دانلود تحقیق خواص اینرسی سطوح افقی

خواص اینرسی سطوح افقی

7.1) گشتاور ماند یک سطح افقی

7.2) گشتاور ماند قطبی یک سطح مقطع افقی

7.3) قضیه محورهای موازی (یا تئوری انتقال) برای گشتاور ماند/ شعاع دوران

7.4) روش سطوح مرکب

در این بخش خواص اینرسی سطوح افقی را مطالعه می کنیم. یک دلیل برای مطالعه این موضوع در استاتیک این است که این خواص در قواعد تعیین برآورد نیروی هیدرواستاتیک (فشار اب عمق یا فشار ایستایی) روی یک حجم غوطه ور، ظاهر می‌شوند. (که در بخش 8.2 آزمایش می کنیم) یک دلیل مهم تر برای این مطالعه این است که بعضی مواقع به عنوان یک پیش نیاز برای دوره های مقاومت مصالح (یا تغییر شکل پذیری اجسام) که از استاتیک پیروی می کند، در نظر گرفته می شود.

در دوره های بعد، دانشجو می فهمد که فشار روی یک تیر بارگذاری شده متقاطع (عرضی)، تحت شرایط خاص اما مهم، گشتاور مانند بخش های تقاطع تیر نسبت عکس دارد.

بطور مشابه خمش تیر با گشتاور ماند که قسمت مقاومت را برای شکیت تیر نسبت عکس دارد.

همینطور گشتاور ماند قبلی یک معیار در پایداری محور انتقال بنده در پیچش، یا چرخش می‌باشد.

چهار قسمت اولیه در این بخش می تواند توسط دانشجویی که تنها با انتگرال ساده آشنایی دارد خوانده شود. اینها بخش هایی هستند که بطور معمول در دوره اولیه مکانیک دگردیس پذیری مورد نیاز می‌باشد. سه بخش آخر، از انتگرال های دوگانه در زمانیکه با اجسام است سر و کار داریم، استفاده می کنند.

گشتاور ماند جرم در دینامیک مورد نیاز می شود، ما این موضوع مرتبط را در دومین سطح در جاییکه بحث ایجاب کند را بررسی می کنیم.

7.1) گشتاور ماند یک سطح افقی

برای سطح افقی نشان داده شده در شکل، گشتاور ماند نسبت به محور x  و y چنین تعریف می شوند: Ix و Iy

این تعریف روشن می سازد که چرا یک گشتاورماند، گشتاور دوم نامیده می شود، به خاطر مربع کورن فاصله از محور x برای Ix(و از محور y برای Iy)

ما گشتاور اولیه را در بخش 6 نسبت به یک مفهوم مرکز ثقل دیدیم.

چون یک گشتاورماند از سطح مقطع هایی که در مربع فاصله مضرب شده اند تشکیل شده است، دارای بعد است (طول)

معادله (7.1) و (7.2) همچنین به ما می گویند که یک گشتاور ماند همیشه مثبت و یک معیاری برای اینکه، چه مقدار سطح و در چه فاصله ای از یک خط واقع شده است.

اگر بخواهیم پایه مبنای x و Y را مشخص کنیم

برای مثال باید بنویسیم، Ixc اگر مبنا مرکز ثقل باشد یا Ixf اگر مبنا نقطه دیگری مانند P باشد.

اکنون استفاده از تعاریف بالا برای یافتن گشتاور چندین شکل معمولی را در مثال های زیر نشان می دهیم.

مثال 7.1) گشتاور ماند سطح مقطع مستطیل حول مرکز ثقل x  و y را به دست آورید.

راه حل:

برای پیدا کردن Ixc به انتگرال  نیاز داریم.

استفاده از نوار عمودی نشان داده شده در دومین شکل سطح مقطع تفاضلی dA، را تصویر میکند و اشاره می‌کند که مختصات y برای تمام قسمت های نوار یکسان است. داریم:

یک انتگرال مشابه با  همانطور که در زیر نشان داده شده است  را بدست می‌دهد.

سؤال 1.‌7) آیا محاسبه  واقعاً لازم بود؟

آیا پاسخ  از روی نتیجه ای که در ابتدا برای  بدست آمد قابل استنباط نبود؟

انتگرال های دوگانه آشنا، که در تولید دوباره نتایج برای  از آنها استفاده کردیم:

تذکر اینکه انتگرال اول (روی x) نوار bdy را که قبلاً استفاده شد تولید می‌کند.

سؤال 2.‌7- آیا نوار hdx در محاسبات  برای “dA” مورد استفاده قرار گرفت؟

مثال 2.‌7) گشتاورماند یک سطح دایره ای را برای قطر نامشخص بدست آورید.

