دانلود مقاله توزیع پوآسون و نرمال

توزیع پواسن متغیر های تصادفی دو جمله ای و فراهندسی ،‌موفقیت ها را در یک نمونه گیری تعیین می کند.

ممکن است در پدیده هایی با روندی از موفقیت ها رو به رو شویم و آگاهی از تعداد موفقیت ها مورد نظر باشد.

به مثالهای زیر توجه کنید.

در یک بازی بستکبال گلهایی را که تیم مورد علاقه به ثمر می رساند، روندی از موفقیت ها به دست می دهد.

تعداد دفعه هایی که قلاب ماهیگیری مورد حمله های ماهیان قرار می گیرد،‌روندی از موفقیت ها است.

تعداد تصادف ها در جاده ای مورد نظر، روندی از موفقیتها است.

ترسم خطوط اضافی در پارچه بوسیله یک ماشین پارچه بافی، روندی از موفقیت ها را به دست می دهد.

تعداد حبابهای موجود در شیشه های تولیدی یک کارخانه ساخت شیشه، روندی از موفقیت ها است.

مطالعه آماری تعداد موفقیت ها در بخشی از روند مورد نظر، اهمیت دارد.

تعداد گلهایی که تیم مورد علاقه ما در نیمه اول به ثمر می رساند،‌تعداد دفعه هایی که به قلاب ماهیگیری در یک ساعت حمله می شود، تعداد تصادف های در طول تابستان،‌تعداد خطوط اضافی که در یک متر مربع ترسیم شده است و سرانجام، تعداد حبابهای موجود در 5 متر مربع شیشه تعداد موفقیت ها در بخشی از روند مربوطه است.

نمونه گیری در اینجا به معنی گزینش آن بخش مورد نظر و شمارش تعداد موفقیت ها است.

در مثال تعداد حبابها، هر قطعه شیشه 5 متر مربعی از تولید کارخانه یک نمونه به شمار می آید.

در صورتی که X را تعداد موفقیت ها تعریف کنیم، مجموعه مقادیر X X={و2و1و 0 …} پیشامد (X=i) بیانگر قطعاتی است که در هر یک از آنها تعداد i حباب است،‌ P(X=i) درصد این قطعات را تعیین می کند.

تعیین P(X=i) با روش نمونه گیری در عمل ناممکن است.

از این رو چگونه می توان P(X=i) را تعیین کرد؟

(در قسمت 5 به این پرسش پاسخ خواهیم داد) به هر حال تابع چگالی زیر P(X=I) را ارائه می دهد.

متغیر تصادفی پوآسن یک متغیر تصادفی X با مجموعه مقادیر} …و2و1و0 X={ و تابع چگالی (1-3) را متغیر تصادفی پواسن با پارامتر می نامند و در این صورت نمایش بکار برده می شود.

در فرمول (1-3) ، e عدد نپر است و میانگین تعداد موفقیت ها است،‌ .

اگر توزیع پواسن بر روندی از موفقیت ها دلالت کند، آنگاه تعداد موفقیت ها در هر بخش از روند از توزیع پواسن پیروی می کند که پارامتر آن،، مساوی میانگین تعداد موفقیت ها در آن بخش است.

توزیع نرمال متغیر تصادفی نرمال یک متغیر تصادفی X ،‌متغیر تصادفی نرمال است، اگر مجموعه مقادیر آن و تابع چگالی آن مقادیر و ثابت است و به ترتیب امید ریاضی و واریانس X است، و در این صورت نمایش را برای X بکار می بریم.

هر متغیر تصادفی نرمال X با میانگین و واریانس خواص زیر را دارد.

1- 2- اگر به سرعت یک تابع نمایی.

خاصیت اول بیان می کند که پراکندگی در فاصله های یکسان است.

خاصیت دوم بیان می کند با دوری از میانگین درصد مشاهده ها نسبتاً سریع کاهش می یابد.

متغیر تصادفی نرمال، نخستین بار به وسیله کارل کاوس بیان شد.

این متغیر تصادفی مدل احتمال خوبی برای بسیاری از پدیده های طبیعی است، به این دلیل، آن را نرمال (طبیعی) نامیده اند.

عموماً نمره های دانش آموزان یک کلاس، نزدیک به میانگین تجمع بیشتر دارد و هر چه از دو سو از میانگین فاصله گرفته شود، تجمع نمره ها کاهش می یابد (نسبتاً سریع).

میزان قد افراد جامعه‌ی مورد نظر نیز پدیده ای طبیعی است.

تجمع، نزدیک به میانگین به گونه ای نسبتاً متقارن، زیاد است.

با دوری از میانگین از دو سوی، پراکندگی بسرعت (تقریباً به طور متقارن) کاهش می یابد.

درجه حرارت هوا را در نیمه شب بهمن ماه در منطقه‌ ای در نظر بگیرید.

