمی داد، و در نتیجه نمی توانست مآلا برای استبدادی شرقی پایه و اساسی فراهم آورد.

در غرب امکان فراهم آوردن ذخیره وسیعی از بردگان وجود نداشت.

هنگامی که در اروپای غربی دهکده ها رشد کردند و به صورت شهرک درآمدند، شهرک ها نیز به واحدهای خودگردانی تکامل یافتند که در آنها شهرنشینان نمی توانستند زندگی فارغ البالی را بر اساس برده داری پی ریزی کنند.

این یکی از دلائل عمده ای است که چرا تکامل پولیس یونانی و شهر غربی که وجوه مشترکشان در مراحل اولیه این قدر زیاد بود در مراحل بعد را های متفاوتی را پیمودند.شهرنشینان قرون میانه، برای بهبود سطح زندگی خود، می بایست به استعداد خلاق خویش متکی باشند.

اینان، پس از مبارزه ای جانانه با اربابان فئودال، همراه با کشمکش های داخلی بسیار، در طی قرون دوازدهم و سیزدهم و چهاردهم، پیروزمند سربرآوردند.

این پیروزی نه تنها بر گسترش سریع اقتصاد پولی، بلکه بر پایه بهبود تدریجی تکنولوژی استوار بود.

شاهزادگان فئودال در جنگ علیه اربابان کوچک، اغلب از شهرها جانبداری می کردند و سرانجام حاکمیت خود را بر شهرها گسترش می دادند.

این امر نهایتا به ظهور نخستین دولت های ملی در اروپای غربی منجر شد.

شهرها به برقراری روابط بازرگانی با شرق، که هنوز مرکز تمدن بود، پرداختند.

گاهی این روابط به طریق مسالمت آمیز و گاه به شیوه های خشن، مانند جنگ های صلیبی، برقرار می شد.

شهرهای ایتالیائی، نخستین شهرهائی بودند که روابط بازرگانی برقرار کردند، سپس شهرهای فرانسه و اروپای مرکزی به این کار پرداختند.

اهل تحقیق گاه به دنبال و گاه پیشاپیش بازرگانان و سربازان بودند.

اسپانیا و سیسیل نزدیک ترین نقاط تلاقی شرق و غرب بودند.

و در این نقاط تلاقی بود که بازرگانان و محصلین با تمدن اسلامی آشنا می شدند.

هنگامی که در سال 1085 مسیحیان، طلیطله ( تولدو ) را از مغربی ها گرفتند، محصلین غربی برای آموختن علم که به زبان عربی تدریس می شد، به این شهر سرازیر شدند.

این محصلین غالبا مترجمان یهودی را برای مکالمه و ترجمه استخدام می کردند.

و بدین ترتیب، در اسپانیای قرن دوازدهم با پالتو اهل تیوولی ( Plato of Tivoli )، گراردو کرمونایی ( Gherardo of Cremona )، ادلارد باثی ( Adelard of Bath ) و رابرت چستری ( Robert of Chester ) روبروئیم که نسخه های خطی ریاضی را از زبان عربی به لاتین برمی گرداندند.

بدین ترتیب اروپا از طریق زبان عربی با کلاسیک های یونان آشنا شد، و در این زمان، اروپای غربی، آن اندازه پیشرفت کرده بود که دانش را ارج نهد.

همان طور که گفتیم، نخستین شهرهای تجاری نیرومند در ایتالیا سربرآوردند، در خلال قرن های دوازدهم و سیزدهم جنووا، پیزا، ونیز، میلان و فلورانس روابط تجاری پر رونقی را میان جهان عرب و شمال برقرار کردند.

بازرگانان ایتالیائی از مشرق دیدار کردند و تمدن آن را مورد مطالعه قرار دادند، مسافرت های مارکوپولو نشان دهنده بی باکی این ماجراجویان است.

