دانلود مقاله کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار و انتگرال کانولوشن

کاربرد تبدیل لاپالس در تحلیل مدار 16-1- مقدمه تبدیل لاپالس دو ویژگی دارد که آن را به ابزاری جالب توجه در تحلیل مدارها تبدیل کرده است.

نخست به کمک آن می توان مجموعه ای از معادلات دیفرانسیلی خطی با ضرایب ثابت را به معادلات چند جمله ای خطی تبدیل کرد.

دوم، در این تبدیل مقادیر اولیه متغیرهای جریان و ولتاژ خود به خود وارد معادلات چند جمله ای می شوند.

بنابراین شرایط اولیه جزء لاینفک فرایند تبدیل اند.

اما در روشهای کلاسیک حل معادلات دیفرانسیل شرایط اولیه زمانی وارد می شوند که می خواهیم ضرایب مجهول را محاسبه کنیم.

هدف ما در این فصل ایجاد روشی منظم برای یافتن رفتار گذرای مدارها به کمک تبدیل لاپلاس است.

روش پنج مرحله ای بر شمرده شده در بخش 15-7 اساس این بحث است.

اولین گام در استفاده موثر از روش تبدیل لاپلاس از بین بردن ضرورت نوشتن معادلات انتگرالی –دیفرانسیلی توصیف کننده مدار است.

برای این منظور باید مدار هم از مدار را در حوزه s به دست آوریم.

این امر به ما امکان می دهد که مداری بسازیم که مستقیماً در حوزه تحلیل شود بعد از فرمولبندی مدار در حوزه sمی توان از روشهای تحلیلی بدست آمده (نظیر روشهای ولتاژ گره، جریان خانه و ساده سازی مدار) استفاده کرد و معادلات جبری توصیف کننده مدار را نوشت.

از حل این معادلات جبری، جریانها و ولتاژهای مجهول به صورت توابعی گویا به دست می آیند که تبدیل عکس آنها را به کمک تجزیه به کسرهای ساده به دست می اوریم.

سرانجام روابط حوزه زمانی را می آزماییم تا مطمئن شویم که جوابهای به دست امده با شرایط اولیه مفروض و مقادیر نهایی معلوم سازگارند.

در بخش 16-2- هم از عناصر را در حوزه s به دست می آوریم.

در شروع تحلیل مدارهای حوزه s باید دانست که بعد ولتاژ تبدیل شده ولت ثانیه و بعد جریان تبدیل شده آمپر ثانیه است.

بعد نسبت ولتاژ به جریان در حوزه s ولت بر آمپر است و بنابراین در حوزه s یکای پاگیرایی ( امپدانس) اهم و یکای گذارایی ( ادمیتانس) زیمنس یا مو است.

16-2- عناصر مدار در حوزه s روش به دست آوردن مدار هم از عناصر مدار در حوزه s ساده است.

نخست رابطه ولتاژ و جریان عنصر در پایانه هایش را در حوزه زمان می نویسم.

سپس از این معادله تبدیل لاپلاس می گیریم به این طریق رابطه جبری میان ولتاژ و جریان در حوزه s به دست می آید.

سرانجام مدلی می سازیم که رابطه میان جریان و ولتاژ در حوزه s را برآورد سازد.

در تمام این مراحل قرارداد علامت منفی را به کار می بریم.

نخست از مقاومت شروع میکنیم، بنا به قانون اهم داریم (16-1) از آنجا که R ثابت است، تبدیل لاپلاس معادله (16-1) چنین است .

(16-2) V=RI که در آن بنا به معادله (16-2) مدار هم ارز یک مقاومت در حوزه s مقاومتی برابر R اهم است که جریان آن Iآمپر – ثانیه و ولتاژ آن V ولت –ثانیه است.

مدارهای مقاومت در حوزه زمان و حوزه بسامد در شکل 16-1 دیده می شود به یاد داشته باشید که در تبدیل مقاومت از حوزه زمان به حوزه بسامد تغییری در آن ایجاد نمی شود.

القاگری با جریان اولیه Io در شکل 16-2 آمده است.

معادله ولتاژ و جریان آن در حوزه زمان چنین است.

شکل 16-1- مقاومت در الف) حوزه زمان ،ب) حوزه بسامد.

(تصاویر در فایل اصلی موجود است) شکل 16-2- القا گر L هانری با جریان اولیه Io آمپر.

در حوزه زمان چنین است (تصاویر در فایل اصلی موجود است) (16-3) پس از تبدیل لاپلاس گرفتن از معادله (16-3) داریم (16-4) به کمک دو مدار مختلف می توان معادله (16-4) را تحقق بخشید.

