دانلود مقاله کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار و انتگرال کانولوشن

کاربرد تبدیل لاپالس در تحلیل مدار

16-1- مقدمه

تبدیل لاپالس دو ویژگی دارد که آن را به ابزاری جالب توجه در تحلیل مدارها تبدیل کرده است. نخست به کمک آن می توان مجموعه ای از معادلات دیفرانسیلی خطی با ضرایب ثابت را به معادلات چند جمله ای خطی تبدیل کرد. دوم، در این تبدیل مقادیر اولیه متغیرهای جریان و ولتاژ خود به خود وارد معادلات چند جمله ای می شوند. بنابراین شرایط اولیه جزء لاینفک فرایند تبدیل اند. اما در روشهای کلاسیک حل معادلات دیفرانسیل شرایط اولیه زمانی وارد می شوند که می خواهیم ضرایب مجهول را محاسبه کنیم.

هدف ما در این فصل ایجاد روشی منظم برای یافتن رفتار گذرای مدارها به کمک تبدیل لاپلاس است. روش پنج مرحله ای بر شمرده شده در بخش 15-7 اساس این بحث است. اولین گام در استفاده موثر از روش تبدیل لاپلاس از بین بردن ضرورت نوشتن معادلات انتگرالی –دیفرانسیلی توصیف کننده مدار است. برای این منظور باید مدار هم از مدار را در حوزه s به دست آوریم. این امر به ما امکان می دهد که مداری بسازیم که مستقیماً در حوزه تحلیل شود بعد از فرمولبندی مدار در حوزه sمی توان از روشهای تحلیلی بدست آمده (نظیر روشهای ولتاژ گره، جریان خانه و ساده سازی مدار) استفاده کرد و معادلات جبری توصیف کننده مدار را نوشت. از حل این معادلات جبری، جریانها و ولتاژهای مجهول به صورت توابعی گویا به دست می آیند که تبدیل عکس آنها را به کمک تجزیه به کسرهای ساده به دست می اوریم. سرانجام روابط حوزه زمانی را می آزماییم تا مطمئن شویم که جوابهای به دست امده با شرایط اولیه مفروض و مقادیر نهایی معلوم سازگارند.

در بخش 16-2- هم از عناصر را در حوزه s به دست می آوریم. در شروع تحلیل مدارهای حوزه s باید دانست که بعد ولتاژ تبدیل شده ولت ثانیه و بعد جریان تبدیل شده آمپر ثانیه است. بعد نسبت ولتاژ به جریان در حوزه s ولت بر آمپر است و بنابراین در حوزه s یکای پاگیرایی ( امپدانس) اهم و یکای گذارایی ( ادمیتانس) زیمنس یا مو است.

16-2- عناصر مدار در حوزه s

روش به دست آوردن مدار هم از عناصر مدار در حوزه s ساده است. نخست رابطه ولتاژ و جریان عنصر در پایانه هایش را در حوزه زمان می نویسم. سپس از این معادله تبدیل لاپلاس می گیریم به این طریق رابطه جبری میان ولتاژ و جریان در حوزه s به دست می آید. سرانجام مدلی می سازیم که رابطه میان جریان و ولتاژ در حوزه s را برآورد سازد. در تمام این مراحل قرارداد علامت منفی را به کار می بریم.

نخست از مقاومت شروع میکنیم، بنا به قانون اهم داریم

(16-1)                                                                                                 

از آنجا که R ثابت است، تبدیل لاپلاس معادله (16-1) چنین است .

(16-2)                                                                                      V=RI

که در آن

بنا به معادله (16-2) مدار هم ارز یک مقاومت در حوزه s مقاومتی برابر R اهم است که جریان آن Iآمپر – ثانیه و ولتاژ آن V ولت –ثانیه است.

مدارهای مقاومت در حوزه زمان و حوزه بسامد در شکل 16-1 دیده می شود به یاد داشته باشید که در تبدیل مقاومت از حوزه زمان به حوزه بسامد تغییری در آن ایجاد نمی شود.