اینان، مانند بازرگانان یونانی دو هزار سال پیش، کوشیدند علم و هنرهای تمدن کهن تر را، نه فقط برای بازآفریدن آنها، بلکه برای جذب آنها در جامعه تجاری خود فراگیرند، جامعه ای که در همان قرن های دوازدهم و سیزدهم شاهد رشد بانکداری و مقدمات پیدایش صنعتی از نوع سرمایه داری بود.

اولین بازرگان غربی که مطالعات ریاضی وی تا حدی از پختگی برخوردار است، لئوناردوی پیزایی ( Leonardo of Pisa ) است.

لئوناردو، که فیبوناتچی ( Fibonacci = پسر بوناتچو ) نیز نامیده می شود، به هیات بازرگان به شرق سفر کرد.

در بازگشت کتاب حساب ( Liber Abaci ، 1202 میلادی ) را نوشت که مملو از اطلاعات حسابی و جبری است که فیبوناتچی در طی سفرهای خود گردآوری کرده بود.

در کتاب هندسه عملی ( Practica Gemetriae ، 1220 ) لئوناردو، به همین نحو، یافته های خود را در هندسه و مثلثات توضیح داد.

احتمالا او خود پژوهشگری اصیل نیز بوده است، زیرا کتاب هایش حاوی مثال های زیادی است که ظاهرا در آثار عربی همتایی ندارند.

با وجود این، لئوناردو، مثلا هنگام بحث درباره معادله x2 + 10 x = 39 از خود خوارزمی نقل قول می کند.

مساله ای که به « رشته فیبوناتچی »، …،21،13،8،5،3،2،1،1،0 منجر می شود و در آن هر جمله با مجموع دو جمله پیشین برابر است، و نیز اثبات کاملا نپخته او از اینکه ریشه های معامله X 3 +2 X 2 + 10 X = 20 را نمی توان به صورت اصم های اقلیدسی، بیان کرد ( بنابراین تنها با خط کش و پرگار نمی توان آنها را ساخت)، جدید به نظر می رسند.

لئوناردو مساله دوم را با بررسی یکایک حالت های پانزده گانه اقلیدسی اثبات کرد، و سپس ریشه مثبت این معادله را با تقریب شش رقم شصت شصتی به دست آورد.

رشته فیبوناتچی از مساله زیر نتیجه شده است: در یک سال از یک جفت خرگوش چند جفت تولید می شود هر گاه (الف) هر جفت در هر ماه یک جفت جدید به دنیا بیاورند و این جفت جدید از ماه دوم بارور شوند، (ب) مرگ و میر روی ندهد؟

کتاب حساب یکی از آثاری است که با آن دستگاه شمارش هندی ‌عربی به اروپای غربی معرفی شد.

سابقه استفاده از این دستگاه به طور پراکنده، به قرن ها پیش از لئوناردو می رسد، یعنی به زمانی که بازرگانان و سفیران و محققان و زوار و سربازانی که از اسپانیا و شرق طالع ( Levant ) می آمدند، آن را به اروپا آوردند.

کهن ترین نسخه خطی تاریخدار که این دستگاه اعداد را متضمن است، الواح آگاهی ( Codex Vigilanus ) است که در سال 976 در اسپانیا نوشته شد.

با این همه، ورود این ده نماد به اروپای غربی با کندی صورت گرفت، قدیمی ترین نسخه فرانسوی که این نمادها در آن یافت می شود، به سال 1275 مربوط است.

دستگاه شمارش یونانی، در قرون متمادی، در کناره های دریای آدریاتیک همچنان مرسوم بود.

محاسبه غالبا با چرتکه قدیمی انجام می گرفت، چرتکه صفحه ای بود با مهره ها یا ریگدانه هائی چند ( غالبا متشکل از خطوطی که بر شن رسم شده بود ) و علی الاصول شبیه لوحه های حسابی است که هنوز روس ها و چینی ها و ژاپونی ها، و نیز کودکان در برخی بازی های خود به کار می برند.

اعداد رومی برای ثبت نتیجه محاسبه ای که با چرتکه انجام شده بود به کار می رفت.