دوباره انتظار می رود که تجمع نزدیک به میانگین زیاد باشد و با دور شدن از میانگین مقدار آن سریع کاهش یابد.

دقت کنید که هر متغیر تصادفی نرمال با آگاهی از دو مقدار کاملاً مشخص می شود.

مقدار را انحراف معیار (انحراف استاندارد) گویند.

- متغیر نرمال استاندارد چنانچه دیده شد هر توزیع نرمال به وسیله دو مقدار مشخص می شود.

یعنی اگر جمعیتی آماری از توزیع نرمال پیروی کند با محاسبه تمام یافته های آماری را می توان برای آن جمعیت به دست آورد.

اکنون اگر در یک توزیع نرمال، باشد، توزیع نرمال استاندارد بوده و متغیر تصادفی نرمال مربوط به آن، متغیر تصادفی نرمال استاندارد است و آن را با Z نشان می دهیم متغیر تصادفی Z در کاربرد اهمیت ویژه ای دارد و بدین دلیل جدول مربوط به مقادیر عددی تابع توزیع آن در بخش جدولها داده شده است بحث زیر اهمیت Z را روشن تر می کند.

توزیع پوآسون در مواردی که در توزیع دو جمله ای n بزرگ باشد محاسبه احتمالات کاری پیچیده و مشکل می گردد.

از طرفی توزیع دو جمله ای در مواردی صدق می کند که d=p-q کوچک باشد، و یا به عبارت دیگر q و p نزدیک به باشند.

در مواردی که شرایط فوق صدق نکنند.

(n بزرگ و احتمال ها نزدیک بهم نباشند) از توزیع های دیگری بجای توزیع دو جمله ای استفاده می گردد.

به طور کلی اگر احتمال وقوع پیشامدی (q) کوچک باشد و باشد آن پیشامد را نادر گویند.

و منحنی توزیع دو جمله ای از حالت تقارن خارج بوده و مورب می گردد.

چون در عمل با چنین وقایع نادری روبرو هستیم، داشتن یک توزیع تقریبی برای چنین مواردی ضروری است.

چنین توزیعی بنام توزیع پواسون معروف است.

در توزیع دو جمله ای اگر تعداد دفعات آزمایش (n) بتدریج که p کوچک و کوچکتر می گردد، بزرگ و بزرگتر شود، مقدار (لاندا) ثابت می ماند.

به عبارت دیگر توزیع دو جمله ای باینومییال وقتی n به سمت بی نهایت و p به سمت صفر میل کند و np ثابت بماند، به توزیع پویسون تبدیل می گردد.

بنابراین احتمال وقوع X پیشامد در n آزمایش به صورت زیر محاسبه می گردد.

پایه لگاریتم طبیعی = 718828/2 e= در این فرمول بجای np از حرف یونانی استفاده شده است.

بنابراین توزیع پویسون یک حد از توزیع باینومییال است.

در این مورد نیز ثابت می شود که میانگین و واریانس توزیع پویسون برابر با است.

مقدار به مفهوم زیر است: یا به طور کلی بوسیله ماشین حساب حاصل می شود.

توزیع پویسون تنها به عنوان تقریب توزیع دو جمله ای بکار نمی رود،‌بلکه به عنوان یک الگو برای بررسی وقایعی که به طور تصادفی و به طور نادر در زمان و مکان توزیع می شوند نیز مورد استفاده واقع می شود.

برای مثال می توان تعداد پنچری طایر در یک هفته، تعداد اصابت گلوله در یک هدف گیری، و تعداد موارد گزارش شده از یک بیماری کمیاب و غیره را نام برد.

از توزیع پویسون در بازرسی و کنترل کیفیت کالاها، وقتی تعداد کالاهای معیوب نسبت به تولید کل کم باشد، به منظور محاسبه احتمال ها استفاده می شود.

از جمله وقایع دیگری که توزیع پویسون برای آنها صادق است، می توان به مشاهده غلط چاپی در یک کتاب، افراد چپ دست یا معلول ذهنی در جامعه، تعداد خودکشی، یافتن بذر علف هرز در یک محموله و یا پیدا کردن باکتری در آب استخر اشاره نمود.

برای توزیع پویسون نیز احتمال تجمعی مقادیر مختلف X بر حسب n و محاسبه گردیده و در جداولی در برخی از کتاب های آمار آورده شده است.

توزیع نرمال توزیع نرمال مهمترین الگوی آماری است و اکثر تئوری ها، محاسبات و استدلالهای آماری بر مبنای آن نهاده شده اند.

اهمیت دیگر توزیع نرمال در این است که توزیع فراوانی پدیده های طبیعی، که با رعایت اصول صحیح آماری مورد تحقیق قرار می گیرند، غالباً به صورت نرمال است.

از طرفی چون هر متغیری به هر شکلی که مورد مطالعه قرار گیرد دارای توزیع فراوانی مخصوص بخود می باشد،‌می توان با استفاده از اصول آمار و ریاضی، آن متغیرها یا توزیع آنها را به نرمال تبدیل نمود و از اصول آماری خاص منحنی نرمال برای تجزیه و تحلیل آنها استفاده نمود.