القاگری با جریان اولیه Io در شکل 16-2 آمده است. معادله ولتاژ و جریان آن در حوزه زمان چنین است.

شکل 16-1- مقاومت در الف) حوزه زمان ،ب) حوزه بسامد.

(تصاویر در فایل اصلی موجود است)

شکل 16-2- القا گر L هانری با جریان اولیه Io آمپر.

در حوزه زمان چنین است

(تصاویر در فایل اصلی موجود است)

(16-3)                                                             

پس از تبدیل لاپلاس گرفتن از معادله (16-3) داریم

(16-4)                                                             

به کمک دو مدار مختلف می توان معادله (16-4) را تحقق بخشید. مدار هم از اول مداری است متشکل از یک امپدانس sL اهمی که با یک منبع ولتاژ مستقل ‎LIo ولت ثانیه ای متوالی است. این مدار در شکل 16-3 دیده می شود در بررسی مدار هم ارز حوزه بسامدی شکل 16-3 توجه کنید که جهت ولتاژ منبع LIo بر مبنای علامت منفی مجود در معادله (16-4) است توجه به این نکته نیز اهمیت دارد که Io علامت جبری مخصوص به خود را دارد. یعنی چنانچه مقدار اولیه I خلاف جهت مبنای I باشد آنگاه Io مقدار منفی دارد.

شکل 16-3 مدار هم ارز متوالی یک القاگرL هانری با جریان اولیه Io آمپر.

شکل 16-4- مدار هم ارزی موازی یک القا گر L هانری با جریان اولیه Io آمپر.

(تصاویر در فایل اصلی موجود است)

مدار هم از دیگری که معادله (16-4) را برآورده، می سازد متشکل است از یک امپدانس

SL اهمی که با یک منبع جریان مستقل Io/s آمپر ثانیه ای موازی است. این مدار هم ارز در شکل 16-4 آمده است.

برای به دست آوردن مدار هم از شکل 16-4 راههای مختلفی موجود است. یکی از این راهها حل معادله (16-4) نسبت به جریان I و ساخت مداری بر حسب معادله به دست آمده بنابراین

(16-5)

(تصاویر در فایل اصلی موجود است)

به سادگی مشاهده می شود که مدار شکل 16-4 معادله (16-5) را برآورده می سازد دو راه دیگر به دست آوردن مدار شکل 16-4 عبارت اند از (1) به دست اوردن هم از نور تن مدار شکل (16-3، (2) به دست آوردن  جریان القا گر بر حسب ولتاژ آن و گرفتن تبدیل لاپلاس از معادله به دست آمده این دو روش به صورت تمرین در مسائل 16-1 و 16-2 به خواننده واگذار می شود.

قابل توجه است که هرگاه انرژی اولیه ذخیره شده در القا گر صفر باشد یعنی اگر Io=o مدار هم ارز القا گر در حوزه بسامد به صورت القا گری با امپدانس sL اهم در می آید. این مدار در شکل 16-5 آمده است.

برای خازنهای با بار اولیه نیز دو مدار هم ارز در حوزه s وجود دارد. خازنی که با بار اولیه Vo ولت در شکل 16-6 دیده می شود. جریان خازن چنین است.

شکل 16-5 مدار خوزه بسامدی القاگری با جریان اولیه صفر.

(تصاویر در فایل اصلی موجود است)

شکل 16-6- خازنی C فارادی که تاVo ولت بار دار شده است.

(16-6)                                                             

پس از تبدیل معادله (16-6) داریم

یا

(16-7)                                           I=sCV-CVo

از معادله فوق دیده می شود که جریان I در حوزه بسامد از دو جریان شاخه ای تشکیل می شود یکی از شاخه ها از یک گذارایی به مقدار sc مو و دیگری از یک منبع جریان مستقل CVo آمپر ثانیه ای تشکیل  می شود. این مدار هم ارز در شکل 16-7 آمده است.