در طول قرون میانه ( و حتی بعد از آن ) اعداد رومی را در دفاتر بازرگانان می یابیم که حاکی از آن است که در حجره های کار خود چرتکه به کار می بردند.

معرفی اعداد هندی عربی با مخالفت عامه مردم مواجه شد، زیرا استعمال این نماده خواندن دفاتر بازرگانان را دشوار می ساخت.

در فرمانی که درباره فن حساب ( Arte del Cambio ) در 1299 صدور یافت کاربرد اعداد عربی توسط بانکداران فلورانس ممنوع شد و آنان را مکلف می ساخت که از اعداد تحریری رومی استفاده کنند.

در حوالی قرن چهاردهم، بازرگانان ایتالیائی استفاده از برخی از ارقام عربی را در دفاتر خود آغاز کردند.

گاه گاه نیز به صورت های حد واسطی مثلا II m III c X V برای 2315 برمی خوریم.

با بسط تجارت، توجه به ریاضیات آرام آرام به شهرهای شمالی گسترش یافت.

در آغاز این توجه عمدتا جنبه عملی داشت و تا چندین قرن حساب و جبر در خارج از دانشگاه ها به وسیله استادان محاسب خودساخته و معمولا بی اطلاع از آثار کلاسیک، آموزش داده می شد.

این معلمان دفترداری و دریانوردی را تعمیم می دادند.

این نوع ریاضیات تا مدت ها نشانه های مشخص منشا عربی خود را حفظ کرد.

کلماتی چون « جبر » و « الگوریتم » گواه بر این امرند.

این نوع ریاضیات تا مدت ها نشانه ـ های مشخص منشا عربی خود را حفظ کرد.

ریاضیات نظری در طول قرون میانه کاملا از بین نرفت، ولی این ریاضیات در میان مردان عمل رواج نداشت.

بلکه فیلسوفان مدرسی بدان می پرداختند.

مطالعه افلاطون و ارسطو، همراه با تاملاتی درباره باریتعالی به نظریات ظریفی درباره حرکت، پیوستار و بینهایت منجر شد.

اوریگنس ( Origen ) در نفی وجود بینهایت بالفعل، از ارسطو پیروی کرد، لکن اگوستین قدیس ( St.

Augstine ) در کتاب شهر خدایی ( Civitas Dei ) دنباله همه اعداد طبیعی را به منزله یک بینهایت بالفعل پذیرفته بود.

انتخاب کلماتش چنان بجا و خوب بود که گئورگ کانتور (Georg Cantor ) اظهار داشته است که ترا بی پایان ( transfinitum ) را نمی توان شورانگیز تر از اگوستین قدیس خواستار بود و کامل تر از او آن را معین و از آن دفاع کرد.

نویسندگام مدرسی قرون میانه، به ویژه توماس آکویناس قدیس ( St.

Thomas Aquinas ) قول ارسطو را پذیرفتند که بینهایت بالفعل وجود ندارد ( infinitum actu non datur ) اما هر پیوستار را بالقوه الی غیر النهایه تقسیم ـ پذیر می دانستند.

از این رو کوچکترین خط وجود نداشت.

بنابراین نقطه جزئی از یک خط نبود زیرا تقسیم ناپذیر بود: یک پیوستار نمی تواند از تقسیم ناپذیرها تشکیل شود.

( non potest compari aliquod continuum ex indivisilibus ) یک نقطه با حرکت کردن می تواند خطی به وجود آورد.

چنین نظریه پردازی ها بر ابداع کنندگان حساب بینهایت کوچک ها در قرن هفدهم و بر فیلسوفان ترا پایان ناپذیر در قرن نوزدهم، اثر گذاشت، کاوالیری ( Cavalieri ) تا که ( Tacquet ) بولتسانو ( Bolzano ) و کانتور مولفان مدرسی را می شناختند و بر روی معانی افکار آنان تعمیق می ـ کردند.

این مردان کلیسا، گاه گاه به نتایجی دست می یافتند که اهمیت ریاضی ملموستری داشت.