مدار هم از اول مداری است متشکل از یک امپدانس sL اهمی که با یک منبع ولتاژ مستقل ‎LIo ولت ثانیه ای متوالی است.

این مدار در شکل 16-3 دیده می شود در بررسی مدار هم ارز حوزه بسامدی شکل 16-3 توجه کنید که جهت ولتاژ منبع LIo بر مبنای علامت منفی مجود در معادله (16-4) است توجه به این نکته نیز اهمیت دارد که Io علامت جبری مخصوص به خود را دارد.

یعنی چنانچه مقدار اولیه I خلاف جهت مبنای I باشد آنگاه Io مقدار منفی دارد.

شکل 16-3 مدار هم ارز متوالی یک القاگرL هانری با جریان اولیه Io آمپر.

شکل 16-4- مدار هم ارزی موازی یک القا گر L هانری با جریان اولیه Io آمپر.

(تصاویر در فایل اصلی موجود است) مدار هم از دیگری که معادله (16-4) را برآورده، می سازد متشکل است از یک امپدانس SL اهمی که با یک منبع جریان مستقل Io/s آمپر ثانیه ای موازی است.

این مدار هم ارز در شکل 16-4 آمده است.

برای به دست آوردن مدار هم از شکل 16-4 راههای مختلفی موجود است.

یکی از این راهها حل معادله (16-4) نسبت به جریان I و ساخت مداری بر حسب معادله به دست آمده بنابراین (16-5) (تصاویر در فایل اصلی موجود است) به سادگی مشاهده می شود که مدار شکل 16-4 معادله (16-5) را برآورده می سازد دو راه دیگر به دست آوردن مدار شکل 16-4 عبارت اند از (1) به دست اوردن هم از نور تن مدار شکل (16-3، (2) به دست آوردن جریان القا گر بر حسب ولتاژ آن و گرفتن تبدیل لاپلاس از معادله به دست آمده این دو روش به صورت تمرین در مسائل 16-1 و 16-2 به خواننده واگذار می شود.

قابل توجه است که هرگاه انرژی اولیه ذخیره شده در القا گر صفر باشد یعنی اگر Io=o مدار هم ارز القا گر در حوزه بسامد به صورت القا گری با امپدانس sL اهم در می آید.

این مدار در شکل 16-5 آمده است.

برای خازنهای با بار اولیه نیز دو مدار هم ارز در حوزه s وجود دارد.

خازنی که با بار اولیه Vo ولت در شکل 16-6 دیده می شود.

جریان خازن چنین است.

شکل 16-5 مدار خوزه بسامدی القاگری با جریان اولیه صفر.

(تصاویر در فایل اصلی موجود است) شکل 16-6- خازنی C فارادی که تاVo ولت بار دار شده است.

(16-6) پس از تبدیل معادله (16-6) داریم یا (16-7) I=sCV-CVo از معادله فوق دیده می شود که جریان I در حوزه بسامد از دو جریان شاخه ای تشکیل می شود یکی از شاخه ها از یک گذارایی به مقدار sc مو و دیگری از یک منبع جریان مستقل CVo آمپر ثانیه ای تشکیل می شود.

این مدار هم ارز در شکل 16-7 آمده است.

از حل معادله (16-7) نسبت به V می توان مدار هم ارز متوالی خازن باردار را به دست آورد.

بنابراین داریم (16-8) مداری که در شکل 16-8 آمده است تحقق معادله (16-8) است.

در مدارهای هم ارز شکلهای 16-7 و 16-8، علامت جبری خود را دارد.

یعنی اگر جهت خلاف جهت مبنای باشد مقداری منفی خواهد بود.

اگر ولتاژ اولیه خازن صفر باشد مدارهای هم ارز ساده می شوند و تنها امپدانس sc/1 اهمی باقی می ماند که در شکل 16-9 آمده است.

شکل 16-7 مدار هم ارز موازی خازنی که تا ولت باردارشده است.

(تصاویر در فایل اصلی موجود است) شکل 16-8 مدار هم ارز متوالی خازنی که تا ولت باردارشده است.

(تصاویر در فایل اصلی موجود است) مدارهای حوزه بسامدی به دست آمده در این بخش در جدول 16-1 آمده اند.

کاربرد این مدارها در بخش 16-4 نشان داده خواهد شد.

16-3- تحلیل مدار در حوزه s پیش از بررسی مدارها در حوزه s به ذکر چند نکته می پردازیم که اساس تمام کارهای بعدی ماست.

نخست میدانیم که چنانچه در القا گر و خازنها انرژی اولیه نداشته باشیم رابطه ولتاژ و جریان آنها چنین است.

(16-9) V=ZI که در آن Z امپدانس (پاگیرایی) عنصر در حوزه s است.