از حل معادله (16-7) نسبت به V می توان مدار هم ارز متوالی خازن باردار را به دست آورد. بنابراین داریم

(16-8)                                                             

مداری که در شکل 16-8 آمده است تحقق معادله (16-8) است.

در مدارهای هم ارز شکلهای 16-7 و 16-8، علامت جبری خود را دارد. یعنی اگر جهت  خلاف جهت مبنای  باشد  مقداری منفی خواهد بود. اگر ولتاژ اولیه خازن صفر باشد مدارهای هم ارز ساده می شوند و تنها امپدانس sc/1 اهمی باقی می ماند که در شکل 16-9 آمده است.

شکل 16-7 مدار هم ارز موازی خازنی که تا  ولت باردارشده است.

(تصاویر در فایل اصلی موجود است)

شکل 16-8 مدار هم ارز متوالی خازنی که تا  ولت باردارشده است.

(تصاویر در فایل اصلی موجود است)

مدارهای حوزه بسامدی به دست آمده در این بخش در جدول 16-1 آمده اند. کاربرد این مدارها در بخش 16-4 نشان داده خواهد شد.

16-3- تحلیل مدار در حوزه s

پیش از بررسی مدارها در حوزه s به ذکر چند نکته می پردازیم که اساس تمام کارهای بعدی ماست.

نخست میدانیم که چنانچه در القا گر و خازنها انرژی اولیه نداشته باشیم رابطه ولتاژ و جریان آنها چنین است.

(16-9)                                      V=ZI

که در آن Z امپدانس (پاگیرایی) عنصر در حوزه s است. به این ترتیب امپدانس مقاومت R اهم، امپدانس القا گر sL اهم، و امپدانس خازن sC/1 اهم است. نکته ای که در معادله (16-9) آمده است، در شکلهای 16-1(ب)، 16-5، و 16-9 مشخص شده است. گاه معادله (16-9) را قانون اهم در حوزه s می نامند.

عکس پاگیرایی، گذارایی، گذاراییها در حوزه s دقیقاً همان قواعد ترکیب آنها در حوزه فازبرداری است. در تحلیل  حوزه بسامدی می توان از ساده کردنهای متوالی و موازی و تبدیلهای ستاره – مثلث استفاده کرد.

نکته مهم دیگر این است که قوانین کبرشهف را می توان برای جریانها و ولتاژهای حوزه s به کار برد. دلیل این امراین است  که بنا به خواص تبدیل عملیات، تبدیل لاپلاس مجموع چند تابع در حوزه زمان برابر مجموع تبدیل لاپلاسهای یکایک توابع است( جدول 15-2 را ببینید) بنابراین از آنجا که جمع جبری جریانها در یک گروه در حوزه زمان صفر است، جمع جبری جریانهای تبدیل شده نیز صفر خواهد بود. همچنین جمع جبری ولتاژهای تبدیل شده حول مسیری بسته صفر است. قوانین کیرشهف در حوزه s چنین اند.

(16-10)                                   ها ) جبری

(16-11)                                   V)=o ها) جبری

نکته سوم مبتنی بر درک مفاهیم نهفته در دو نکته اول است. ازآنجا که ولتاژ  و جریان در پایانه های عناصر غیر فعال به وسیله معادلاتی جبری به هم مربوط می شوند و قانون کیرشهف همچنان برقرار است، پس کلیه روشهای تحلیل شبکه های مقاومتی را میتوان در تحلیل مدارها در حوزه بسامد به کار برد. بنابراین حتی اگر در القا گرها و خازنها انرژی اولیه ذخیره شده باشد روشهای ولتاژ گره، جریان خانه، تبدیل منابع، هم ارزهای تونن- نورتن و روشهای معتبری هستند. چنانچه در مدار انرژی اولیه ذخیره شده باشد باید معادله (16-9) را تغییر داد این تغییر بسیار ساده است و کافی است به کمک قوانین کیرشهف منابع مستقل لازم را با امپدانس عناصر موازی یا متوالی کرد.