تامس بردواردین ( Thomas Bradwardine ) که سر اسقف کانتربوری شد، پس از مطالعه کارهای بوئتیوس، به تحقیق درباره چند ضلعی های ستاره ای پرداخت.

مهمترین ریاضیدان کلیسائی قرون میانه، نیول ارسم ( Nicole Oresme ) اسقف لیسیو ( Lisieux ) در نرماندی بود که با توان های کسری خود را سرگرم می کرد.

چون 2 8 = 64 = 3 4 ، در نتیجه او 8 را به صورت 4 یا 4 نوشت که معنای آن بود.

او همچنین، رساله ای با عنوان سنجش صوری طول و عرض ( De Latitudinibus Formarum، 1360 ) نوشت که در آن یک متغیر وابسته ( Latitudo ) را نسبت به یک متغیر مستقل ( Longitodo ) که دستخوش تغییر است، رسم می ـ کند.

این کار ارسم گذار ضمنی و مبهمی است که از مختصات کره ارضی یا کره سماوی ـ که قدما آنها را می شناختند ـ به هندسه مختصاتی نوین.

این رساله، در فاصله سال های 1482 و 1515 چندین بار منتشر شد و احتمالا بر ریاضیدانان عصر رنسانس از جمله دکارت تاثیر نهاده است.

مسیر اصلی پیشرفت ریاضیات از میان شهرهای تجاری در حال رشد و زیر نفوذ مستقیم تجارت و دریانوردی و نجوم و مساحی می گذشت.

شهرنشینان به شمارش، حساب و محاسبه علاقه مند بودند.

زمبارت ( Sombart ) این علاقه شهرنشینان قرن های پانزدهم و شانزدهم را Rechenhafrigkeit ( حساب دوستی ) نامیده است.

پیش کسوتان علاقه به ریاضیات عملی همانا استادان محاسب بودند، به ندرت دانشگاهیانی بدانان می پیوستند که از طریق مطالعات خود در نجوم قادر بودند به اهمیت بهبود روش های محاسبه ای پی ببرند.

مراکز این زندگی جدید شهرهای ایتالیا و شهرهای اروپای مرکزی از قبیل نورمبرگ، وین، و پراگ بودند.

سقوط قسطنطنیه در سال 1453 که به امپراطوری بیزانس خاتمه داد پای بسیاری از محققان یونانی را به شهرهای غربی کشانید.

علاقه به متون اصیل یونانی افزایش یافت، و برآوردن این علاقه آسانتر شد.

استادان دانشگاه در مطالعه این متون، با فرهیختگان عادی همراه شدند، و استادان محاسب بلند پرواز به آنان گوش فرا دادند و کوشیدند دانش جدید را به شیوه خود دریابند.

یوهان مولر یارگیومسونتانوس ( Rcgiomontanus Johannes Muller ) اهل کونیگسبرگ، چهره ریاضی برجسته قرن پانزدهم، از مردان نمونه این دوره بود.

فعالیت این محاسب، ابزار ساز، چاپ گر و دانشمند برجسته گواه پیشرفت هایی است که ریاضیات اروپائی در دو قرن بعد از لئوناردو بدان نائل آمد.

او در ترجمه و انتشار متون خطی کلاسیک ریاضی موجود بسیار کوشا بود.

معلم وی، گئورگ پویرباخ ( Georg Peurbach ) منجم ونیزی و مولف جداول نجومی و مثلثاتی، قبلا ترجمه کتاب نجوم بطلمیوس را از یونانی آغاز کرده بود.

رگیومونتانوس این ترجمه را ادامه داد و نیز به ترجمه آثار آپولونیون، هرون، و مشکل ترین آنها ، یعنی ارشمیدس پرداخت.

کار اصیل عمده او پنج مقاله جامع مثلثات ( libri quinque de triangulis omnimodus ) بود (1464) که تا سال 1533 انتشار نیافت و مدخل کاملی است بر مثلثات.