به عنوان مثال چنانچه Xi دارای توزیع پویسون باشد، متغیر دارای توزیع نرمال خواهد بود.

همچنین چنانچه حالتهای یک متغیر بر حسب درصد باشد، دارای توزیع نرمال نیست،‌ولی الگاریتم این اعداد یا سینوس معکوس (Arc sin) آنها دارای توزیع نرمال است.

این موضوع مبحث نسبتاً مفصلی تحت عنوان تبدیل داده ها است،‌که خارج از موضوع این کتاب می باشد.

اگر n (تعداد آزمایش) در یک توزیع دو جمله ای زیاد باشد، محاسبه فراوانی ها و احتمال ها با استفاده از توزیع باینومییال مشکل می گردد.

در چنین مواردی با استفاده از اصول ریاضیات نشان داده می شود که با بزرگ و بزرگتر شدن n توزیع دو جمله ای باینومییال بیشتر و بیشتر به صورت توزیع پیوسته ای با معادله زیر در می آید که به آن توزیع نرمال می گویند.

بنابراین توزیع نرمال “حد” توزیع دو جمله ای است.

توجه داشته باشید که با بزرگ شدن n (تعداد حالات ممکن برای وقوع یک رویداد) متغیر حاصل از حالت ناپیوسته به پیوسته تغییر می کند.

به عبارت دیگر توزیع دارای منحنی می گردد.

چنانچه ملاحظه می شود در فرمول فوق p و q (احتمال وقوع یا عدم وقوع پیشامدها) مشاهده نمی گردند،‌بلکه پارامترهای و که در تخمین آنها به نحوی از احتمال های فوق استفاده می گردد، وجود دارند.

چنانچه در این فرمول،‌فراوانی نسبی (احتمال) متغیر X یعنی قرار داده شود، معادل احتمال نرمال به شرح زیر بدست می آید: برای آشنایی با رابطه ‌توزیع نرمال و توزیع دو جمله ای فرض نمائید که 300 گیاه گندم به طور تصادفی از مزرعه ای انتخاب و طول آنها اندازه گیری شده و نمودار ستونی آنها برحسب فراوانی های نسبی ترسیم شده است.

چون مساحت هر یک از مستطیل ها برابر است با فراوانی نسبی طبقه ای از مقادیر اندازه گیری شده، مساحت کل مستطیل ها برابر با یک می باشد.

از طرفی چنانچه به جای 300 گیاه طول تعداد زیادتری (فرضاً 3000) گیاه و با دقت و تقریب زیادتری اندازه گیری شود، تعداد طبقه ها زیادتر می گردند ولی باز هم مساحت کل مستطیل ها برابر با یک خواهد بود.

اگر تعداد گیاهان را همین ترتیب اضافه نمائیم.

هیستوگرام فراوانی های نسبی و نمودار چند ضعلی آن تبدیل به یک منحنی می گردد که به آن منحنی نرمال گفته می شود.

با اضافه شدن اندازه نمونه تحت مطالعه، میانگین و انحراف معیار آن نیز به سمت مقادیر ثابت و میل می کنند و نمودار چند ضعلی نیز به طرف یک منحنی پیوسته ضعلی) سوق داده می شود.

چون مجموع مساحت های مستطیل ها در هیستوگرام فراوانی نسبی یک است، مساحت زیر منحنی بین دو حد و نیز برابر با یک می باشد.

بنابراین سطح زیر منحنی بین دو مقدار معین X برابر با احتمال وقوع X در آن دامنه می باشد.

سطح زیر منحنی به عنوان مثال چنانچه توزیع طول بوته های گندم دارای میانگین 100 سانتیمتر و انحراف معیار 10 سانتی متر باشد، می توان احتمال انتخاب بوته ای که طول آن بین 90 تا 110 سانتی متر است را از مقدار n قرار داده شود و یا احتمال مزبور در n ضرب گردد، تعداد بوته ای که طول آنها بین 90 تا 110 سانتی متر است بدست می آید.

موارد استفاده توزیع نرمال در آمار منحنی نرمال به عنوان معیاری برای مقایسه مشخصات مختلف سایر توزیع های فراوانی تجربی با آن مورد استفاده قرار می گیرد.

چون توزیع نرمال احتمال پیشامدهایی را نشان می دهد که به طور تصادفی اتفاق می افتند، اگر توزیع مشاهدات حاصل از یک آزمایش با آن مطابقت داشته باشد، می توان پذیرفت که در وقوع آنها نیز قوانین تصادف حاکم بوده اند.

این نوعی استنباط علمی است،‌زیر مفهوم مخالفت آن این است که در وقوع مشاهدات مزبور عوامل دیگری دخالت داشته اند.