حل: از آنجا که  روی خط سر حد، dA بدست می آید:

و همچنین

جایگذاری  به جای  و توجه به اینکه

که برای حدود انتگرال  وقتی  و  وقتی ، در ادامه:

برای خواننده مطلع از انتگرال دوگانه، نتایج بالا را با بکارگیری مختصات قطبی و با تلاش کمتر چنین بدست می آوریم:

که البته  یا  نسبت به هر قطر دایره دیگری، همین است

مثال 7.3) گشتاور ماند برای سطح سه گوش حول محور y را بیاید.

حل: برای ناحیه تفاضلی از نوار هاشور خورده در شکل استفاده کردیم، بنابراین 71 و 470 از y برای تعیین پایین ترین حد مرزی نوار استفاده کردیم:

اما  برای گوشه مثلث در اولین ربع:

dA=

بنابراین

مسائل) بخش 7.1

گشتاور ماند قطبی برای یک سطح افقی

در مطالعه تغییر شکل پذیری جامدات، «مسأله پیچش» توضیح می‌دهد که چه اتفاقی برای محور زمانیکه منحرف می شود، می افتد. به همان طریقی که گشتاور ماند، اجزای مقاومت محور در مقابل خمش را تشکیل می دهد، گشتاور ماند قطبی اجزای مقاومت آن در برابر پیچش را ایجاد می‌کند. به همین دلیل درباره گشتاور ماند قطبی در این فصل توضیح خواهیم داد.

گشتاورماند قطبی برای یک ناحیه حول نقطه P چنین تعریف می شود (شکل را ببینید)

که مبنای محورهای (x,y) نقطه P می‌باشد.

از آنجاییکه مختصات قطبی r چنین داده شده است: ، چنین ساده می‌کنیم:

Ip:

به خاطر اسم « گشتاور ماند قطبی»

7.4 روش سطح مقطع های مرکب

در بخش 6 یاد گرفتیم که در یافتن مرکز ثقل یک ناحیه مرکب A، انتگرال گیری می‌تواند به انتگرال های جداگانه روی فضای مختلف در برگیرنده، تقسیم بندی شود بنابراین به عنوان مثال اگر  پس:

همین ایده یا روش برای سطح مقطع های مرکب، در محاسبه گشتاورها و گشتاورهای ماند قطبی می تواند بکار رود:

که  گشتاور ماند سطح مقطع  حول محور x می باشد، و بطور مشابه برای  و  چند مثال را که با استفاده از سطح مقطع های مرکب ساده شده است را بررسی می کنیم.

مثال 7.11. گشتاور ماند قطبی برای 10 پیچ کوچک مشابه با بخش های متقاطع حول هر دو نقطه 9c مبدأ را محاسبه کند.(قبلاً در مثال 6.10 مطالعه شد.)

راه حل: اگر همانطور که شکل شان می دهد، قطر هر پیچ در مقایسه با فضای میان پیچ ها کوچک باشد، پس تمام نقاط در یک سطح مقطع تقریباً همان فاصله دار نقطه‌ای که می خواهیم گشتاور ماند قطبی را برای آن محاسبه کنیم، را دارا هستند.

که  فاصله از O تا مرکز iامین سطح قطع است. تعریف بالا باعث می شود که تصور کنیم مساحت هر پیچ در مرکز آن، متمرکز شده است.

با فضاهای یکسان بدست می آوریم:

شروع از نقطه O و حرکت پاد ساعتگر داریم: 2

توجه کنید که در مراحل بالا، گرفتن ریشه دوم برای رسیدن به  اتلاف وقت است چون بلافاصله باید آن را برای بدست آوردن  مربع کنیم.

اکنون بگذرانیم به عقب برگردیم و این تحلیل را روی یک مبنای سخت تر انجام دهیم.  را یک گشتاور اینرسی قطبی برای jامین سطح مقطع نسبت به مرکز ثقل خود قرار می دهیم. با استفاده از این حقیقت که گشتاور اینرسی قطبی برای قسمت های مرکب اضافه شده به منظور بدست آوردن گشتاور اینرسی قطبی کل سطح مقطع، و همچنین استفاده از تئوری محورهای موازی برای هر قسمت:

 که  فاصله از 0 تا  می‌باشد.

بنابراین  و دومین مجموع که به دقت محاسبه شده است برای سطح مقطع های مدور (مثال 7.6 را ببینید)

که  شعاع iامین سطح مقطع پیچ می‌باشد.

با سطح مقطع های یکسان، داریم  و  و:

و هر چقدر R کوچکتر باشد تقریب مساحت مرکزی (منقطه تجمع) بهتر می‌باشد

برای مثال اگر  اینچ باشد، پس  و خطای وابسته به تقریب فضای متمرکز حدود  می‌باشد.