تفاوت عمده آن با متون کنونی ما در این است که در آن زمان علات گذاری های سهل امروزین وجود نداشت.

این کتاب شامل قانون سینوس ها در یک مثلث کروی است.

در آن زمان هنوز همه قضایا را با کلمات بیان می کردند.

از این زمان به بعد، مثلثات به صورت علمی درآمد مستقل از نجوم.

خواجه نصیر ـ الدین طوسی در قرن سیزدهم، کار مشابهی انجام داده بود، اما اهمیت مطلب در این کتاب که کار خواجه هرگز به پیشرفت بیشتری منتج نشد، در حالی که کتاب رگیومونتانوس بر پیشرفت بعدی مثلثات و کاربرد آن در نجوم و جبر عمیقا اثر گذاشت رگیومونتانوس سعی فراوان در محاسبه جداول مثلثاتی مبذول داشت.

برای مثال، جداول سینوس با شعاع 000 ر 60 را به فواصل یک دقیقه محاسبه کرد که بعد از مرگش انتشار یافت.

سینوس ها پاره خط هائی بودند که به صورت نصف وتر مقابل به زوایای دایره تعریف می شدند.

بنابراین مقدار عددی آنها به طول شعاع بستگی داشت.

یک شعاع بزرگ، بدون نیاز به وارد کردن کسرهای شصتگانی ( یا اعشاری ) دقت بیشتری را در مقدار سینوس امکان پذیر می ساخت.

کاربرد منظم شعاع 1، و در نتیجه مفهوم سینوس، تانژانت، و غیره به صورت نسبت (اعداد) مرهون اویلر ( Euler ) است.

1748 تا اینجا هیچ گام مشخصی فراتر از دستاوردهای باستانی یونانیان و اعراب برداشته نشده بود.

آثار کلاسیک همچنان در بلندترین ستیغ ها ( ne plus ultra ) ی باقی ماندند.

هنگامی که ریاضیدانان اوئل قرن شانزدهم ایتالیا، عملا نشان دادند که می توان نظریه ریاضی جدیدی به وجود آورد که باستانیان و اعراب به آن دست نیافته بودند، شگفتی عظیم و نشاط ـ آوری پدید آمد.

این نظریه، که به حل جبری عمومی معاملات درجه سوم انجامید، به وسیله شیپیو دل فرو ( Scipio del Ferro ) و شاگردانش در دانشگاه بولونیا کشف شد.

از زمان لئوناردو به بعد شهرهای ایتالیایی همچنان تبحر خود در ریاضیات را حفظ کردند.

در قرن پانزدهم، اساتید محاسب این شهرها، در انجام عمل های حسابی که شامل اعداد اصم نیز می شد ( بدون کمترین وسواس هندسی ) سخت تبحر داشتند و نقاشان آنها، هندسه دانان خوبی به شمار می آمدند.و اساری ( Vasari ) در کتاب زندگی نامه نقاشان ( Lives of the painters ) بر علاقه بیش از اندازه ای که بسیاری از هنرمندان ایتالیائی قرن شانزدهم به هندسه فضائی نشان می ـ دادند، تاکید می ورزد.

از دستاوردهای آنان یکی بسط یافتن علم مناظر و مرایا ( پرسپکتیو ) در دست کسانی چون آلبرتی ( Alberti ) و پی یر و دلافرانچسکا ( Piero della francesca ) بود.

شارح خود را در شخص لوکا پاچولی ( Luca Pacioli ) راهب فرانسیسکن یافتند که فشرده حساب ( summa de Arithmetica ) اثر او در سال 1494 به چاپ رسید و این یکی از نخستین کتب چاپی ریاضی به شمار می رود.

این کتاب، که به زبان ایتالیایی ـ آن هم نه ایتالیایی فصیح ـ نگاشته شده بود همه دانسته های آن روزگار را در حساب و جبر ومثلثات در بر داشت.