مثلاً اگر عملکرد واریته ای از گندم را از طریق کاشت آن در تعدادی قطعه زمین (کرت) اندازه گیری کنیم، در همه قطعات مقدار آن یکسان نخواهد بود، زیرا علیرغم دقت زیاد، عوامل مزاحم و ناشناخته ای موجب تفاوت محصول کرت های مختلف خواهند شد.

این مشاهدات یک توزیع فراوانی تشکیل خواهند داد.

حال اگر تنها عوامل تصادفی در ایجاد این تفاوت ها مؤثر بوده باشند، توزیع فراوانی مقادیر به شکل منحنی نرمال است و یا به آن نزدیک است.

دلیل این امر این است که احتمال وقوع عواملی که موجب تفاوت های بزرگ می گردند کمتر از احتمال پیشامد عواملی است که تفاوت های جزئی و ناچیز را بوجود می آورند.

از طرفی چنانچه عواملی جز پیشامدهای تصادفی، مثلاً نقص ترازو، حاصلخیزی متفاوت خاک قطعات زمین،‌ اشتباه در ثبت مشاهدات، حمله آفات، مقادیر مختلف آب آبیاری و غیره وجود داشته باشند، تأثیر آنها در جهت معینی بروز خواهد کرد و منحنی دارای کشیدگی خواهد شد.

لذا چنانچه توضسح فراوانی مشاهدات با توزیع احتمالات نرمال تطبیق کند، می‌توان به نتیجه آزمایش اطمینان بیشتری داشت.

در این حالت احتمال وقوع انحرافات مثبت و منفی مساوی است و میانگین مشاهدات مساوی عملکرد واقعی آن واریته خواهد بود.

در آمار منحنی نرمال به عنوان معیاری برای مقایسه مشخصات مختلف سایر توزیع های فراوانی تجربی با آن مورد استفاده قرار می گیرد.

همچنین اگر نوزیع فراوانی یک پدیده نرمال ( مانند اندازه‌های رشد و نمو و غیره ) را در یک گروه مطالعه نمائیم، نمودار آن به صورتی متقارن، شبیه منحنی نرمال خواهد بود، زیرا بدیهی است که در یک جامعه مقادیر متوسط این متغیر ( مثلاً طول قد انسان ) دارای حداکثر فراوانی هستند و فراوانی مقادیر دیگر ( افراد خیلی قد بلند و خیلی قد کوتاه ) به تناسب فاصله یا انحراف آنها نسبت به مقادیر متوسط، کاهش می‌یابد.

نحوه استفاده از توزیع نرمال در تحقیق عملی و چگونگی کاربرد آن در مباحث آمار و نمونه‌برداری و اندازه‌گیری، به عنوان معیاری برای ارزشیابی و تفسیر نتایج تجربی تا حدودی روشن شده و در فصل‌های بعدی نیز به تفصیل مورد بحث قرار می‌گیرد.

بنابراین مقایسه و تطبیق نمودارهای تجربی با توزیع نرمال یکی از قدمهای اولیه در تحیق علمی است.

این روش در فصل 11 ( توزیع کای اسکور) شرح داده می‌شود.

یکی از ساده‌ترین روش‌ها این است که مساحت قطعات مختلف سطح زیر منحنی تجربی با مقادیر مشابه در منحنی نرمال مقایسه گردد.

برای روشن شدن مطلب توضیح بیشتری داده می شود و مثالی نیز ذکر می گردد و سپس در این رابطه به بحث پیرامون سطوح متعارف منحنی نرمال پرداخته می شود.

همانگونه که گفته شد منحنی نرمال استاندارد و جدول مربوط به آن (Z) مورد خاصی از منحنی نرمال است که در آن و می باشد.

از طرفی ارقام و داده های آزمایشی زیادی یافت می گردند که دارای توزیع نرمال می باشند.

برای این گونه داده ها و توزیع ها نیز می توان در هر مورد و با استفاده از فرمول منحنی نرمال جداولی تهیه نمود و سطح زیر منحنی یا احتمال وقوع پیشامدها را با استفاده از آنها مشخص ساخت.

ولی در این صورت با بی نهایت جدول روبرو خواهیم بود.

برای حل مسائلی نظیر آنچه در مورد منحنی نرمال استاندارد شرح داده شد، ولی در مورد توزیع تجربی (نرمال غیراستاندارد) بهترین روش این است که ابتدا داده های این توزیع را به توزیع نرمال استاندارد تبدیل نمائیم و سپس با استفاده از جدول Z احتمال وقوع وقایع را محاسبه نمائیم.

توزیع نرمال به صورت تقریبی از توزیع دو جمله ای اگر تعداد آزمایش، n بزرگ باشد، محاسبه فراوانیها و احتمالها با استفاده از قضیه دو جمله ای خسته کننده می شود.

از آنجائی که بسیاری از مسائل عملی شامل تعداد زیادی از آزمایشهای مکرر است، پیدا کردن یک روش سریعتر برای محاسبه احتمالها حائز اهمیت است.

چنین روشی به وسیله توزیع نرمال که مهمترین توزیع احتمال پیوسته بوده و توزیعی است که بیشتر نظریه آماری براساس آن پی ریزی شده است، مهیا می گردد.

از شکل 7-1 پیداست که با زیاد شدن nانتهای مستطیل های هیستوگرام به یک منحنی زنگدیس نزدیک می شوند.

این منحنی فراوانی حدی که با افزایش بیشتر و بیشتر n به دست می آید، منحنی فراوانی نرمال نامیده می شود.

استفاده از احتمال برای اندازه گیری عدم قطعیت و تغییرپذیری به صدها سال قبل می‌رسد.

احتمال، کاربردهایی در زمینه های متنوع از قبیل پزشکی، قماربازی، پیش بینی هوا، و قانون دارد.

مفهوم شانس و عدم قطعیت به اندازه تمدن بشری قدمت دارد.

مردم همواره با عدم قطعیت، پیش بینی هوا، ذخیره غذایی و سایر عوامل محیطی خود دست به گریبان بوده و همواره سعی داشته اند از این عدم قطعیت و آثار مترتب به آن بکاهند.

حتی ایده قماربازی، تاریخی طولانی دارد، حدود 3500 سال قبل از میلاد مسیح، بازی های متکی بر شانس بوده است.

این بازیها به وسیله استخوانهایی انجام می شد که می توان آنها را شکل های اولیه تاس دانست، این وسیله ها در مصر و جاههای دیگر معمول بوده اند.

تاس های مکعب شکل که نهایتاً به صورت تاس های مدرن امروزی تغییر شکل دادند، در معابد مصر در سالهای 2000 قبل از میلاد مسیح به دست آمده اند.

می‌دانیم که قمار با تاس از آن زمانها بسیار رایج بوده است و نقش مهمی در توسعه علم احتمال ایفا کرده است.

امروزه این واقعیت مورد توافق دانشمند است که نظریه ریاضی احتمال ابتدا به وسیله ریاضی دانان فرانسوی بلز پاسکال (1662-1623) و پیرفرما (142-1601) آغاز شد.

این افراد می خواستند احتمال دقیق مساله را در بازی قمار با تاس به دست آورند.

مسائلی که آنها حل کردند حدود 300 سال از مسائل شاخص آن روزگار بود.

قبل از این افراد، احتمالات عددی ترکیبات مختلف تاس به وسیله گیرولامبو کاردانو (1576-1501) و گالیلوگالیله (1642-1564) محاسبه شده است.

از قرن هفدهم به بعد نظریه احتمال به طور پیوسته توسعه یافت و در زمینه های گوناگون به کار رفت.

امروزه نظریه احتمال ابزار مهمی در زمینه هایی از قبیل مهندسی، پزشکی و مدیریت است.

پژوهشگران بسیاری بطور فعال درگیر دستیابی به کاربردهای جدید احتمال در زمینه هایی مانند پزشکی، تحولات هواشناسی، عسکبرداری ماهواره‌ای، تجارت، پیش بینی زلزله، رفتار انسانی، طراحی سیستم کامپیوترها، اقتصاد و حقوق هستند.

در بسیاری از مراحل قانونی پیگیری مسائلی از قبیل تخلفات یا تبعیض شغلی، هر دو طرف محاسباتی مبتنی بر آمار و احتمال برای حمایت از موضوع خود ارائه می کنند.

تجربه ای که غالباً تعداد موفقیت را در زمان یا ناحیه مشخص شده ای ارائه می‌دهد بنام «تجربه پواسان» نامیده می شود.

فاصله زمانی داده شده می تواند هر طول زمانی نظیر دقیقه، روز، ماه یا حتی سال باشد.

ازاینرو تجربه پواسان ممکن است ملاحظاتی را برای متغیر تصادفی X تولید نماید که نمایشگر تعداد تلفن هایی باشد که به یک فرد در ساعت می شود، تعداد روزهایی که مدارس بواسطه برف در زمستان تعطیل می شوند، یا تعداد مسابقات بیس بالی که بواسطه باران بتعویق می افتد و یا نظایر آن.

ناحیه مشخص شده ممکن است فاصله خطی، مساحت، حجم یا حتی قطعه ای از فلز باشد.

در اینحالت X ممکن است تعداد موشهای صحرایی در هر هکتار.

تعداد باکتری در یک کشت میکربی یا تعداد غلط های تایپی در هر صفحه باشد.

یک تجربه پواسان، تجربه ایست که دارای خواص زیر باشد: 1- میانگین تعداد موفقیت یعنی که در یک زمان یا مکان مشخص شده اتفاق می‌افتد دانسته شده است.

2- احتمال اینکه یک موفقیت تنها در فاصله کوتاه زمانی یا ناحیه کوچکی اتفاق بیفتد متناسب با طول زمانی یا اندازه ناحیه داده شده است و بستگی به تعداد موفقیت در خارج از این فاصله زمانی و مکانی ندارد.

3- احتمال اینکه بیش از یک موفقیت در چنین فاصله کوتاه زمانی با این ناحیه کوچک مکانی اتفاق بیفتد قابل اغماض است.

تعریف: تعدادموفقیت X در تجربه پواسان| متغیر تصادفی پواسان نامیده می شود.

توزیع احتمال متغیر پواسان بنام «توزیع پواسان» نامیده می شود و با نمایش داده می شود، زیرا مقادیر آن بستگی به یعنی حد متوسط تعداد موفقیتی که در فاصله زمانی داده شده یا ناحیه مشخص شده قرار می گیرد دارد.

روش بدست آوردن فرمول برای براساس خواص لیست شده جهت تجربه پواسان بصورت فوق.

خارج از محدوده این کتاب است.

ما نتایج را بصورت تعریف زیر لیست می‌کنیم.

توزیع پواسان: توزیع احتمال متغیر تصادفی پواسان یعنی X، که آن نمایشگر تعداد موفقیت اتفاقی در فاصله زمانی داده شده یا ناحیه مشخص شده است بصورت زیر می‌باشد.

x=0,1,2,… که در آن میانگین تعداد موفقیت اتفاقی در فاصله زمانی داده شده یا ناحیه مشخص شده است و… e=2.71828 است.

منحنی نرمال مهمترین توزیع احتمال پیوسته در سرتاسر علم آمار «توزیع نرمال» است.

نمودار آن بنام «منحنی نرمال» نامیده شده و همشکل زنگ است مانند منحنی شکل 6-1، که نمایشگر وقوع اتفاقات زیادی در طبیعت از جمله صنعت و تحقیقات است.

درسال 1733 شخصی بنام DeMoivre فرمول ریاضی منحنی نرمال را بدست آورد.

ظهور این مطلب میدان وسیعی را برای آمار استقرایی باز نمود.

توزیع نرمال غالباً بنام «توزیع گوسین» با افتخار گوس (1855-1777) نامیده می شود که او هم معادله آنرا از روی مطالعه خطای حاصل از اندازه گیری مکرر کیفیت یک کمیت بدست آورد.

معادله ریاضیتوزیع احتمال متغیر نرمال پیوسته، بستگی بدو پارامتر و دارد که بترتیب حد متوسط و انحراف معیار آن هستند.

از اینرو تابع چگالیX را با نشان می دهند.

منحنی نرمال: اگر X یک متغیر تصادفی نرمال با حد متوسط و پراش باشد.

در آنصورت معادله منحنی نرمال بصورت زیر خواهد بود.

که در آن e=2.71828...

و است.

وقتیکه مقادیر و مشخص شده باشند، منحنی نرمال دقیقاً مشخص شده است.

بعنوان مثال، اگر =50 و =5 باشد، در آنصورت مختصات n(x;50,5).

بخاطر داریم که سطح زیر منحنی احتمال باید برابر 1 گردد و در نتیجه اگر مجموعه ملاحظات دارای وسعت تغییرات بیشتری باشند منحنی مربوطه گسترده تر ولیکن کوتاهتر خواهد بود.

1- «نما» که عبارت از نقطه ای است که منحنی در آن نقطه ماکزیمم است، در نقطه اتفاق می افتد.

2- منحنی نسبت به خط عمودی متقارن است.

3- در دو طرف حد متوسط منحنی به مجانب خود یعنی محور Xها نزدیک می‌گردد.

4- سطح محصور بین منحنی ومحور طولها برابر 1 است.

بسیاری از متغیرهای تصادفی دارای توزیع احتمالی هستند که بطور شایسته ای با توزیع نرمال قابل توجیه اند، مشروط بر آنکه و آنها مشخص شده باشند.

در این فصل ما فرض خواهیم نمود که این دو پارامتر دانسته شده است، زیرا که ممکن است از اطلاعات قبلی بوده باشد.

بعداً، در فصل 7 روشهائی را خواهیم آموخت که با استفاده از مفروضات تجربیات انجام شده مقادیر و را تخمین بزنیم.

سطح زیر منحنی نرمال می دانیم که منحنی توزیع احتمال یا تابع چگالی هر متغیر تصادفی طوری بنا نهاده شده است که سطح زیر منحنی در فاصله x=x1 و x=x2 برابر احتمال آن باشد که مقدار متغیر تصادفی X بین x=x1 و x=x2 قرار گیرد.

واضح است که ساختن جدولی برای ارائه سطح زیر منحنی نرمال جهت هر مقدار و کاری فوق العاده دشوار و در عین حال بیهوده ای است.

مع الوصف اگر بخواهیم از محاسبه انتگرال فوق العاده مشکلی نیز بپرهیزیم باید از جدول استفاده نماییم.