به این ترتیب امپدانس مقاومت R اهم، امپدانس القا گر sL اهم، و امپدانس خازن sC/1 اهم است.

نکته ای که در معادله (16-9) آمده است، در شکلهای 16-1(ب)، 16-5، و 16-9 مشخص شده است.

گاه معادله (16-9) را قانون اهم در حوزه s می نامند.

عکس پاگیرایی، گذارایی، گذاراییها در حوزه s دقیقاً همان قواعد ترکیب آنها در حوزه فازبرداری است.

در تحلیل حوزه بسامدی می توان از ساده کردنهای متوالی و موازی و تبدیلهای ستاره – مثلث استفاده کرد.

نکته مهم دیگر این است که قوانین کبرشهف را می توان برای جریانها و ولتاژهای حوزه s به کار برد.

دلیل این امراین است که بنا به خواص تبدیل عملیات، تبدیل لاپلاس مجموع چند تابع در حوزه زمان برابر مجموع تبدیل لاپلاسهای یکایک توابع است( جدول 15-2 را ببینید) بنابراین از آنجا که جمع جبری جریانها در یک گروه در حوزه زمان صفر است، جمع جبری جریانهای تبدیل شده نیز صفر خواهد بود.

همچنین جمع جبری ولتاژهای تبدیل شده حول مسیری بسته صفر است.

قوانین کیرشهف در حوزه s چنین اند.

(16-10) ها ) جبری (16-11) V)=o ها) جبری نکته سوم مبتنی بر درک مفاهیم نهفته در دو نکته اول است.

ازآنجا که ولتاژ و جریان در پایانه های عناصر غیر فعال به وسیله معادلاتی جبری به هم مربوط می شوند و قانون کیرشهف همچنان برقرار است، پس کلیه روشهای تحلیل شبکه های مقاومتی را میتوان در تحلیل مدارها در حوزه بسامد به کار برد.

بنابراین حتی اگر در القا گرها و خازنها انرژی اولیه ذخیره شده باشد روشهای ولتاژ گره، جریان خانه، تبدیل منابع، هم ارزهای تونن- نورتن و روشهای معتبری هستند.

چنانچه در مدار انرژی اولیه ذخیره شده باشد باید معادله (16-9) را تغییر داد این تغییر بسیار ساده است و کافی است به کمک قوانین کیرشهف منابع مستقل لازم را با امپدانس عناصر موازی یا متوالی کرد.

نکته سوم مبتنی بر درک مفاهیم نهفته در دو نکته اول است.

16-4 چند مثال تشریحی برای نشان دادن چگونگی استفاده از تبدیل لاپلاس در تعیین رفتار گذرای مدارهای خطی با پارامترهای فشرده، مدارهای تحلیل شده در فصلهای 6،7و8 را به کار می بریم.

علت تحلیل این مدارهای آشنا این است که وقتی در یابیم نتایج به دست آمده با نتایج قبلی یکسان است، به توانایی خود در تحلیل مدارها به کمک روش تبدیل لاپلاس اطمینان می یابیم.

نخستین مداری که تحلیل خواهیم کرد مدار شکل 16-10 است.

بار اولیه خازن ولت است و می خواهیم روابط iو را در حوزه زمان به دست اوریم.

از آنجا که این مدار قبلا در فصل 6 تحلیل شده است می توانید پیش از پرداختن به تحلیل حاضر، بخش 6-3 را مرور کنید.

کار را با یافتنi شروع می کنیم.

برای تبدیل مدار شکل 16-10 به حوزه s دو مدار هم ارز برای خازن باردار وجود دارد.

از آنجا که مطلوب ما جریان است مدار هم ارز متوالی جالبتر است زیرا به کمک آن به مداری با تنها یک خانه در حوزه بسامد دست می یاییم.

شکل 16-10- مدار تخلیه خازن بنابراین مدار حوزه بسامدی شکل 16-11 را می سازیم.

از جمع ولتاژ ها حول خانه شکل 16-11 داریم.

(16-12) از حل معادله (16-12) نسبت به I داریم (16-13) رابطه I تابعی گویای سره از s است و با نگاهی به آن می تواند تبدیل عکس آن را به دست آورد (16-14) چون ، این رابطه همان رابطه جریان به دست آمده به کمک روشهای کلاسیک در فصل 6 است ( معادله 16-12 را ببینید).

اکنون ولتاژ را می یابیم.

البته وقتی جریان I معلوم باشد ساده ترین راه برای تعیین استفاده از قانون اهم است.

یعنی داریم.

شکل 16-11- مدار هم ارز حوزه بسامدی مدار شکل 16-10 (16-15) اکنون بدون اینکه نخست جریان I را پیدا کنیم، راهی برای پیدا کردن نشان می دهیم.