در آن زمان دیگر استفاده از اعداد هندسی ـ عربی کاملا جا افتاده بود و علامت گذاری حسابی با علامت گذاری امروزین چندان تفاوت عمده ای نداشت.

پاچولی کتاب خود را با این نکته به پایان آورد که حل معادلات X3 + mx = n و X3 + n = mx در وضعیت فعلی علم همان قدر ناممکن است که حل مساله تربیع دایره.

در این هنگام کار ریاضیدانان در دانشگاه بولونیا آغاز شد.

در آغاز قرن پانزدهم این دانشگاه یکی از بزرگترین و مشهورترین دانشگاه های اروپا بود.

زمانی هیات علمی آن در نجوم به تنهائی بالغ بر شانزده مدرس می شد.

دانشجویان از سراسر اروپا برای استماع سخنرانی ها و مباحثات همگانی که توجه جمعیت های وسیع و شوخ طبع را به خود جلب می کرد به این دانشگاه روی می آوردند.

گاه کسانی نظیر پاچولی، آلبرشت دورر ( Albrecht Durer ) و کوپر نیکوس ( Copernicus ) از زمره این دانشجویان بودند.

شاخص این عصر جدید وجود اشتیاقی بود که نه تنها به جذب اطلاعات کلاسیک بسنده نمی ـ کرد بلکه در تلاش آفریدن چیزهای جدید و فراتر شدن از مرزهایی بود که آثار کلاسیک تعیین کرده بودند.

فن چاپ و کشف امریکا نمونه هائی از این امکانات بود.

آیا ممکن بود ریاضیات جدیدی آفرید؟

یونانیان و شرقی ها نبوغ خود را در حل معادلات درجه سوم آزمودند اما تنها چند حالت خاص را به طور عددی حل کردند.

ریاضیدانان بولونیا اکنون می کوشیدند جواب عمومی را بیابند.

این معادلات درجه سوم را می شد به سه نوع زیرین تحویل کرد: که در آن p و q اعداد مثبت اند.

این معادلات، به ویژه به وسیله استاد شیپیو دل فرو، که در 1526 وفات یافت، مورد بررسی قرار گرفت.

به اعتبار گفته او بورتولوتی ( E.

Bortolotti ) می توان پذیرفت که دل فرو عملا به حل هر سه معادله توفیق یافت.

او هرگز راه حل های خود را منتشر نساخت و تنها برای تنی چند از دوستانش درباره آنها گفتگو کرد.

با وجود این، خبر کشف در همه جا پیچید.

بعد از مرگ شیپیو، یک استاد محاسب ونیزی، ملقب به تارتالیا ( Tartaglia ، الکن ) روش های او را مجددا کشف کرد.

(1535 ) تارتالیا نتایج خود را در اجتماعی عمومی عرضه کرد، ولی باز هم روشی را که از روی آن به جواب رسیده بود، مخفی نگه داشت.

سرانجام تارتالیا راه حل خود را برای پزشک فرهیخته ای از اهلی میلان، به نام هیرونیمو کاردانو ( Hieronimo Cardano ) به شرط سوگند در اختفای آن، فاش کرد.

اما هنگامی که کاردانو در سال 1545 کتاب موجز اما وزین خود را درباره جبر با عنوان غرور آمیز فن کبیر ( Ars magna ) به چاپ رسانید، تارتالیا با انزجار تمام دریافت که روش او، با قدردانی شایسته ای از کاشف آن، تماما افشاء شده است.

اما این یک دزدی آشکار بود.

منازعه ای تلخ، همراه با دشنام از هر دو سو، درگرفت، که در آن محقق نجیب زاده جوانی به نام لودویکو فراری ( Ludovico Ferrari ) از کاردانو دفاع کرد.

حاصل این مناقشه چند سند جالب توجه از جمله تفحصات ( Quaesiti ) تارتالیا 1546 و اعتراضات ( Cartelli ) فراری (1547 ـ48 ) بود.

با این اسناد تمام مردماز تاریخ این کشف بی نظیر مطلع شدند.