خوشبختانه با یک تغییر متغیر می توانیم هر توزیع نرمالی را به توزیع «نرمال استانداردی» که دارای حد متوسط صفر و پراش1 است تبدیل نمائیم.

این تغییر متغیر بصورت زیر است: حد متوسط Z برابر صفر است، زیرا و پراش آن برابر است با تعریف: توزیع متغیر تصادفی نرمال، که دارای حد متوسط صفر و انحراف معیار 1 باشد بنام توزیع نرمال استاندارد است.

وقتیکه X بین مقادیر x=x1 و x=x2 است متغیر تصادفی Z بین مقادیر مربوطه و قرار خواهد گرفت.

چونکه تمام مقادیر X که بین x1 و x2 قرار می گیرند، دارای مقدار معادلی از z هستند که بین z1 و z2 واقع خواهند شد.

سطح زیر منحنی X بین x=x1 و x=x2 مطابق شکل 6-7 برابر سطح زیر منحنی Z بین z=z1 و z=z2 خواهد بود.

از اینرو داریم.

حال ما تعداد جدولهای بیشمار مذکور در فوق را به یک جدول تنزل می دهیم که همانا جدول توزیع نرمال استاندارد است.

جدول A.4 سطح زیر منحنی نرمال استاندارد مربوط به Pr(Z مثال 6-1: برای توزیع نرمال داده شده ای با و احتمال اتفاق X بین مقادیر 45 تا 62 را بدست آورید.

حل: مقادیر مربوط به x1=45 و x2=62 را بدست می آوریم.

توزیع پواسون در آزمایشهای بسیاری، زمانهای وقوع ورودیهای تصادفی مورد توجه می باشد.

مثالهایی از این دست عبارتند از ورود مشتریها برای سرویس، ورود تلفنها به یک مرکز تلفن، وقوع طوفان و سایر وقایع طبیعی و غیره.

خانواده توزیعهای پواسون برای مدلبندی تعداد چنین ورودیهایی در یک دوره زمانی ثابت، مفید است.

توزیع پواسون در تقریب توزیعهای دو جمله ای با احتمال پیروزی بسیار کم، نیزمفید است.

تعریف و ویژگیهای توزیع پواسون تابع احتمال.

فرض کنید X متغیری تصادفی با توزیع گسسته و مقادیر صحیح نامنفی باشد.

می گوییم X دارای توزیع پواسون با میانگین است اگر p.f.

متغیر X به صورت زیر باشد: واضح است که به ازاء هر x، .

برای اینکه تحقیق کنیم تعریف شده در برابری (5-4-1) در شرایط p.f.

صدق می کند یا خیر، باید ثابت کنیم که از حسابان مقدماتی می دانیم که به ازاء هر ، بنابراین میانگین و واریانس: گفتیم که توزیعی که p.f.

آن به صورت برابری (5-4-1) باشد توزیع پواسون با میانگین نامیده می شود.

برای توجیه این مطلب باید ثابت کنیم که در واقع میانگین این توزیع است.

میانگین این توزیع یعنی E(X) با سری نامتناهی زیر حساب می شود: چون جمله متناظر با x=0 در این سری برابر 0 است، می توانیم این جمله را حذف و جمع بندی را از x=1 شروع کنیم.

بنابراین: اگر قرار دهیم y=x-1 آنگاه بنابراین (5-4-3) مجموع این سری برابر 1 است، پس .

واریانس توزیع پواسون را می توان با روشی مشابه با روشی که در بالا بیان شد حساب کرد.

در ابتدا به محاسبه امید زیر می پردازیم: با قرار دادن y=x-2 خواهیم داشت: چون ، از (5-4-4) نتیجه می شود که .

بنابراین: بنابراین در توزیع پواسون با p.f.

ارائه شده در برابری (5-4-1) ثابت کردیم که میانگین و واریانس هر دو برابر هستند.

تابع مولد گشتاورها: حال ، توزیع پواسون را که p.f.

آن مطابقبرابری (5-4-1) است حساب می کنیم.

به ازاء هرمقدار از برابری (5-4-2) نتیجه می شود که برای .

میانگین و واریانس و همچنین سایر گشتاورهای توزیع پواسون را می توان به کمک m.g.f داده شده در برابری (5-4-6) حساب کرد.

در اینجا به محاسبه گشتاورهای دیگر توزیع پواسون نخواهیم پرداخت، اما از m.g.f توزیع پواسون برای اثبات ویژگی زیر درباره این توزیع استفاده می کنیم.

تقریب پواسون برای توزیع دو جمله ای حال ثابت می کنیم که اگر در توزیع دو جمله ای n بزرگ و p نزدیک به صفر باشد، آنگاه می توانیم از تقریب پواسون با میانگین np برای این توزیع دو جمله ای استفاده کنیم.

فرض کنید متغیر تصادفی X دارای توزیع دو جمله ای با پارامترهای n و p باشد، و به ازاء هر x P(X=x)=f(x|n,p) در این صورت بنابر برابری (5.

