محاسبه متوسط ممان مغناطیسی هسته در یک میدان H و دمای T
Application of canonical distribution in (Nuclear Magnetism)
ماده را در نظر می گیریم که دارای N0 هسته در واحد حجم باشد. و در یک میدان مغناطیسی H قرار گرفته باشد.
هر هسته دارای اسپین و ممان مغناطیسی است.
ممان متوسط مغناطیسی ماده (در جهت H) در درجه حرارت T چقدر است؟
فرض می کنیم که هر هسته دارای برهم کنش ضعیف با سایر هسته ها و سایر درجات آزادی است. همچنین یک هسته را بعنوان سیستم کوچک در نظر می گیریم و بقیه هسته ها و سایر درجات آزادی را بعنوان منبع حرارتی می گیریم.
هرهسته می‌تواند دارای دوحالت باشد+یا هم‌جهت بامیدان واقع در تراز انرژی پائین
یا در خلاف جهت میدان واقع در تراز انرژی بالا
(Cثابت تناسب است )
چون این حالت دارای انرژی متر است پس احتمال یافتن هسته در آن بیشتر است.
از طرفی احتمال یافتن هسته در حالت تراز بالای انرژی برابر است با
و چون این حالت دارای انرژی بیشتری است پس احتمال یافتن هسته در آن کمتر است. (چون تعداد حالات بیشتر است با افزایشE، افزایش می یابد و ذره شکل پیدا می شد در حالت بخصوص)
و چون احتمال یافتن هسته در حالت + بیشتر است پس ممان مغناطیسی هسته نیز باید در این جهت باشد.
با توجه به دو رابطه های مقابل مهمترین متغیر در این دو رابطه که نسبت انرژی مغناطیسی به انرژی حرارتی را نشان می دهد پارامتر زیر می باشد.
که نسبت انرژی مغناطیسی به انرژی حرارتی را نشان می دهد پارامتر زیر می باشد:
واضح است که
اگر
نمای هر دو e یعنی احتمال اینکه هم جهت با H باشد برابر با احتمال اینکه در خلاف جهت H باشد.
در اینصورت تقریباً کاملاً بطور نامنظم جهت گیری می کند بطوریکه:
از طرف دیگر اگر
اگر احتمال هم جهت بودن ؛ H بیشتر از خلاف جهت است
تمام این نتایج کیفی را به نتایج کمی تبدیل می کنیم.
بوسیله محاسبه واقعی متوسط
Magnetization mean magnetization per unit nolume in the direction of H
حالا چک کنیم که آیا استدلالهای کیفی قبلی را نمایان می کند؟
اگر
اگر
مستقل از H است که ثابت تناسب است X(chay)ij که به آن پذیرایی ماده مغناطیسی گفته می شود. Magnetic Susceptibility of Substance
X برحسب کمیات میکروسکوپیک و اینکه باد، رابطه عکس دارد به قانون کوری معروف است Curie’s Law
از طرف دیگر
مستقل از H است یا T اگر و مساوی با Mmax مغناطیسی شدن max of magnetization که ماده می تواند نمایش بدهد.
بستگی کامل متوسط مغناطیسی شدن به دمای T و میدان مغناطیسی H در شکل زیر نشان داده شده است.
منحنی زیر منحنی tanhy است که اگر y با نسبت کمتر از یک باشد آنگاه بستگی به مقدار H افزایش می یابد و اگر باشد این نسبت 0.63 است و اگر بیشتر از یک باشد آنگاه مغناطیس شدن به حالت اشباع و ماکزیمم خود می‌رسد.
متوسط مغناطیس شدن
برای مشاهده رزونانس در یک ماکروسکپی سیستمی را در نظر می گیریم که هسته‌های آن دارای
چون تعداد زیادی هسته در نمونه ماکروسکپی وجود دارند، تعداد هسته های در حالتهای ms برابر را با مشخص می کنیم.
تعداد کل اسپینها یعنی N ثابت است ولی بکار بردن یک میدان متناوب تحریک باعث تغییر در N+ یا N- بخاطر انتقالهایی که صورت می گیرد می شود.
اگر احتمال انتقال در واحد زمان از حالت به را با
اگر احتمال انتقال در واحد زمان از حالت به را با
سپس می توانیم معادله دیفرانسیل تغییر در جهت را به شکل زیر نمایش دهیم.
از آنجا که در همان میزانی است که سپس مطابق با تئوری
بعد از بحث موقعیتهای بسیار که منجر به شرط جهت تدریس
اگر تفاوت تعداد در دو سطح را با n نمایش دهیم
و مجموع تعداد در دو سطح را با N نمایش دهیم
و اگر در معادله مقادیر فوق را استفاده می کنیم
حل این معادله
n(0) مقدار n در لحظه t=0 است که در واقع
n(0) تفاوت تعداد در لحظه و n(t) تفاوت تعداد در زمان t
باید توجه داشت که اگر در ابتدا یک اختلاف تعداد وجود داشته باشد. نهایتاً این امتداد تحت ایجاد انتقال از بین می رود.
میزان جذب انرژی یعنی از طریق محاسبه کاهش تعداد اسپینی که در واحد زمان از انرژی پائین به انرژی بالا می روند از تعدادیکه از بالا به پائین می روند بدست می آید.
انرژی انتشاری در این پروسه برابر است با:
بنابراین برای داشتن یک انرژی جذبی باید n مخالف صفر باشد. یعنی یک اختلاف در تعداد وجود داشته باشد.
مشاهده می کنیم که اگر سطح بالا خیلی Populatool بوده یعنی تعدادش نسبت به سطح پایین بسیار زیاد باشد، آنگاه جذب خالص انرژی net absorption energy است.
یعنی سیستم بیشتر از آنکه انرژی دریافت کند انرژی پس می دهد که نمونه های آن در محدوده امواج رادیویی نیروها
masers (microwave amplification by stimu lated emission of radiation) or lasers (for light amplification)
هستند.
در معادله می بینیم که اگر W=0 یعنی میدان مغناطیسی متناوب را اعمال می‌کنیم که همان عامل انتقال انرژی است را از بین می بریم آنگاه خواهد شد. به این معنی که تعداد تغییری نخواهد کرد.
از طرف دیگر زمانیکه یک میدان ایستا Static fiold را به یک ماده غیر مغناطیس اعمال کنیم آنگاه باید انتظار داشته باشیم که آن ماده مغناطیس شود.
چون ممانهای مغناطیسی هسته بیشتر تمایل دارند که همه با میدان شدند بطوریکه N+ بزرگتر از N- است.