کتاب فن کبیر کاملا مشهور شد.

در حال حاضر این راه حل به راه حل کاردان معروف است، که برای حالت x3 + px =q به صورت زیر در می آید.

می بینیم که این جواب شامل مقادیری است به صورت که با اقلیدسی تقاوت دارد.

فن کبیر کردانو حاوی کشف درخشان دیگری نیز هست و آن روش فراری است برای تحویل جواب عمومی معادله دومجذوری به معادله درجه سوم.

معادله فراری عبارت بود از x4 + 6x2 + 36 = 60x که او آن را به y3 + 15y2 + 36y = 450 تحویل کرد.

کاردانو همچنین اعداد منفی را مورد توجه قرار داد و آنها را افسانه ای نامید.

اما نتوانست در مورد حالت تحویل ناپذیر معادله درجه سوم که در آن سه جواب حقیقی به صورت حاصل جمع یا تفاضل اعداد مختلط امروزی ظاهر می شوند، کاری انجام دهد.

این مشکل را رافائل بومبلی ( Raffael Bombelli ) آخرین ریاضیدان بزرگ بولونیایی قرن شانزدهم حل کرد که کتاب جبر ( Algebra ) او در 1572 منتشر شد.

در این کتاب ـ و در کتاب هندسه ای که در حدود 1550 نوشت و به صورت دستخط باقی مانده است ـ نظریه سازگاری درباره اعداد مختلط موهومی مطرح کرد.

او 3I را به صورت نشان داد ( دقیقا: به جای radix (ریشه) M به جای Meno (منها) بدین ترتیب، بومبلی توانست با نشان دادن اینکه فرضا به حالت تحویل ناپذیر بپردازد.

کتاب بومبلی خوانندگان بسیاری پیدا کرد، لایت نیتز آن را برای مطالعه معادلات درجه سوم برگزید و اویلر در کتاب جبر خود در فصل مربوط به معادلات دو مجذوری از بومبلی نقل قول کرد.

از این زمان به بعد، اعداد مختلط برخی از خصلت های فوق طبیعی خود را از دست دادند، هر چند که پذیرفتن آنها به طور کامل تنها در قرن نوزدهم صورت گرفت.

یک نکته شایان توجه این است که اعداد موهومی اول بار در نظریه معادلات درجه سوم، در حالتی که واضح بود جواب های حقیقی وجود دارند ولی به صورتی نیستند که قابل تشخیص باشند، ظاهر شد و نه در نظریه معادلات درجه دوم، که کتاب های درسی امروزی ما این اعداد را ضمن آن معرفی می کنند.

تا چندین دهه، جبر و حساب محاسباتی موضوع مطلوب تجربه ریاضی بود.

انگیزه کار دیگر تنها محاسبته دوستی بورژوازی تجاری نبود بلکه از علائق رهبران دولت های جدید ملی به مساحی و دریانوردی نیز نشات می گرفت.

برای برپا کردن ابنیه عمومی و ساختمان های نظامی، به مهندس نیاز بود.

نجوم، مانند ادوار پیشین، همچنان به صورت قلمروی مهم در مطالعات ریاضی باقی ماند.

این دوره، دوره نظریه های نجومی بزرگ کوپرنیکوس، تیکو براهه ( Tycho Brahe ) و کپلر بود.

برداشت جدیدی از کیهان شکل می گرفت.

تفکر فلسفی بازتاب گرایش های موجود در تفکر علمی بود، افلاطون با ستایشی که از استدلال ریاضی کمی می کرد بر ارسطو برتری می یافت.

نفوذ افلاطون به ویژه در کارهای کپلر مشهود است.

جداول مثلثاتی و نجومی، با دقتی فزاینده، به ویژه در آلمان انتشار یافت.

جداول گ .

ج .

رتیکوس ( G .

J .

Rheticus ) که در سال 1596 به توسط شاگرد او والنتین اوتو ( Valentin Otho ) تسکمیل شد مقادیر هر شش کمیت مثلثاتی را به فواطل 10 ثانیه و با 10 رقم تقریب شامل بود.