برای این منظور مدار شکل 16-10 را به کمک مدار هم ارز موازی خازن باردار به حوزه s تبدیل می کنیم.

علت استفاده از مدار هم ارز موازی در اینجا این است که به این طریق به مداری می رسیم که تنها یک ولتاژ گره دارد.

این مدار هم ارز حوزه بسامدی در شکل 16-12 آمده است.

معادله ولتاژ گره توصیف کننده مدار شکل 16-12 چنین است.

(16-16) از حل این معادله نسبت به V داریم (16-17) پس از گرفتن تبدیل عکس از معادله (16-17) همان رابطه معادله (16-12) به دست می آید یعنی داریم (16-18) هدف ما از تعیین با استفاده مستقیم از روش تبدیل این بود که نشان دهیم انتخاب مدار هم ارز در حوزه s به نوع پاسخ مطلوب بستگی دارد.

شکل 16-12 مدار هم ارز حوزه بسامدی مدار شکل 16-10 مدار RLC تحلیل شده در مثال 8-6 دومین مداری است که به تحلیل آن می پردازیم، این مدار دوباره در شکل 16-13 آمده است.

مطلوب ما یافتن رابطه IL است.

پس از اینکه منبع جریان ثابت به عناثر موازی اعمال می شود انرژی اولیه ذخیره شده در مدار صفر است.

مانند گذشته نخست مدار هم ارز را در حوزه بسامد به دست می آوریم.

این مدار هم ارز در شکل 16-14 آمده است.

توجه کنید که تبدیل منبع مستقل از حوزه زمان به حوزه بسامد چقدر ساده است.

برای تبیدل منابع به حوزه‌s کافی است.

تبدیل لاپلاس تابع حوزه زمانی منبع را به دست آوریم.

در این مسئله باز کردن کلید منجر به تغییری پله ای در جریان اعمالی به مدار می شود.

بنابراین منبع جریان در حوزه s برابر است با یا Idc/s برای یافتن IL نخست V را می یابیم و سپس از رابطه زیر رابطه IL را در حوزه s به دست می آوریم.

شکل 16-13- پاسخ پله یک مدار RLC موازی.

شکل 16-14- مدار هم ارز مدار شکل 16-13 در حوزه s (16-19) از جمع جریانهای خارج شونده از گره بالای مدار شکل 16-14 داریم (16-20) حال معادله (16-20) را نسبت به V حل می کنیم.

(16-21) با قرار دادن مقدار V در معادله (16-19) داریم.

(16-22) با قرار دادن مقادیر عددی Idc,C,L,R در معادله (16-22) داریم (16-23) قبل از تجزیه معادله (16-23) به کسرهای ساده، مخرج را به حاصلضرب عوامل تجزیه می کنیم.

پس داریم.

(16-24) در اینجا می توان به کمک قضیه مقدار نهایی و جوابی که این قضیه برای IL در پیش بینی می کند، رابطه IL را در حوزه بسامد آزمود.

نخست می دانیم که همه قطبهای IL، جز قطب مرتبه اول واقع در مبدا در نیمه چپ صفحه s جای دارند، بنابراین می توان قضیه مقدار نهایی را در این مسئله به کار برد.

از رفتار مدار می دانیم که پس از باز شدن کلید به مدت طولانی القا گر منبع جریان را اتصال کوتاه خواهد کرد.

بنابراین مقدار نهایی IL باید mA 24 باشد حد sIL وقتی چنین است.

(16-25) (از آنجا که ابعاد جریان در حوزه s آمپر ثانیه است، بعد sIL آمپر خواهد بود.) حال تابع معادله (16-24) را به کسرهای ساده تجزیه می کنم.

داریم.

(16-26) ضرایب این بسط چنین اند.

(16-27) (16-28) با قرار دادن مقادیر عددی 1k و2k در معادله (16-26) و گرفتن تبدیل عکس داریم.

(16-29) از آنجا که داریم جواب معادله (16-29) با جواب مثال 8-6 یکسان است.

برای بررسی صحت نتایج که به معادله (16-29) انجامیده است می توانیم غیر از مقایسه آن با نتایج مثال 8-6 به این طریق عمل کنیم که بررسی کنیم که آیا IL(o) و شرایط اولیه و رفتار معلوم مدار در حالت ماندگار را برآورده می سازد یا نه؟

مثال سومی که به کمک تبدیل لاپلاس پاسخ گذاری آن را بررسی می کنیم، مدار شکل 16-13 است که در آن به جای dc منبع سینوسی قرار داده ایم.

معادله منبع جریان چنین است.

(16-30) که در آن Im=24mA و کما کان فرض می کنیم انرژی اولیه ذخیره شده در مدار صفر است.

رابطه جریان منبع در حوزه s برابر است با (16-31) ولتاژ دو سر عناصر موازی چنین است (16-32) از قرار دادن معادله (16-31) در معادله (16-32) داریم (16-33) که از آن چنین به دست می آید.

(16-34) با قرار دادن مقادیر عددیIm.

C,L,R در معادله (16-34) داریم.

(16-35) حال مخرج معادله فوق را به حاصل ضرب عوامل تجزیه می کنیم (16-36) که در آن 40000=a، مقدار نهایی IL را نمی توان به کمک قضیه مقدار نهایی آزمود زیرا IL یک جفت قطب بر روی محور موهومی در دارد.

بنابراین باید نخست ILرا بیابیم و صحت این رابطه را به کمک رفتار معلوم مدار بررسی کنیم.

از تجزیه معادله (16-36) به کسرهای ساده داریم.

(16-37) مقادیر عددی ضرایب 1k و2k چنین است.

(16-38) با قرار دادن مقادیر عددی 1k و2k در معادله (16-37) و گرفتن تبدیل عکس از آن داریم.

(16-40) حال باید بررسی کنیم که آیا معادله (16-40) با شرایط اولیه مفروض و رفتار معلوم مدار (مقدار نهایی) پس از اینکه مدتها باز بماند هماهنگی دارد به ازای t=o بنابه معادله (16-40) جریان اولیه صفر است که با صفر بودن انرژی اولیه مدار سازگار است.

جریان حالت ماندگار بر مبنای معادله (16-40) چنین است.

(16-41) که می توان صحت آن را به کمک روش فاز برداری فصل 10 بررسی کرد و این امر به عنوان تمرین به خواننده واگذار می شود.

مدار مثال چهارم در شکل 16-15 آمده است.

می خواهیم جریانهای 1I و 2iرا پس از اینکه ناگهان منبع ولتاژ dc و V- 336 به مدار اعمال می شود به دست آوریم.

انرژی اولیه ذخیره شده در مدار صفر است.

این نوع پاسخهای گذر را نمی توان به کمک روشهای تحلیلی فصل 7 به دست آورد زیرا منجر به حل دستگاهی شامل دو معادله دیفرانسیل مرتبه اول می شود.

شکل 16-15- مدار RL چند خانه ای گرچه برای حل دستگاههای معادلات دیفرانسیلی در حوزه زمان روشهایی موجود است، در این کتاب ترجیح می دهیم که چنین راه حلهایی ارائه نشود.اما از آنجا که به کمک روش تبدیل لاپلاس معادله های دیفرانسیلی به معادله های جبری تبدیل می شوند، این مدار را از همین روش و نیز به کمک روش جریان خانه تحلیل می کنیم.

مدار هم ارز حوزه بسامدی مدار شکل 16-15 در شکل 16-16 آمده است.

دو معادله جریان خانه این مدار عبارت اند از (16-42) (16-43) به کمک روش کرامر1I و 2I را چنین به دست می آوریم.

(16-44) (16-45) شکل 16-16- مدار هم ارز مدار شکل 16-15 در حوزه s.

و (16-46) بنا به معادله های (16-44) ، (16-45) و (16-46) داریم.

(16-47) و (16-48) با تجزیه 1I و2I به کسرهای ساده داریم.

(16-49) (16-50) حال با گرفتن تبدیل عکس از معادله (16-40) و (16-50) روابط 1iو2iبه ترتیب چنین به دست می آیند.

(16-51) (16-52) اکنون باید صحت نتایج به دست آمده و همخوانی آنها را با مدار بررسی کنیم.

از انجا که در لحظه بسته شدن کلید، انرژی ذخیره شده در مدار موجود نبود، باید صفر باشند.

جوابهای به دست آمده با این مقادیر سازگارند.

پس از اینکه از بسته شدن کلید مدتی طولانی بگذرد، القاگرها به صورت اتصال کوتاه در می ایند.

بنابراین مقدار نهایی i1 و 2iبرابر خواهند بود با (16-53) و (16-54) جوابهای به دست آمده با این مقادیر نهایی نیز سازگارند.

آخرین بررسی که شامل مقادیر عددی نماها می شود، محاسبه افت ولتاژ در مقاومت با سه روش مختلف است.

با توجه به مدار مشاهده می کنیم که ولتاژ مقاومت ( اگر ولتاژ گره مقاومت بالایی را مثبت بگیریم) چنین است.

(16-55) اثبات این نکته را به خواننده واگذار می کنیم که اگر از هر کدام از شکلهای معادله (16-55) استفاده کنیم ولتاژ برابر است با پس مطمئن می شویم که جوابهای 1iو2iصحیح هستند.

در مثال بعدی چگونگی استفاده از هم ارز تونن در حوزه s نشان داده می شود.

مداری که قرار است تحلیل شود شکل 16-17 است.

می خواهیم پس از بسته شدن کلید جریان خازن را بیابیم.

انرژی ذخیره شده در مدار قبل از بسته شدن کلید صفر است.

برای به دست آوردن Ic نخست مدار هم ارز مدار شکل 16-17 را در حوزه s می سازیم و سپس هم ارز تونن مدار حوزه بسامدی را نسبت به پایانه های خازن به دست می آوریم.

مدار هم ارز حوزه بسامدی در شکل 16-18 آمده است.

ولتاژ توتن برابر با ولتاژ مدار- باز در پایانه های b,a است.

در شرایط باز بودن مدار ولتاژی در مقاومت نخواهد بود، پس شکل 16-17- مداری که به کمک آن استفاده از هم ارز توتن در حوزه s تشریح می شود.

شکل 16-18- هم ارز حوزه بسامدی مدار شکل 16-17.

(16-56) امپدانس توتن که از پایانه هایb,a دیده می شود برابر ترکیب متوالی مقاومت با ترکیب موازی و القا گر mH-2 است، بنابراین (16-57) به کمک هم ارز توتن مدار، شکل 16-18 به صورت مدار شکل 16-19 در می آید که با توجه به آن جریان خازن،Ic، برابر خارج قسمت ولتاژ تونن به امپدانس متوالی کل است.

بنابراین (16-58) که پس از ساده کردن داریم (16-59) از تجزیه معادله (16-59) به کسرهای ساده داریم (16-60) تبدیل عکس این معادله چنین است (16-61) شکل 16-19 مدار ساده شده مدار شکل 16-18 به کمک هم ارز تونن حال همخوانی این معادله را با رفتار مدار بررسی می کنیم.

بنا به معادله (16-61) داریم (16-62) این مقدار با توجه به مدار شکل 16-17 با جریان اولیه سازگار است زیرا جریان اولیه القاگر و ولتاژ اولیه خازن صفر است.

بنابراین جریان اولیه خازن 80/480 یا A6 است.

مقدار نهایی جریان صفر است که با معادله (16-61) نیز می خواند.

همچنین با توجه به معادله (16-61) هرگاهt از 30000/6 یا us200 بیشتر شود جهت جریان عوض می شود.

تغییر علامت Ic از آنجا ناشی می شود که پس از بسته شدن کلید خازن شروع به پر شدن می کند.

چون القا گر در اتصال کوتاه می شود خازن نهایتاً تخلیه می شود.

همین پر و تخیه شدن خازن علامت Ic را تغییر می دهد.

فرض کنید ولتاژ دو سر خازن، نیز مطلوب باشد می توان آن را با انتگرالیگری از Ic در حوزه زمان به دست آورد.

بنابراین (16-63) اگرچه انتگرالگیری از معادله (16-63) مشکل نیست اما می توان از محاسبه آن اجتناب کرد به این ترتیب که نخست رابطه، را در حوزه s به دست آوریم و آنگاه از آن تبدیل عکس بگیریم.

بنابراین داریم (16-64 ) که از آن داریم اثبات سازگاری معادله (16-65) با معادله (16-16) و نیز اثبات اینکه معادله (16-65) ملاحظاتی را که بنا به رابطه Ic در مورد مدار داشته ایم تأیید می کند، به خوانده واگذار می شود ( مسئله 16-22).

در ششمین و آخرین مثال چگونگی تحلیل پاسخ گذاری مداری شامل القا کتایی متقابل با استفاده از تبدیل لاپلاس تشریح می شود این مدار در شکل 16-20 آمده است کلید «وصل قبل از قطع» مدتها در وضعیت a بوده است .

در 0=t کلید ناگهان به وضعیت b می رود.

می خواهیم رابطه 2t در حوزه زمان را به دست آوریم.

نخست مدار شکل 16-20 را برای حالتی که کلید در وضعیت b است و به جای پیچک مغناطیسی تزویج شده مدار هم ارز T قرار گرفته، دوباره رسم می کنیم.

این مدار در شکل 165-21 آمده است.

حال مدار شکل 16-21 را به حوزه s تبیدل می کنیم.

برای چنین منظوری می دانیم که (16-66) (16-67) از آنجا که در نظر داریم از تحلیل خانه های در حوزه s استفاده کنیم.

برای القا گریاجریان اولیه، مدار هم ارز متوالی را به کار می بریم.

مدار حوزه بسامدی در شکل 16-22 آمده است که در آن تنها یک منبع ولتاژ مستقل ظاهر می شود.

این منبع در ساق عمودی T ظاهر می شود و نشان می دهد که جریان اولیه در القا گر H-2 برابر یا A5 است.

شکل 16-20- مداری که پیچکهای مغناطیسی جفت شده دارد.

شکل 16-21- مدار شکل 16-20 که به جای پیچکهای مغناطیسی تزویج شده آن مدار هم ارز T آمده است در شاخه ای که جریان 1iاز آن می گذرد منبع ولتاژ بوجودندارد.

زیرا 0=M – L1.

دو معادله خانه توصیف کننده مدار شکل 16-22 در حوزه بسامد عبارت اند از (16-68) و (16-69) از حل آنها نسبت به 2I داریم (16-70) از تجزیه معادله (16-70) به کسرهای ساده چنین به دست می آید.

(16-71) از معادله (16-71) مستقیما داریم.

شکل 16-22 مدار هم ارز مدار شکل 16-21 در حوزه s شکل 16-23- منحنی I مدار شکل 16-20 بر حسب t (16-72) از بررسی معادله (16-72) آشکار می شود که MS 31و 549 پس از اینکه کلید به وضعیت B می رود جریان I به مقدار اوج خود، mA13و 48 می رسد.

منحنی2I برحسب tدر شکل 16-23 آمده است.

این پاسخ با رفتار فیزیکی معلوم پیچکهای دارای تزویج مغناطیسی سازگار است.

جریان در القاگر L2 فقط وقتی می تواند موجود باشد که جریانی متغیر با زمان از القاگر1L بگذرد.

با کاهش 1I از مقدار اولیه خود یعنی از A5، 2iافزایش می یابد و پس از انیکه 1I به صفر نزدیک می شود 2I نیز به صفر نزدیک خواهد شد.

(مسئله 16-23) را ببینید.) 16-5 تابع ضربه در تحلیل مدار توابع ضربه به دلیل عمل قطع و وصل کلید و یا تحریک مدار با منبعی ضربه ای در مدارها ظاهر می شوند.

نخست به چگونهی تشکیل تابع ضر به در عمل قطع و وصل کلید می پردازیم.

در مدار شکل 16-24- در لحظه ای که کلید بسته می شود خازن 1C معادل ولتاژ اولیه باردار می شود بار اولیه 2C صفر است می خواهیم هرگاه R به صفر میل کند رابطه I(t) را بیابیم.

مدار هم ارز حوزه بسامدی در شکل 16-25 آمده است.

با توجه به شکل 16-25 مستقیماً می توان نوشت.) شکل 16-24- مدرای که به کمک آن طرز تکمیل تابع ضربه بررسی می شود.

شکل 16-25- مدار هم ارز مدار شکل 16-24 در حوزه s ( 16-73) که در آن Ce ظرفیت هم ارز ظرفیتهای 1C و 2C یعنی (2C+ 1C)/ 2C 1C است.

تبدیل عکس معادله (16-73) با یک نگاه چنین می شود.

(16-73) بنابه این معادله کاهش R جریان اولیه (/R ) را افزایش و ثابت زمانی ((RCe را کاهش می دهد.

بنابراین هرچه R کوچکتر شود مقدار اولیه جریان بزرگتر و افت آن سریعتر خواهد بود.

مشخصه های I در شکل 16-26 آمده است.

در اینجا پی به این نکته می بریم که جریان I با میل کردن R به سوی صفر به تابع ضربه نزدیک می شود زیرا مقدار اولیه I به بینهایت و عمر آن به صفر میل می کند.

حال کافی است ثابت کنیم که مساحت زیر منحنی تابع جریان مستقیم از R است.

از نظر فیزیکی کل مساحت زیر منحنی I بر حسب t همان کل باری است که پس از بسته شدن کلید به خازن 2C منتقل می شود، بنابراین داریم.

شکل 16-26- منحنی I(t) به ازای دو مقدار مختلف R (16-75) این معادله حکایت از آن دارد که کل بار منتقل شده به 2C مستقل از R و برابر Ce کولن است.

بنابراین با نزدک شدن R به صفر به ضرببه ای با شدت Ce میل می کند یعنی داریم.

(16-76) تغییر فیزیکی معادله (16-76) این است که هرگاه داشته باشیم 0=R، ناگهان بار معینی به 2C منتقل می شود.

با توجه به شکل 16-24 می توان دریافت که چرا وقتی R=0، انتقال بار ناگهانی خواهد بود.

وقتی R برابر صفر است و کلید را می بندیم ولتاژی به خازنی اعمال می شود که ولتاژ اولیه آن صفر است.

تنها در صورتی تغییری ناگهانی در ولتاژ خازن ایجاد می شود که انتقال بار ناگهانی باشد.

وقتی کلید بسته می شود، ولتاژ2C به نمی برد بلکه به ولتاژ (16-77) که مقدار نهایی آن است خواهد پرید.

روش به دست آوردن معادله (16-77) در مسئله 16-27 به خواننده واگذار می شود.

توجه کنید که اگر در آغاز R را برابر صفر بگیریم به کمک تحلیل از طریق تبدیل لاپلاس می‌توان پاسخ جریان به ضربه را به دست آورد.

(16-78) برای نوشتن معادله (16-78) از ولتاژهای خازنها در t=o- استفاده کرده ایم.

تبدیل عکس یک مقدار ثابت برابر است با حاصلضرب همان مقدار ثابت در تابع ضربه، بنابراین از معادله (16-78) داریم.

(16-79) توانایی تبدیل لاپلاس در پیش بینی دقیق وجود تابع ضربه از جمله دلایل کاربرد گسترده تبدیل لاپلاس در تحلیل رفتار گذرای مدارهای خطی پارامتر- فشرده نامتغیر با زمان است.

به عنوان مثالی دیگر که در آن چگونگی پدید آمدن پاسخ به ضربه در اثر عمل قطع و وصل بررسی می شود مدار شکل 16-27 را در نظر بگیرید.

در این مدار می خواهیم رابطه حوزه زمانی را پس از باز شدن کلید بیابیم.

توجه کنید که باز کردن کلید تغییری ناگهانی در جریان 2L پدید می آورد.

که باعث می شود در پاسخ تابع ضربه ظاهر شود.

مدار هم ارز حوزه بسامدی مدار شکل 16-27 وقتی کلید باز است در مدار شکل 16-28 آمده است.

مدار شکل 16-28 با توجه به این امر به دست آمده است که در t=o- جریان القا اگر H-3 برابر A 10 و جریان القا گر H-2 برابر صفر است.

شرایط اولیه را در t=0- در نظر گرفتیم زیرا حد پایینی انتگرال تبدیل لاپلاس ـ0 است.

شکل 16-27- مداری که در آن ولتاژی ضربه پدید می آید.

شکل16-28- مدار هم ارزی حوزه بسامدی مدار شکل 16-27.

رابطه Vo را می توان به کمک یک معادله ولتاژ گره به دست آورد.

از جمع جریانهای خارج شونده از گره میان مقاومت 15 و منبع –V30 داریم.

(6-80) از حل معادله فوق نسبت به Vo چنین به دست می آید.

(6-81) چون جمله دوم طرف راست معادله (16-81) تابعی گویا و ناسره است در تابع ضربه وارد خواهد شد.

از تقسیم صورت بر مخرج تابع ناسره به یک عدد ثابت و یک تابع گویای سره دست می یابیم.

(6-82) با توجه به معادله (16-82) و سپس تجزیه نخستین جمله راست معادله (16-81) به کسرهای ساده داریم (16-83) که از آن داریم آیا این جواب با عملکرد مدار سازگار است؟‌پیش از پاسخ دادن به این پرسش رابطه جریان را در به دست می آوریم.

پس از باز شدن کلید، جریان L1 برابر جریان L2 است.

اگر در خانه مدار شکل 16-28 جهت مبنای جریان را در جهت عقربه های ساعت بگیریم رابطه I در حوزه s چنین است : (16-85) تبدیل عکس معادله (16-85) چنین است (16-86) به این نکات توجه کنید : (1) پیش از باز شدن کلید جریان L1 برابر A10 و جریان L2 برابر 0A است، و (2) از معادله (16-86) می دانیم جریان در L2 , L1 برابر A6 است.

بنابراین جریان در L2 , L1 به ترتیب از A10 به A6 و از 0A به A6 تغییر ناگهانی دارد.

پس از آن جریان از مقدار اولیه A6 به صورت نمایی به مقدار نهایی A 4 کاهش می یابد.

با توجه به مدار نیز مقدار نهایی جریان برابر 25/100 یا A4 خواهد بود.

منحنیهای i1 و i2 در شکل 16-29 آمده است.

چگونه می توان هماهنگی این جهشهای ناگهانی جریان القاگر را با رفتار واقعی مدار بررسی کرد؟

نخست می دانیم که باز شدن کلید باعث متوالی شدن دو القاگر می شود.

هر ولتاژ ضربه دو سر القاگر –H3 باید با ولتاژ ضربه دو سر القاگر –H2 دقیقاً به حالت تعادل برسد زیرا جمع ولتاژهای ضربه حول مسیر بسته صفر است.

بنا به قانون فاراد ولتاژ القایی متناسب با تغییر حلقه زنی شار است.

.

بنابراین در این مدار متوالی تغییر حلقه زنی شار باید برابر صفر باشد.

به دیگر سخن کل حلقه زنی شار بلافاصله قبل و بعد از کلید زنی یکسان است.

در این مدار، حلقه زنی شار پیش از کلیدزنی برابر است با