2.

3) برای ,n … و 2 و 1 = x داریم: اگر قرار دهیم آنگاه را می توانیم به صورت زیر بنویسیم: (5-4-7) حال اگر و به قسمتی که همواره مقدار حاصلضرب np مساوی مقدار ثابت باقی بماند، آنگاه بنابر آنکه و مقدار ثابتی هستند داریم: به علاوه از حسابان مقدماتی می دانیم که : (5-4-8) حال از برابری (5-4-7) نتیجه می شود که به ازاء هر عدد صحیح و مثبت x (5-4-9) و سرانجام برای از برابری (5-4-8) نتیجه می شود که رابطه (5-4-9) برای نیز برقرار است.

پس رابطه (5-4-9) به ازاء هر عدد صحیح و نامنفی x برقرار است.

عبارت سمت راست رابطه (5-4-9) p.f.

، توزیع پواسون با میانگین است.

بنابراین اگر n بزرگ و p نزدیک صفر باشد،‌مقدار از توزیع دو جمله ای را می توان برای با از توزیع پواسون با میانگین تقریب زد.

تابع چگالی پواسن تابع چگالی پواسن ارتباط نزدیکی با تابع چگالی دو جمله ای دارد.

به عبارت دیگر توزیع پواسن حالتی از توزیع دو جمله ای است که در آن n خیلی بزرگ و p خیلی کوچک باشد و : به علاوه اگر k یعنی تعداد موفقیت های مورد نظر، بسیار کوچکتر از n باشد، فرمول توزیع دو جمله ای بصورت زیر به سمت توزیع پواسن میل می کند: و با توجه به اینکه می توان نوشت: و رابطه ای که برای p(k) بدست آوردیم، می شود.

رابطه 4-2 تابع چگالی توزیع پواسن می باشد، که در آن متوسط تعداد موفقیت در یک فاصله و p(k) احتمال وقوع k موفقیت در آن فاصله می باشد.

رابطه 4-2 نشان می دهد که تابع چگالی متغیر تصادفی پواسن ، با پارامتر کاملا مشخص می گردد.

با توجه به تقریب های بکار برده شده ، برای بدست آوردن 4-2 شاید به درستی آن تردید داشته باشیم.

برای رفع این تردید به مثال زیر توجه نمائید.

فرض کنید متغیر تصادفی مقادیر 0 و 1 و 2 و 3 و … را با احتمال های زیر انتخاب می کند: که در آن مقداری است ثابت.

تابع بخش متغیر تصادفی بصورت یک پلکان بوده که تعداد بینهایت پله دارد و در هر نقطه به طول عدد درست و نامنفی n ، یک جهش دارد.

اندازه این جهش در نقطه‌ برابر است با و برای داریم .

متغیر تصادفی تابع بخشی بصورت زیر داشته باشد، گوئیم بصورت نرمال یا گوسی بخش شده است: که در آن و بوده و a و و C مقادیر ثابتی هستند.

رابطه موجود میان را بعداً تعیین کرده و مفهومهای a و را بیان خواهیم نمود.

توابعی که به صورت نرمال بخش شده اند در نظریه‌احتمال و کاربردهای آن نقش بسیار مهمی دارند.

قضیه 7-1 در توزیع دو جمله ای برای N نمونه هر کدام مرکب از n آزمایش که در آنها احتمال موفقیت در یک آزمایش p باشد، اگر مقدار n زیاد شود، هیستوگرام به یک منحنی نزدیک می شود که منحنی نرمال نامیده می شود و دارای معادله زیر است: (7-1) که در آن : =m میانگین توزیع دو جمله ای = np انحراف معیار توزیع دو جمله ای = =e پایه لگاریتم طبیعی = تقریباً 71828/2 = تقریباً 14159/3 =Y فراوانی وقوع هر مقدار x : اثبات این قضیه به علت احتیاج به دانستن روشهای ریاضی که از حدود این درس خارج است، حذف می شود.

در شکل 7-2 هیستوگرام شکل 6-1 با منحنی نرمال مربوط به آن نشان داده شده است.

با وجود بزرگ نبودن عدد 9n= توافق (منحنی نرمال با هیستوگرام) قابل توجه است.

اگر فراوانی نسبی (یا احتمال) وقوع یک مقدار x را با p نشان دهیم، P=Y/N است و (7-1) می تواند به صورت زیر نوشته شود.

(7-2) همچنین برای اندازه گیری انحرافات x-m بر حسب یک متغیر جدید را معرفی می نمائیم.

که اندازه انحراف را بر حسب انحراف معیار یا واحدهای استاندارد شده نشان می دهد.

عبارت داده شده بوسیله (7-4) را معمولا انحراف نرمال نیز می نامند.

با بکار بردن (7-4) می توانیم (7-3) را به صورت زیر بنویسیم.

(7-5) که منحنی احتمال نرمال استاندارد شده نامیده می شود.