جداول پیتیسکوس ( Pitiscus ، 1613 ) تا 15 رقم تقریب پیش می رفت.

روش حل معادلات و درک ماهیت ریشه های آنها نیز بهبود یافت.

حل معادله از درجه 45 ام زیر: X 45 – 45 X 43 + 945 X 41 – 12300 X 39 + … - 3795 X 3 + 45 X = A که به وسیله آدریان وان رومن ( Adriaen van Roomen ) ریاضیدان بلژیکی در سال 1593 به چالش همگانی نهاده شد، از شاخص های این ایام است.

وان رومن حالت های خاصی چون را که به نتیجه: می انجامید پیشنهاد کرد،این حالت های خاص با ملاحظه چند ضلعی های منظم پیشنهاد می شدند.

فرانسوا ویت ( Francois Viete ) وکیلی فرانسوی وابسته به دربار هانری چهارم، مساله وان رومن را با توجه به این نکته حل کرد که طرف چپ معادله برابر است با رابطه ای که sin را بر حسب 45 / sin به دست می دهد.

بنابراین، جواب های را می توان به کمک جداول به دست آورد.

ویت بیست و سه جواب را به صورت ( ) sin با صرف نظر کردن از ریشه های منفی، به دست آورد.

ویت همچنین جواب معادله درجه سوم کاردانو را به جوابی مثلثاتی تحویل کرد که در این جریان حالت تحویل ناپذیر معادله نیز با حذف ضرورت وارد کردن اعداد موهومی، وحشت انگیزی خود را از دست داد.

این جواب را اکنون می توان در کتب درسی جبر عالی پیدا کرد.

دستاوردهای عمده ویت در بسط پیشرفت نظریه معادلات بود ( مثلا، درآمدی بر فن تحلیل ( In artem analyticam isagoge ) 1591 که در آن او از نخستین کسانی به شمار می رود که اعداد را با حروف نمایش دادند.

ضرائب عددی، حتی در جبر لفظی مکتب دیوفانتی، به بحث کلی مسائل جبری لطمه زده بود.

آثار جبردانان قرن شانزدهم ( یا Cossist ها ، از لغت ایتالیائی Cosa به معنای مجهول) با علامت گذاری نسبتا پیچیده ای همراه بود.

اما در حساب عملی خاص ( Logistica speciosa ) دست کم یک نماد گذاری کلی ظاهر شده که در آن حروف برای بیان ضرائب عددی، علائم + و – به معنای امروزی، و «مجذور A » ( A quadratum ) برای A2 به کار رفته بود.

اما در نتیجه اصرار ویت بر اصل یونانی همگنی، که در آن از حاصل ضرب دو پاره خط الزاما یک سطح تصور می شد، این جبر هنوز با جبر فعلی ما فرق می ـ کرد.

بنابراین پاره خط ها تنها با پاره خط ها، سطح ها با سطح ها، و حجم ها با حجم ها جمع می شد.

حتی معنی دار بودنمعادلات بالاتر از درجه سوم، محل تردید بود زیرا این معادلات را تنها در چهار بعد می شد تعبیر کرد، و در آن روزها فهم این برداشت مشکل بود.

در این دوره فن محاسبه به اعتلای جدیدی رسید، و سرانجام اندک اندک از دستاوردهای جهان اسلام فراتر رفت.

ویت کار ارشمیدس را بهبود بخشید و عدد را تا نه رقم اعشار محاسبه کرد، اندک زمانی بعد، لودلف ون کولن ( Ludolph Van Coolen ) استاد شمشیر بازی در دلفت ( Delft ) با افزودن بر تعداد اضلاع چند ضلعی های محیطی و محاطی منظم، عدد را تا سی و پنج رقم اعشار محاسبه کرد.

ویت همچنین را به صورت حاصل ضربی بی پایان بیان کرد 1593 که در علامت گذاری کنونی ما چنین است: